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Popolare Trigonometria >

5sin^2(x)>=-2cos(x)

Soluzione

5 sin^{2} (x) \geq - 2 cos (x)

Soluzione

- arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn

Notazione dell’intervallo

[- arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn, arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn]

Decimale

- 2.53186 \dots + 2 πn \leq x \leq 2.53186 \dots + 2 πn

Fasi della soluzione

5 sin^{2} (x) \geq - 2 cos (x)

Spostare

2 cos (x)

a sinistra dell'equazione

5 sin^{2} (x) \geq - 2 cos (x)

Aggiungi

2 cos (x)

ad entrambi i lati

5 sin^{2} (x) + 2 cos (x) \geq - 2 cos (x) + 2 cos (x)

5 sin^{2} (x) + 2 cos (x) \geq 0

5 sin^{2} (x) + 2 cos (x) \geq 0

Usare l'identità seguente:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Quindi

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

5 (1 - cos^{2} (x)) + 2 cos (x) \geq 0

Sia:

u = cos (x)

5 (1 - u^{2}) + 2 u \geq 0

5 (1 - u^{2}) + 2 u \geq 0 : \frac{- 26 + 1}{5} \leq u \leq \frac{26 + 1}{5}

5 (1 - u^{2}) + 2 u \geq 0

Fattorizzare

5 (1 - u^{2}) + 2 u : - 5 (u - \frac{1}{5})^{2} + \frac{26}{5} \geq 0

5 (1 - u^{2}) + 2 u

5 (1 - u^{2}) = - 5 (u + 1) (u - 1)

5 (1 - u^{2})

Fattorizza

- u^{2} + 1 : - (u + 1) (u - 1)

- u^{2} + 1

Fattorizzare dal termine comune

- 1

= - (u^{2} - 1)

Fattorizza

u^{2} - 1 : (u + 1) (u - 1)

u^{2} - 1

Riscrivi

1

come

1^{2}

= u^{2} - 1^{2}

Applicare la formula differenza di due quadrati:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

u^{2} - 1^{2} = (u + 1) (u - 1)

= (u + 1) (u - 1)

= - (u + 1) (u - 1)

= - 5 (u + 1) (u - 1)

= - 5 (u + 1) (u - 1) + 2 u

Espandi

- 5 (u + 1) (u - 1) + 2 u : - 5 u^{2} + 5 + 2 u

- 5 (u + 1) (u - 1) + 2 u

Espandi

- 5 (u + 1) (u - 1) : - 5 u^{2} + 5

Espandi

(u + 1) (u - 1) : u^{2} - 1

(u + 1) (u - 1)

Applicare la formula differenza di due quadrati:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = u, b = 1

= u^{2} - 1^{2}

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= u^{2} - 1

= - 5 (u^{2} - 1)

Espandi

- 5 (u^{2} - 1) : - 5 u^{2} + 5

- 5 (u^{2} - 1)

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = - 5, b = u^{2}, c = 1

= - 5 u^{2} - (- 5) \cdot 1

Applicare le regole di sottrazione-addizione

- (- a) = a

= - 5 u^{2} + 5 \cdot 1

Moltiplica i numeri:

5 \cdot 1 = 5

= - 5 u^{2} + 5

= - 5 u^{2} + 5

= - 5 u^{2} + 5 + 2 u

= - 5 u^{2} + 5 + 2 u

Fattorizza

- 5 u^{2} + 2 u + 5 : - (5 u^{2} - 2 u - 5)

- 5 u^{2} + 2 u + 5

Fattorizzare dal termine comune

- 1

= - (5 u^{2} - 2 u - 5)

= - (5 u^{2} - 2 u - 5)

Completa il quadrato

- (5 u^{2} - 2 u - 5) : - 5 (u - \frac{1}{5})^{2} + \frac{26}{5}

- (5 u^{2} - 2 u - 5)

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c

- 5 u^{2} + 2 u + 5

Scrivi

- 5 u^{2} + 2 u + 5

in forma:

x^{2} + 2 a x + a^{2}

Fattorizza fuori

- 5

- 5 (u^{2} - \frac{2 u}{5} - 1)

2 a = - \frac{2}{5} : a = - \frac{1}{5}

2 a = - \frac{2}{5}

Dividere entrambi i lati per

2

2 a = - \frac{2}{5}

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 a}{2} = \frac{- \frac{2}{5}}{2}

Semplificare

\frac{2 a}{2} = \frac{- \frac{2}{5}}{2}

Semplificare

\frac{2 a}{2} : a

\frac{2 a}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= a

Semplificare

\frac{- \frac{2}{5}}{2} : - \frac{1}{5}

\frac{- \frac{2}{5}}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{\frac{2}{5}}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

