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(sin(x)(2cos(x)+1))/(sin(x)+cos(x))<0

Solución

\frac{sin ( x ) ( 2 cos ( x ) + 1 )}{sin ( x ) + cos ( x )} < 0

Solución

\frac{2 π}{3} + 2 πn < x < \frac{3 π}{4} + 2 πn or π + 2 πn < x < \frac{4 π}{3} + 2 πn or \frac{7 π}{4} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

Notación de intervalos

(\frac{2 π}{3} + 2 πn, \frac{3 π}{4} + 2 πn) \cup (π + 2 πn, \frac{4 π}{3} + 2 πn) \cup (\frac{7 π}{4} + 2 πn, 2 π + 2 πn)

Notación decimal

2.09439 \dots + 2 πn < x < 2.35619 \dots + 2 πn or 3.14159 \dots + 2 πn < x < 4.18879 \dots + 2 πn or 5.49778 \dots + 2 πn < x < 6.28318 \dots + 2 πn

Pasos de solución

\frac{sin ( x ) ( 2 cos ( x ) + 1 )}{sin ( x ) + cos ( x )} < 0

Periodicidad de

\frac{sin ( x ) ( 2 cos ( x ) + 1 )}{sin ( x ) + cos ( x )} : 2 π

\frac{sin ( x ) ( 2 cos ( x ) + 1 )}{sin ( x ) + cos ( x )}

esta compuesta de las siguientes funciones y periodos:

sin (x)

con periodicidad de

2 π

La periodicidad compuesta es:

= 2 π

Encontrar los ceros y puntos indefinidos de

\frac{sin ( x ) ( 2 cos ( x ) + 1 )}{sin ( x ) + cos ( x )}

para

0 \leq x < 2 π

Para encontrar los ceros, transformar la desigualdad a 0

\frac{sin ( x ) ( 2 cos ( x ) + 1 )}{sin ( x ) + cos ( x )} = 0

\frac{sin ( x ) ( 2 cos ( x ) + 1 )}{sin ( x ) + cos ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π : x = 0, x = π, x = \frac{2 π}{3}, x = \frac{4 π}{3}

\frac{sin ( x ) ( 2 cos ( x ) + 1 )}{sin ( x ) + cos ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

sin (x) (2 cos (x) + 1) = 0

Resolver cada parte por separado

sin (x) = 0 or 2 cos (x) + 1 = 0

sin (x) = 0, 0 \leq x < 2 π : x = 0, x = π

sin (x) = 0, 0 \leq x < 2 π

Soluciones generales para

sin (x) = 0

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Resolver

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < 2 π

x = 0, x = π

2 cos (x) + 1 = 0, 0 \leq x < 2 π : x = \frac{2 π}{3}, x = \frac{4 π}{3}

2 cos (x) + 1 = 0, 0 \leq x < 2 π

Mover

1

al lado derecho

2 cos (x) + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

2 cos (x) + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

2 cos (x) = - 1

2 cos (x) = - 1

Dividir ambos lados entre

2

2 cos (x) = - 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 cos ( x )}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplificar

cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x) = - \frac{1}{2}

Soluciones generales para

cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < 2 π

x = \frac{2 π}{3}, x = \frac{4 π}{3}

Combinar toda las soluciones

x = 0, x = π, x = \frac{2 π}{3}, x = \frac{4 π}{3}

Encontrar los puntos indefinidos:

x = \frac{3 π}{4}, x = \frac{7 π}{4}

Encontrar los ceros del denominador

sin (x) + cos (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

sin (x) + cos (x) = 0

Dividir ambos lados entre

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{sin ( x ) + cos ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Simplificar

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} + 1 = 0

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (x) + 1 = 0

tan (x) + 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

tan (x) + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

tan (x) + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

tan (x) = - 1

tan (x) = - 1

Soluciones generales para

tan (x) = - 1

tan (x)

tabla de valores periódicos con

πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < 2 π

x = \frac{3 π}{4}, x = \frac{7 π}{4}

0, \frac{2 π}{3}, \frac{3 π}{4}, π, \frac{4 π}{3}, \frac{7 π}{4}

Identificar los intervalos

0 < x < \frac{2 π}{3}, \frac{2 π}{3} < x < \frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{4} < x < π, π < x < \frac{4 π}{3}, \frac{4 π}{3} < x < \frac{7 π}{4}, \frac{7 π}{4} < x < 2 π

Resumir en una tabla:

sin (x) 2 cos (x) + 1 sin (x) + cos (x) \frac{s i n ( x ) ( 2 c o s ( x ) + 1 )}{s i n ( x ) + c o s ( x )} x = 0 0 + + 0 0 < x < \frac{2 π}{3} + + + + x = \frac{2 π}{3} + 0 + 0 \frac{2 π}{3} < x < \frac{3 π}{4} + - + - x = \frac{3 π}{4} + - 0 Sin definir \frac{3 π}{4} < x < π + - - + x = π 0 - - 0 π < x < \frac{4 π}{3} - - - - x = \frac{4 π}{3} - 0 - 0 \frac{4 π}{3} < x < \frac{7 π}{4} - + - + x = \frac{7 π}{4} - + 0 Sin definir \frac{7 π}{4} < x < 2 π - + + - x = 2 π 0 + + 0

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

< 0

\frac{2 π}{3} < x < \frac{3 π}{4} or π < x < \frac{4 π}{3} or \frac{7 π}{4} < x < 2 π

Utilizar la periodicidad de

\frac{sin ( x ) ( 2 cos ( x ) + 1 )}{sin ( x ) + cos ( x )}

\frac{2 π}{3} + 2 πn < x < \frac{3 π}{4} + 2 πn or π + 2 πn < x < \frac{4 π}{3} + 2 πn or \frac{7 π}{4} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

Ejemplos populares

2sin^2(x)+3sin(x)+1<0

2 sin^{2} (x) + 3 sin (x) + 1 < 0

sin(x)<= 0.5

sin (x) \leq 0.5

cos(t)>0

cos (t) > 0

sin(x/2)+cos(x/2)<1

sin (\frac{x}{2}) + cos (\frac{x}{2}) < 1

2cos^2(x)+sin(2x)>= 1

2 cos^{2} (x) + sin (2 x) \geq 1