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beweisen (tan(x)+sin(x))/(tan(x))=1+cos(x)

Lösung

beweisen

\frac{tan ( x ) + sin ( x )}{tan ( x )} = 1 + cos (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{tan ( x ) + sin ( x )}{tan ( x )} = 1 + cos (x)

Manipuliere die linke Seite

\frac{tan ( x ) + sin ( x )}{tan ( x )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{sin ( x ) + tan ( x )}{tan ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x ) + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}{\frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}

Vereinfache

\frac{sin ( x ) + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}{\frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}} : cos (x) + 1

\frac{sin ( x ) + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}{\frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( sin ( x ) + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) cos ( x )}{sin ( x )}

Füge

sin (x) + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

zusammen:

\frac{sin ( x ) cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )}

sin (x) + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

sin (x) = \frac{sin ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x ) cos ( x )}{cos ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( x ) cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{\frac{s i n ( x ) c o s ( x ) + s i n ( x )}{c o s ( x )} cos ( x )}{sin ( x )}

Multipliziere

\frac{sin ( x ) cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )} cos (x) : sin (x) cos (x) + sin (x)

\frac{sin ( x ) cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )} cos (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( sin ( x ) cos ( x ) + sin ( x ) ) cos ( x )}{cos ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (x)

= sin (x) cos (x) + sin (x)

= \frac{sin ( x ) cos ( x ) + sin ( x )}{sin ( x )}

Klammere gleiche Terme aus

sin (x)

= \frac{sin ( x ) ( cos ( x ) + 1 )}{sin ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (x)

= cos (x) + 1

= cos (x) + 1

= 1 + cos (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sin (x) = - cos (\frac{π}{2} + x)

p ro v e 1 - \frac{( sin ^{2} ( θ ) )}{1 + cos ( θ )} = cos (θ)

p ro v e 4 sin^{2} (x) + 2 cos^{2} (x) = - 2 + 4 sin^{2} (x)

p ro v e arctan (- \frac{4}{3}) = - arctan (\frac{4}{3})

p ro v e \frac{1 - cos ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )} = tan (x)