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Popolare Trigonometria >

2sin^2(x)-3sin(x)+1>= 0

Soluzione

2 sin^{2} (x) - 3 sin (x) + 1 \geq 0

Soluzione

- \frac{7 π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{6} + 2 πn or x = \frac{π}{2} + 2 πn

Notazione dell’intervallo

[- \frac{7 π}{6} + 2 πn, \frac{π}{6} + 2 πn] \cup x = \frac{π}{2} + 2 πn

Decimale

- 3.66519 \dots + 2 πn \leq x \leq 0.52359 \dots + 2 πn or x = 1.57079 \dots + 2 πn

Fasi della soluzione

2 sin^{2} (x) - 3 sin (x) + 1 \geq 0

Sia:

u = sin (x)

2 u^{2} - 3 u + 1 \geq 0

2 u^{2} - 3 u + 1 \geq 0 : u \leq \frac{1}{2} or u \geq 1

2 u^{2} - 3 u + 1 \geq 0

Fattorizza

2 u^{2} - 3 u + 1 : (2 u - 1) (u - 1)

2 u^{2} - 3 u + 1

Suddividere l'espressione in gruppi

2 u^{2} - 3 u + 1

Definizione

Fattori di

2 : 1, 2

2

Divisori (Fattori)

Trova i fattori primi di

2 : 2

2

2

è un numero primo, quindi non è possibile la sua fattorizzazione

= 2

Aggiungi 1

1

I fattori di

2

1, 2

Fattori negativi di

2 : - 1, - 2

Moltiplica i fattori per

- 1

per ottenere i fattori negativi

- 1, - 2

Per ogni due fattori tali che

u * v = 2,

controllare se

u + v = - 3

Verifica

u = 1, v = 2 : u * v = 2, u + v = 3 \Rightarrow

FalsoVerifica

u = - 1, v = - 2 : u * v = 2, u + v = - 3 \Rightarrow

Vero

u = - 1, v = - 2

Raggruppa in

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (- 2 u + 1)

= (2 u^{2} - u) + (- 2 u + 1)

Fattorizza

u

2 u^{2} - u : u (2 u - 1)

2 u^{2} - u

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - u

Fattorizzare dal termine comune

u

= u (2 u - 1)

Fattorizza

- 1

- 2 u + 1 : - (2 u - 1)

- 2 u + 1

Fattorizzare dal termine comune

- 1

= - (2 u - 1)

= u (2 u - 1) - (2 u - 1)

Fattorizzare dal termine comune

2 u - 1

= (2 u - 1) (u - 1)

(2 u - 1) (u - 1) \geq 0

Identifica gli intervalli

Trova i segni dei fattori di

(2 u - 1) (u - 1)

Trova i segni di

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 u - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

2 u = 1

2 u = 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 u = 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Semplificare

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 u - 1 < 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

Semplificare

2 u < 1

2 u < 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 u < 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Semplificare

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 u - 1 > 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

Semplificare

2 u > 1

2 u > 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 u > 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Semplificare

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

Trova i segni di

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

u - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u - 1 < 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

u - 1 + 1 < 0 + 1

Semplificare

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u - 1 > 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

u - 1 + 1 > 0 + 1

Semplificare

u > 1

u > 1

Riassumere in una tabella:

2 u - 1 u - 1 (2 u - 1) (u - 1) u < \frac{1}{2} - - + u = \frac{1}{2} 0 - 0 \frac{1}{2} < u < 1 + - - u = 1 + 00 u > 1 + + +

Identificare gli intervalli che soddisfano la condizione richiesta:

\geq 0

u < \frac{1}{2} or u = \frac{1}{2} or u = 1 or u > 1

Unire gli intervalli sovrapposti

u \leq \frac{1}{2} or u = 1 or u > 1

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

u < \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

u \leq \frac{1}{2}

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

u \leq \frac{1}{2}

u = 1

u \leq \frac{1}{2} or u = 1

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

u \leq \frac{1}{2} or u = 1

u > 1

u \leq \frac{1}{2} or u \geq 1

u \leq \frac{1}{2} or u \geq 1

u \leq \frac{1}{2} or u \geq 1

u \leq \frac{1}{2} or u \geq 1

Sostituire indietro

u = sin (x)

sin (x) \leq \frac{1}{2} or sin (x) \geq 1

sin (x) \leq \frac{1}{2} : - \frac{7 π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{6} + 2 πn

sin (x) \leq \frac{1}{2}

Per

sin (x) \leq a

, se

- 1 < a < 1

allora

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Semplificare

- π - arcsin (\frac{1}{2}) : - \frac{7 π}{6}

- π - arcsin (\frac{1}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - \frac{π}{6}

Semplificare

- π - \frac{π}{6}

Converti l'elemento in frazione:

π = \frac{π 6}{6}

= - \frac{π 6}{6} - \frac{π}{6}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 6 - π}{6}

Aggiungi elementi simili:

- 6 π - π = - 7 π

= \frac{- 7 π}{6}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{7 π}{6}

= - \frac{7 π}{6}

Semplificare

arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

- \frac{7 π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{6} + 2 πn

sin (x) \geq 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) \geq 1

Per

sin (x) \geq a

, se

- 1 < a < 1

allora

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (1) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (1) + 2 πn

Semplificare

arcsin (1) : \frac{π}{2}

arcsin (1)

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

Semplificare

π - arcsin (1) : \frac{π}{2}

π - arcsin (1)

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{2}

Semplificare

π - \frac{π}{2}

Converti l'elemento in frazione:

π = \frac{π 2}{2}

= \frac{π 2}{2} - \frac{π}{2}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 2 - π}{2}

Aggiungi elementi simili:

2 π - π = π

= \frac{π}{2}

= \frac{π}{2}

\frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{2} + 2 πn

Semplificare

x = \frac{π}{2} + 2 πn

Combina gli intervalli

- \frac{7 π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{6} + 2 πn or x = \frac{π}{2} + 2 πn

Esempi popolari

sin(x)<(sqrt(2))/2

sin (x) < \frac{2}{2}

cos(x)<= 0

cos (x) \leq 0

tan(θ)<0,sin(θ)<0

tan (θ) < 0, sin (θ) < 0

sin(θ)>0,cos(θ)>0

sin (θ) > 0, cos (θ) > 0

sec(θ)<0

sec (θ) < 0