\frac{\frac{2}{5}}{2} = \frac{2}{5 \cdot 2}

= - \frac{2}{5 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

5 \cdot 2 = 10

= - \frac{2}{10}

Cancella il fattore comune:

2

= - \frac{1}{5}

a = - \frac{1}{5}

a = - \frac{1}{5}

a = - \frac{1}{5}

Somma e sottrai

(- \frac{1}{5})^{2}

- 5 (u^{2} - \frac{2 u}{5} - 1 + (- \frac{1}{5})^{2} - (- \frac{1}{5})^{2})

x^{2} + 2 a x + a^{2} = (x + a)^{2}

u^{2} - \frac{2}{5} u + (- \frac{1}{5})^{2} = (u - \frac{1}{5})^{2}

- 5 ((u - \frac{1}{5})^{2} - 1 - (- \frac{1}{5})^{2})

Semplificare

- 5 (u - \frac{1}{5})^{2} + \frac{26}{5}

- 5 (u - \frac{1}{5})^{2} + \frac{26}{5} \geq 0

- 5 (u - \frac{1}{5})^{2} + \frac{26}{5} \geq 0

Spostare

\frac{26}{5}

a destra dell'equazione

- 5 (u - \frac{1}{5})^{2} + \frac{26}{5} \geq 0

Sottrarre

\frac{26}{5}

da entrambi i lati

- 5 (u - \frac{1}{5})^{2} + \frac{26}{5} - \frac{26}{5} \geq 0 - \frac{26}{5}

Semplificare

- 5 (u - \frac{1}{5})^{2} \geq - \frac{26}{5}

- 5 (u - \frac{1}{5})^{2} \geq - \frac{26}{5}

Moltiplica entrambi i lati per

- 1

- 5 (u - \frac{1}{5})^{2} \geq - \frac{26}{5}

Moltiplicare entrambi i lati per -1 (invertire la disuguaglianza)

(- 5 (u - \frac{1}{5})^{2}) (- 1) \leq (- \frac{26}{5}) (- 1)

Semplificare

5 (u - \frac{1}{5})^{2} \leq \frac{26}{5}

5 (u - \frac{1}{5})^{2} \leq \frac{26}{5}

Dividere entrambi i lati per

5

5 (u - \frac{1}{5})^{2} \leq \frac{26}{5}

Dividere entrambi i lati per

5

\frac{5 ( u - \frac{1}{5} ) ^{2}}{5} \leq \frac{\frac{26}{5}}{5}

Semplificare

\frac{5 ( u - \frac{1}{5} ) ^{2}}{5} \leq \frac{\frac{26}{5}}{5}

Semplificare

\frac{5 ( u - \frac{1}{5} ) ^{2}}{5} : (u - \frac{1}{5})^{2}

\frac{5 ( u - \frac{1}{5} ) ^{2}}{5}

Dividi i numeri:

\frac{5}{5} = 1

= (u - \frac{1}{5})^{2}

Semplificare

\frac{\frac{26}{5}}{5} : \frac{26}{25}

\frac{\frac{26}{5}}{5}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{26}{5 \cdot 5}

Moltiplica i numeri:

5 \cdot 5 = 25

= \frac{26}{25}

(u - \frac{1}{5})^{2} \leq \frac{26}{25}

(u - \frac{1}{5})^{2} \leq \frac{26}{25}

(u - \frac{1}{5})^{2} \leq \frac{26}{25}

Per

u^{n} \leq a

, se

n

è pari allora

- n a \leq u \leq n a

- \frac{26}{25} \leq u - \frac{1}{5} \leq \frac{26}{25}

a \leq u \leq b

allora

a \leq u and u \leq b

- \frac{26}{25} \leq u - \frac{1}{5} and u - \frac{1}{5} \leq \frac{26}{25}

- \frac{26}{25} \leq u - \frac{1}{5} : u \geq \frac{- 26 + 1}{5}

- \frac{26}{25} \leq u - \frac{1}{5}

Scambia i lati

u - \frac{1}{5} \geq - \frac{26}{25}

Semplifica

\frac{26}{25} : \frac{26}{5}

\frac{26}{25}

Applicare la regola della radice:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

assumendo

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{26}{25}

25 = 5

25

Fattorizzare il numero:

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a

5^{2} = 5

= 5

= \frac{26}{5}

u - \frac{1}{5} \geq - \frac{26}{5}

Spostare

\frac{1}{5}

a destra dell'equazione

u - \frac{1}{5} \geq - \frac{26}{5}

Aggiungi

\frac{1}{5}

ad entrambi i lati

u - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \geq - \frac{26}{5} + \frac{1}{5}

