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4+4sin(x)-cos^2(x)>= 0

Solución

4 + 4 sin (x) - cos^{2} (x) \geq 0

Solución

Verdadero para todo x \in R

Notación de intervalos

(- \infty, \infty)

Pasos de solución

4 + 4 sin (x) - cos^{2} (x) \geq 0

Usar la siguiente identidad:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Por lo tanto

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

4 + 4 sin (x) - (1 - sin^{2} (x)) \geq 0

Simplificar

sin^{2} (x) + 4 sin (x) + 3 \geq 0

Sea:

u = sin (x)

u^{2} + 4 u + 3 \geq 0

u^{2} + 4 u + 3 \geq 0 : u \leq - 3 or u \geq - 1

u^{2} + 4 u + 3 \geq 0

Factorizar

u^{2} + 4 u + 3 : (u + 1) (u + 3)

u^{2} + 4 u + 3

Factorizar la expresión

u^{2} + 4 u + 3

Definición

Factores de

3 : 1, 3

3

Divisores (factores)

Encontrar los factores primos de

3 : 3

3

3

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 3

Agregar 1

1

Divisores de

3

1, 3

Por cada dos factores tales que

u * v = 3,

revisar si

u + v = 4

Revisar

u = 1, v = 3 : u * v = 3, u + v = 4 \Rightarrow

Verdadero

u = 1, v = 3

Agrupar en

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(u^{2} + u) + (3 u + 3)

= (u^{2} + u) + (3 u + 3)

Factorizar

u

u^{2} + u

u (u + 1)

u^{2} + u

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= uu + u

Factorizar el termino común

u

= u (u + 1)

Factorizar

3

3 u + 3

3 (u + 1)

3 u + 3

Factorizar el termino común

3

= 3 (u + 1)

= u (u + 1) + 3 (u + 1)

Factorizar el termino común

u + 1

= (u + 1) (u + 3)

(u + 1) (u + 3) \geq 0

Identificar los intervalos

Encontrar los signos de los factores de

(u + 1) (u + 3)

Encontrar los signos de

u + 1

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

u + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

Mover

1

al lado derecho

u + 1 < 0

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - 1 < 0 - 1

Simplificar

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

Mover

1

al lado derecho

u + 1 > 0

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - 1 > 0 - 1

Simplificar

u > - 1

u > - 1

Encontrar los signos de

u + 3

u + 3 = 0 : u = - 3

u + 3 = 0

Mover

3

al lado derecho

u + 3 = 0

Restar

3

de ambos lados

u + 3 - 3 = 0 - 3

Simplificar

u = - 3

u = - 3

u + 3 < 0 : u < - 3

u + 3 < 0

Mover

3

al lado derecho

u + 3 < 0

Restar

3

de ambos lados

u + 3 - 3 < 0 - 3

Simplificar

u < - 3

u < - 3

u + 3 > 0 : u > - 3

u + 3 > 0

Mover

3

al lado derecho

u + 3 > 0

Restar

3

de ambos lados

u + 3 - 3 > 0 - 3

Simplificar

u > - 3

u > - 3

Resumir en una tabla:

u + 1 u + 3 (u + 1) (u + 3) u < - 3 - - + u = - 3 - 00 - 3 < u < - 1 - + - u = - 1 0 + 0 u > - 1 + + +

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

\geq 0

u < - 3 or u = - 3 or u = - 1 or u > - 1

Mezclar intervalos sobrepuestos

u \leq - 3 or u = - 1 or u > - 1

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

u < - 3

u = - 3

u \leq - 3

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

u \leq - 3

u = - 1

u \leq - 3 or u = - 1

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

u \leq - 3 or u = - 1

u > - 1

u \leq - 3 or u \geq - 1

u \leq - 3 or u \geq - 1

u \leq - 3 or u \geq - 1

u \leq - 3 or u \geq - 1

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) \leq - 3 or sin (x) \geq - 1

sin (x) \leq - 3 :

Falso para todo

x \in R

sin (x) \leq - 3

Rango de

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definición de rango de función

El rango de la función basica

sin

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \leq - 3 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 :

Falso

Sea

y

sin (x)

Combinar los rangos

y \leq - 3 and - 1 \leq y \leq 1

Mezclar intervalos sobrepuestos

y \leq - 3 and - 1 \leq y \leq 1

La intersección de dos intervalos, es el conjunto de numérico común a los dos intervalos

y \leq - 3

- 1 \leq y \leq 1

Falso para todo y \in R

Falso para todo y \in R

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para x \in R

Falso para todo x \in R

sin (x) \geq - 1 :

Verdadero para todo

x \in R

sin (x) \geq - 1

Rango de

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definición de rango de función

El rango de la función basica

sin

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \geq - 1 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Sea

y

sin (x)

Combinar los rangos

y \geq - 1 and - 1 \leq y \leq 1

Mezclar intervalos sobrepuestos

y \geq - 1 and - 1 \leq y \leq 1

La intersección de dos intervalos, es el conjunto de numérico común a los dos intervalos

y \geq - 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Verdadero para todo x

Verdadero para todo x \in R

Combinar los rangos

Falso para todo x \in R or Verdadero para todo x \in R

Mezclar intervalos sobrepuestos

Falso para todo x \in R or Verdadero para todo x \in R

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

Falso para todo

x \in R

Verdadero para todo

x \in R

Verdadero para todo x \in R

Verdadero para todo x

Verdadero para todo x \in R

Ejemplos populares

2cos^2(x)+cos(x)<= 0

2 cos^{2} (x) + cos (x) \leq 0

sin(2t)>=-(sqrt(3))/2

sin (2 t) \geq - \frac{3}{2}

2cos^2(x)+cos(x)<0

2 cos^{2} (x) + cos (x) < 0

3sin(x)<= 3/2

3 sin (x) \leq \frac{3}{2}

tan(x)>-1

tan (x) > - 1