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受欢迎的三角函数 >

sin^2(x)+cos(x)>= 1

解答

sin^{2} (x) + cos (x) \geq 1

解答

- \frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{2} + 2 πn

+2

间隔符号

[- \frac{π}{2} + 2 πn, \frac{π}{2} + 2 πn]

十进制

- 1.57079 \dots + 2 πn \leq x \leq 1.57079 \dots + 2 πn

求解步骤

sin^{2} (x) + cos (x) \geq 1

利用以下特性:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

因此

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) + cos (x) \geq 1

令

: u = cos (x)

1 - u^{2} + u \geq 1

1 - u^{2} + u \geq 1 : 0 \leq u \leq 1

1 - u^{2} + u \geq 1

改写为标准形式

1 - u^{2} + u \geq 1

两边减去

1

1 - u^{2} + u - 1 \geq 1 - 1

化简

- u^{2} + u \geq 0

- u^{2} + u \geq 0

分解

- u^{2} + u : - u (u - 1)

- u^{2} + u

使用指数法则:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= - uu + u

因式分解出通项

- u

= - u (u - 1)

- u (u - 1) \geq 0

两边乘以

- 1

（改变不等式符号）

(- u (u - 1)) (- 1) \leq 0 \cdot (- 1)

化简

u (u - 1) \leq 0

确定区间

确定

u (u - 1)

符号

确定

u

符号

u = 0

u < 0

u > 0

确定

u - 1

符号

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

将

1

到右边

u - 1 = 0

两边加上

1

u - 1 + 1 = 0 + 1

化简

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

将

1

到右边

u - 1 < 0

两边加上

1

u - 1 + 1 < 0 + 1

化简

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

将

1

到右边

u - 1 > 0

两边加上

1

u - 1 + 1 > 0 + 1

化简

u > 1

u > 1

总结如下表：

u u - 1 u (u - 1) u < 0 - - + u = 0 0 - 0 0 < u < 1 + - - u = 1 + 00 u > 1 + + +

确定满足所需条件的区间：

\leq 0

u = 0 or 0 < u < 1 or u = 1

合并重叠的区间

0 \leq u < 1 or u = 1

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

u = 0

or

0 < u < 1

0 \leq u < 1

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

0 \leq u < 1

or

u = 1

0 \leq u \leq 1

0 \leq u \leq 1

0 \leq u \leq 1

0 \leq u \leq 1

u = cos (x)

代回

0 \leq cos (x) \leq 1

若

a \leq u \leq b

，则

a \leq u and u \leq b

0 \leq cos (x) and cos (x) \leq 1

0 \leq cos (x) : - \frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{2} + 2 πn

0 \leq cos (x)

交换两边

cos (x) \geq 0

对于

cos (x) \geq a

，若

- 1 < a < 1

，则

- arccos (a) + 2 πn \leq x \leq arccos (a) + 2 πn

- arccos (0) + 2 πn \leq x \leq arccos (0) + 2 πn

化简

- arccos (0) : - \frac{π}{2}

- arccos (0)

使用以下普通恒等式:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{π}{2}

化简

arccos (0) : \frac{π}{2}

arccos (0)

使用以下普通恒等式:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

- \frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{2} + 2 πn

cos (x) \leq 1 :

对所有

x \in R

为真

cos (x) \leq 1

cos (x)

的值域:

- 1 \leq cos (x) \leq 1

函数值域定义

基本

cos

函数的值域为

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) \leq 1 and - 1 \leq cos (x) \leq 1 : - 1 \leq cos (x) \leq 1

令

y = cos (x)

合并区间

y \leq 1 and - 1 \leq y \leq 1

合并重叠的区间

y \leq 1 and - 1 \leq y \leq 1

两个区间的交集是指同时存在于这两个区间的数的集合

y \leq 1

and

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

对所有 x 为真

对所有 x \in R 为真

合并区间

- \frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{2} + 2 πn and 对所有 x \in R 为真

合并重叠的区间

- \frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{2} + 2 πn

流行的例子

cos(x)>= (sqrt(3))/2

cos (x) \geq \frac{3}{2}

cos (x) - 1 \geq 0

2 sin (\frac{x}{2}) - 1 > 0

sin(3x)<(sqrt(2))/2

sin (3 x) < \frac{2}{2}

sin(2x-pi/(12))<= (sqrt(2))/2

sin (2 x - \frac{π}{12}) \leq \frac{2}{2}