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sin^2(x)+cos(x)>= 1

Solução

sin^{2} (x) + cos (x) \geq 1

Solução

- \frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{2} + 2 πn

Notação de intervalo

[- \frac{π}{2} + 2 πn, \frac{π}{2} + 2 πn]

Decimal

- 1.57079 \dots + 2 πn \leq x \leq 1.57079 \dots + 2 πn

Passos da solução

sin^{2} (x) + cos (x) \geq 1

Usar a seguinte identidade:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Portanto

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) + cos (x) \geq 1

Sea:

u = cos (x)

1 - u^{2} + u \geq 1

1 - u^{2} + u \geq 1 : 0 \leq u \leq 1

1 - u^{2} + u \geq 1

Reescrever na forma geral

1 - u^{2} + u \geq 1

Subtrair

1

de ambos os lados

1 - u^{2} + u - 1 \geq 1 - 1

Simplificar

- u^{2} + u \geq 0

- u^{2} + u \geq 0

Fatorar

- u^{2} + u : - u (u - 1)

- u^{2} + u

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= - uu + u

Fatorar o termo comum

- u

= - u (u - 1)

- u (u - 1) \geq 0

Multiplique ambos os lados por

- 1

(inverta a desigualdade)

(- u (u - 1)) (- 1) \leq 0 \cdot (- 1)

Simplificar

u (u - 1) \leq 0

Identifique os intervalos

Encontre os sinais dos fatores de

u (u - 1)

Encontre os sinais de

u

u = 0

u < 0

u > 0

Encontre os sinais de

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Mova

1

para o lado direito

u - 1 = 0

Adicionar

1

a ambos os lados

u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

Mova

1

para o lado direito

u - 1 < 0

Adicionar

1

a ambos os lados

u - 1 + 1 < 0 + 1

Simplificar

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

Mova

1

para o lado direito

u - 1 > 0

Adicionar

1

a ambos os lados

u - 1 + 1 > 0 + 1

Simplificar

u > 1

u > 1

Resumir em uma tabela:

u u - 1 u (u - 1) u < 0 - - + u = 0 0 - 0 0 < u < 1 + - - u = 1 + 00 u > 1 + + +

Identifique os intervalos que satisfaçam à condição necessária:

\leq 0

u = 0 or 0 < u < 1 or u = 1

Junte intervalos que se sobrepoem

0 \leq u < 1 or u = 1

A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos

u = 0

0 < u < 1

0 \leq u < 1

A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos

0 \leq u < 1

u = 1

0 \leq u \leq 1

0 \leq u \leq 1

0 \leq u \leq 1

0 \leq u \leq 1

Substituir na equação

u = cos (x)

0 \leq cos (x) \leq 1

a \leq u \leq b

então

a \leq u and u \leq b

0 \leq cos (x) and cos (x) \leq 1

0 \leq cos (x) : - \frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{2} + 2 πn

0 \leq cos (x)

Trocar lados

cos (x) \geq 0

Para

cos (x) \geq a

, se

- 1 < a < 1

então

- arccos (a) + 2 πn \leq x \leq arccos (a) + 2 πn

- arccos (0) + 2 πn \leq x \leq arccos (0) + 2 πn

Simplificar

- arccos (0) : - \frac{π}{2}

- arccos (0)

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{π}{2}

Simplificar

arccos (0) : \frac{π}{2}

arccos (0)

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

- \frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{2} + 2 πn

cos (x) \leq 1 :

Verdadeiro para todo

x \in R

cos (x) \leq 1

Imagem de

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Definição de imagem de função

A imagem da função básica

cos

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) \leq 1 and - 1 \leq cos (x) \leq 1 : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Considere

y = cos (x)

Combinar os intervalos

y \leq 1 and - 1 \leq y \leq 1

Junte intervalos que se sobrepoem

y \leq 1 and - 1 \leq y \leq 1

A interseção de dois intervalos é o conjunto de números que está em ambos os intervalos

y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Verdadeiro para todo x

Verdadeiro para todo x \in R

Combinar os intervalos

- \frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{2} + 2 πn and Verdadeiro para todo x \in R

Junte intervalos que se sobrepoem

- \frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{2} + 2 πn

Exemplos populares

cos(x)>= (sqrt(3))/2

cos (x) \geq \frac{3}{2}

cos(x)-1>= 0

cos (x) - 1 \geq 0

2sin(x/2)-1>0

2 sin (\frac{x}{2}) - 1 > 0

sin(3x)<(sqrt(2))/2

sin (3 x) < \frac{2}{2}

sin(2x-pi/(12))<= (sqrt(2))/2

sin (2 x - \frac{π}{12}) \leq \frac{2}{2}