Semplificare

u - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \geq - \frac{26}{5} + \frac{1}{5}

Semplificare

u - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} : u

u - \frac{1}{5} + \frac{1}{5}

Aggiungi elementi simili:

- \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \geq 0

= u

Semplificare

- \frac{26}{5} + \frac{1}{5} : \frac{- 26 + 1}{5}

- \frac{26}{5} + \frac{1}{5}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 26 + 1}{5}

u \geq \frac{- 26 + 1}{5}

u \geq \frac{- 26 + 1}{5}

u \geq \frac{- 26 + 1}{5}

u - \frac{1}{5} \leq \frac{26}{25} : u \leq \frac{26 + 1}{5}

u - \frac{1}{5} \leq \frac{26}{25}

Applicare la regola della radice:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

assumendo

a \geq 0, b \geq 0

u - \frac{1}{5} \leq \frac{26}{25}

25 = 5

25

Fattorizzare il numero:

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a

5^{2} = 5

= 5

u - \frac{1}{5} \leq \frac{26}{5}

Spostare

\frac{1}{5}

a destra dell'equazione

u - \frac{1}{5} \leq \frac{26}{5}

Aggiungi

\frac{1}{5}

ad entrambi i lati

u - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \leq \frac{26}{5} + \frac{1}{5}

Semplificare

u - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \leq \frac{26}{5} + \frac{1}{5}

Semplificare

u - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} : u

u - \frac{1}{5} + \frac{1}{5}

Aggiungi elementi simili:

- \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \leq 0

= u

Semplificare

\frac{26}{5} + \frac{1}{5} : \frac{26 + 1}{5}

\frac{26}{5} + \frac{1}{5}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{26 + 1}{5}

u \leq \frac{26 + 1}{5}

u \leq \frac{26 + 1}{5}

u \leq \frac{26 + 1}{5}

Combina gli intervalli

u \geq \frac{- 26 + 1}{5} and u \leq \frac{26 + 1}{5}

Unire gli intervalli sovrapposti

u \geq \frac{- 26 + 1}{5} and u \leq \frac{26 + 1}{5}

L'intersezione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in entrambi gli intervalli

u \geq \frac{- 26 + 1}{5}

u \leq \frac{26 + 1}{5}

\frac{- 26 + 1}{5} \leq u \leq \frac{26 + 1}{5}

\frac{- 26 + 1}{5} \leq u \leq \frac{26 + 1}{5}

\frac{- 26 + 1}{5} \leq u \leq \frac{26 + 1}{5}

Sostituire indietro

u = cos (x)

\frac{- 26 + 1}{5} \leq cos (x) \leq \frac{26 + 1}{5}

a \leq u \leq b

allora

a \leq u and u \leq b

\frac{- 26 + 1}{5} \leq cos (x) and cos (x) \leq \frac{26 + 1}{5}

\frac{- 26 + 1}{5} \leq cos (x) : - arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn

\frac{- 26 + 1}{5} \leq cos (x)

Scambia i lati

cos (x) \geq \frac{- 26 + 1}{5}

Per

cos (x) \geq a

, se

- 1 < a < 1

allora

- arccos (a) + 2 πn \leq x \leq arccos (a) + 2 πn

- arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn

cos (x) \leq \frac{26 + 1}{5} :

Vero per tutti

x \in R

cos (x) \leq \frac{26 + 1}{5}

Intervallo di

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Definizione dell'intervallo di valori della funzione

L'intervallo della funzione di base

cos

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) \leq \frac{26 + 1}{5} and - 1 \leq cos (x) \leq 1 : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Lasciare

y = cos (x)

Combina gli intervalli

y \leq \frac{26 + 1}{5} and - 1 \leq y \leq 1

Unire gli intervalli sovrapposti

y \leq \frac{26 + 1}{5} and - 1 \leq y \leq 1

L'intersezione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in entrambi gli intervalli

y \leq \frac{26 + 1}{5}

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Vero per tutte x

Vero per tutti x \in R

Combina gli intervalli

- arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn and Vero per tutti x \in R

Unire gli intervalli sovrapposti

- arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn

Esempi popolari

sin(x)>-1

sin (x) > - 1

-cos(x)>0

- cos (x) > 0

tan(x)>= 3

tan (x) \geq 3

2cos^2(x)< 3/2

2 cos^{2} (x) < \frac{3}{2}

sin(3x)cos(3x)-1/4 >= 0

sin (3 x) cos (3 x) - \frac{1}{4} \geq 0