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provar 1-2sin^2(2θ)=8cos^4(θ)-8cos^2(θ)+1

Solução

provar

1 - 2 sin^{2} (2 θ) = 8 cos^{4} (θ) - 8 cos^{2} (θ) + 1

Solução

Verdadeiro

Passos da solução

1 - 2 sin^{2} (2 θ) = 8 cos^{4} (θ) - 8 cos^{2} (θ) + 1

Manipular o lado direito

1 - 2 sin^{2} (2 θ)

Reeecreva usando identidades trigonométricas

1 - 2 sin^{2} (2 θ)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= 1 - 2 (1 - cos^{2} (2 θ))

Simplificar

1 - 2 (1 - cos^{2} (2 θ)) : 2 cos^{2} (2 θ) - 1

1 - 2 (1 - cos^{2} (2 θ))

Expandir

- 2 (1 - cos^{2} (2 θ)) : - 2 + 2 cos^{2} (2 θ)

- 2 (1 - cos^{2} (2 θ))

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - 2, b = 1, c = cos^{2} (2 θ)

= - 2 \cdot 1 - (- 2) cos^{2} (2 θ)

Aplicar as regras dos sinais

- (- a) = a

= - 2 \cdot 1 + 2 cos^{2} (2 θ)

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= - 2 + 2 cos^{2} (2 θ)

= 1 - 2 + 2 cos^{2} (2 θ)

Subtrair:

1 - 2 = - 1

= 2 cos^{2} (2 θ) - 1

= 2 cos^{2} (2 θ) - 1

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 2 (2 cos^{2} (θ) - 1)^{2} - 1

Simplificar

2 (2 cos^{2} (θ) - 1)^{2} - 1 : 8 cos^{4} (θ) - 8 cos^{2} (θ) + 1

2 (2 cos^{2} (θ) - 1)^{2} - 1

(2 cos^{2} (θ) - 1)^{2} : 4 cos^{4} (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 1

Aplique a fórmula do quadrado perfeito:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 2 cos^{2} (θ), b = 1

= (2 cos^{2} (θ))^{2} - 2 \cdot 2 cos^{2} (θ) \cdot 1 + 1^{2}

Simplificar

(2 cos^{2} (θ))^{2} - 2 \cdot 2 cos^{2} (θ) \cdot 1 + 1^{2} : 4 cos^{4} (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 1

(2 cos^{2} (θ))^{2} - 2 \cdot 2 cos^{2} (θ) \cdot 1 + 1^{2}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= (2 cos^{2} (θ))^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot cos^{2} (θ) + 1

(2 cos^{2} (θ))^{2} = 4 cos^{4} (θ)

(2 cos^{2} (θ))^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 2^{2} (cos^{2} (θ))^{2}

(cos^{2} (θ))^{2} : cos^{4} (θ)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= cos^{2 \cdot 2} (θ)

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= cos^{4} (θ)

= 2^{2} cos^{4} (θ)

2^{2} = 4

= 4 cos^{4} (θ)

2 \cdot 2 cos^{2} (θ) \cdot 1 = 4 cos^{2} (θ)

2 \cdot 2 cos^{2} (θ) \cdot 1

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 \cdot 1 = 4

= 4 cos^{2} (θ)

= 4 cos^{4} (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 1

= 4 cos^{4} (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 1

= 2 (4 cos^{4} (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 1) - 1

Expandir

2 (4 cos^{4} (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 1) : 8 cos^{4} (θ) - 8 cos^{2} (θ) + 2

2 (4 cos^{4} (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 1)

Aplicar a seguinte regra dos produtos notáveis

= 2 \cdot 4 cos^{4} (θ) + 2 (- 4 cos^{2} (θ)) + 2 \cdot 1

Aplicar as regras dos sinais

+ (- a) = - a

= 2 \cdot 4 cos^{4} (θ) - 2 \cdot 4 cos^{2} (θ) + 2 \cdot 1

Simplificar

2 \cdot 4 cos^{4} (θ) - 2 \cdot 4 cos^{2} (θ) + 2 \cdot 1 : 8 cos^{4} (θ) - 8 cos^{2} (θ) + 2

2 \cdot 4 cos^{4} (θ) - 2 \cdot 4 cos^{2} (θ) + 2 \cdot 1

Multiplicar os números:

2 \cdot 4 = 8

= 8 cos^{4} (θ) - 8 cos^{2} (θ) + 2 \cdot 1

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= 8 cos^{4} (θ) - 8 cos^{2} (θ) + 2

= 8 cos^{4} (θ) - 8 cos^{2} (θ) + 2

= 8 cos^{4} (θ) - 8 cos^{2} (θ) + 2 - 1

Somar/subtrair:

2 - 1 = 1

= 8 cos^{4} (θ) - 8 cos^{2} (θ) + 1

= 8 cos^{4} (θ) - 8 cos^{2} (θ) + 1

= 8 cos^{4} (θ) - 8 cos^{2} (θ) + 1

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

Exemplos populares

provar sech^2(x)+tanh^2(x)=1

p ro v e sech^{2} (x) + tanh^{2} (x) = 1

provar 2cos^2(A)-cos(2A)-1=0

p ro v e 2 cos^{2} (A) - cos (2 A) - 1 = 0

provar (cot(x)+1)/(cos(x)+sin(x))=csc(x)

p ro v e \frac{cot ( x ) + 1}{cos ( x ) + sin ( x )} = csc (x)

provar csc(A)= 7/4

p ro v e csc (A) = \frac{7}{4}

provar (sin^2(x))/(sin^2(x))=sin(x)

p ro v e \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} = sin (x)