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(cos^2(x))/(1-cos(x))<0

Solución

\frac{cos ^{2} ( x )}{1 - cos ( x )} < 0

Solución

Falso para todo x \in R

Pasos de solución

\frac{cos ^{2} ( x )}{1 - cos ( x )} < 0

Sea:

u = cos (x)

\frac{u ^{2}}{1 - u} < 0

\frac{u ^{2}}{1 - u} < 0 : u > 1

\frac{u ^{2}}{1 - u} < 0

Identificar los intervalos

Encontrar los signos de los factores de

\frac{u ^{2}}{1 - u}

Encontrar los signos de

u^{2}

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Aplicar la regla

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

u^{2} > 0 : u < 0 or u > 0

u^{2} > 0

Para

u^{n} > 0

, si

n

es par entonces

u < 0

u > 0

u < 0 or u > 0

Encontrar los signos de

1 - u

1 - u = 0 : u = 1

1 - u = 0

Mover

1

al lado derecho

1 - u = 0

Restar

1

de ambos lados

1 - u - 1 = 0 - 1

Simplificar

- u = - 1

- u = - 1

Dividir ambos lados entre

- 1

- u = - 1

Dividir ambos lados entre

- 1

\frac{- u}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

Simplificar

u = 1

u = 1

1 - u < 0 : u > 1

1 - u < 0

Mover

1

al lado derecho

1 - u < 0

Restar

1

de ambos lados

1 - u - 1 < 0 - 1

Simplificar

- u < - 1

- u < - 1

Multiplicar ambos lados por

- 1

- u < - 1

Multiplicar ambos lados por -1 (invierte la desigualdad)

(- u) (- 1) > (- 1) (- 1)

Simplificar

u > 1

u > 1

1 - u > 0 : u < 1

1 - u > 0

Mover

1

al lado derecho

1 - u > 0

Restar

1

de ambos lados

1 - u - 1 > 0 - 1

Simplificar

- u > - 1

- u > - 1

Multiplicar ambos lados por

- 1

- u > - 1

Multiplicar ambos lados por -1 (invierte la desigualdad)

(- u) (- 1) < (- 1) (- 1)

Simplificar

u < 1

u < 1

Encontrar puntos de singularidad

Encontrar los ceros del denominador

1 - u : u = 1

1 - u = 0

Mover

1

al lado derecho

1 - u = 0

Restar

1

de ambos lados

1 - u - 1 = 0 - 1

Simplificar

- u = - 1

- u = - 1

Dividir ambos lados entre

- 1

- u = - 1

Dividir ambos lados entre

- 1

\frac{- u}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

Simplificar

u = 1

u = 1

Resumir en una tabla:

u^{2} 1 - u \frac{u ^{2}}{1 - u} u < 0 + + + u = 0 0 + 0 0 < u < 1 + + + u = 1 + 0 Sin definir u > 1 + - -

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

< 0

u > 1

u > 1

u > 1

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) > 1

Rango de

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Definición de rango de función

El rango de la función basica

cos

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) > 1 and - 1 \leq cos (x) \leq 1 :

Falso

Sea

y

cos (x)

Combinar los rangos

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

Mezclar intervalos sobrepuestos

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

La intersección de dos intervalos, es el conjunto de numérico común a los dos intervalos

y > 1

- 1 \leq y \leq 1

Falso para todo y \in R

Falso para todo y \in R

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para x \in R

Falso para todo x \in R

Ejemplos populares

pi/2-arctan(n)<= 10^{-3}

\frac{π}{2} - arctan (n) \leq 1 0^{- 3}

cos(3x)<= (sqrt(3))/2

cos (3 x) \leq \frac{3}{2}

cos(2x)< 1/2

cos (2 x) < \frac{1}{2}

sin(x)>=-1

sin (x) \geq - 1

4+4sin(x)-cos^2(x)>= 0

4 + 4 sin (x) - cos^{2} (x) \geq 0