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cos(2x)-cos(x)<0

Solución

cos (2 x) - cos (x) < 0

Solución

2 πn < x < \frac{2 π}{3} + 2 πn or \frac{4 π}{3} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

Notación de intervalos

(2 πn, \frac{2 π}{3} + 2 πn) \cup (\frac{4 π}{3} + 2 πn, 2 π + 2 πn)

Notación decimal

2 πn < x < 2.09439 \dots + 2 πn or 4.18879 \dots + 2 πn < x < 6.28318 \dots + 2 πn

Pasos de solución

cos (2 x) - cos (x) < 0

Usar la siguiente identidad:

cos (2 x) = - 1 + 2 cos^{2} (x)

- 1 + 2 cos^{2} (x) - cos (x) < 0

Sea:

u = cos (x)

- 1 + 2 u^{2} - u < 0

- 1 + 2 u^{2} - u < 0 : - \frac{1}{2} < u < 1

- 1 + 2 u^{2} - u < 0

Factorizar

- 1 + 2 u^{2} - u : (2 u + 1) (u - 1)

- 1 + 2 u^{2} - u

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c

= 2 u^{2} - u - 1

Factorizar la expresión

2 u^{2} - u - 1

Definición

Factores de

2 : 1, 2

2

Divisores (factores)

Encontrar los factores primos de

2 : 2

2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 2

Agregar 1

1

Divisores de

2

1, 2

Factores negativos de

2 : - 1, - 2

Multiplicar los números por

- 1

para obtener divisores negativos

- 1, - 2

Por cada dos factores tales que

u * v = - 2,

revisar si

u + v = - 1

Revisar

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

VerdaderoRevisar

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

Falso

u = 1, v = - 2

Agrupar en

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} + u) + (- 2 u - 1)

= (2 u^{2} + u) + (- 2 u - 1)

Factorizar

u

2 u^{2} + u

u (2 u + 1)

2 u^{2} + u

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu + u

Factorizar el termino común

u

= u (2 u + 1)

Factorizar

- 1

- 2 u - 1

- (2 u + 1)

- 2 u - 1

Factorizar el termino común

- 1

= - (2 u + 1)

= u (2 u + 1) - (2 u + 1)

Factorizar el termino común

2 u + 1

= (2 u + 1) (u - 1)

(2 u + 1) (u - 1) < 0

Identificar los intervalos

Encontrar los signos de los factores de

(2 u + 1) (u - 1)

Encontrar los signos de

2 u + 1

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

2 u + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

2 u = - 1

2 u = - 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u = - 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplificar

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0 : u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0

Mover

1

al lado derecho

2 u + 1 < 0

Restar

1

de ambos lados

2 u + 1 - 1 < 0 - 1

Simplificar

2 u < - 1

2 u < - 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u < - 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} < \frac{- 1}{2}

Simplificar

u < - \frac{1}{2}

u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0 : u > - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0

Mover

1

al lado derecho

2 u + 1 > 0

Restar

1

de ambos lados

2 u + 1 - 1 > 0 - 1

Simplificar

2 u > - 1

2 u > - 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u > - 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} > \frac{- 1}{2}

Simplificar

u > - \frac{1}{2}

u > - \frac{1}{2}

Encontrar los signos de

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

u - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

Mover

1

al lado derecho

u - 1 < 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 < 0 + 1

Simplificar

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

Mover

1

al lado derecho

u - 1 > 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 > 0 + 1

Simplificar

u > 1

u > 1

Resumir en una tabla:

2 u + 1 u - 1 (2 u + 1) (u - 1) u < - \frac{1}{2} - - + u = - \frac{1}{2} 0 - 0 - \frac{1}{2} < u < 1 + - - u = 1 + 00 u > 1 + + +

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

< 0

- \frac{1}{2} < u < 1

- \frac{1}{2} < u < 1

- \frac{1}{2} < u < 1

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

- \frac{1}{2} < cos (x) < 1

a < u < b

entonces

a < u and u < b

- \frac{1}{2} < cos (x) and cos (x) < 1

- \frac{1}{2} < cos (x) : - \frac{2 π}{3} + 2 πn < x < \frac{2 π}{3} + 2 πn

- \frac{1}{2} < cos (x)

Intercambiar lados

cos (x) > - \frac{1}{2}

Para

cos (x) > a

, si

- 1 \leq a < 1

entonces

- arccos (a) + 2 πn < x < arccos (a) + 2 πn

- arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn < x < arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Simplificar

- arccos (- \frac{1}{2}) : - \frac{2 π}{3}

- arccos (- \frac{1}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{2 π}{3}

Simplificar

arccos (- \frac{1}{2}) : \frac{2 π}{3}

arccos (- \frac{1}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{2 π}{3}

- \frac{2 π}{3} + 2 πn < x < \frac{2 π}{3} + 2 πn

cos (x) < 1 : 2 πn < x < 2 π + 2 πn

cos (x) < 1

Para

cos (x) < a

, si

- 1 < a \leq 1

entonces

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (1) + 2 πn < x < 2 π - arccos (1) + 2 πn

Simplificar

arccos (1) : 0

arccos (1)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (1) = 0

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 0

Simplificar

2 π - arccos (1) : 2 π

2 π - arccos (1)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (1) = 0

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - 0

2 π - 0 = 2 π

= 2 π

0 + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

Simplificar

2 πn < x < 2 π + 2 πn

Combinar los rangos

- \frac{2 π}{3} + 2 πn < x < \frac{2 π}{3} + 2 πn and 2 πn < x < 2 π + 2 πn

Mezclar intervalos sobrepuestos

2 πn < x < \frac{2 π}{3} + 2 πn or \frac{4 π}{3} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

Ejemplos populares

sin(3x)-(sqrt(3))/2 >= 0

sin (3 x) - \frac{3}{2} \geq 0

sin(x)<= 1/2 ,0<= x<= 2pi

sin (x) \leq \frac{1}{2}, 0 \leq x \leq 2 π

cos(x-y)>= 0

cos (x - y) \geq 0

cos(x)>= (-1)/2

cos (x) \geq \frac{- 1}{2}

(cos^2(x))/(1-cos(x))<0

\frac{cos ^{2} ( x )}{1 - cos ( x )} < 0