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Beliebt Trigonometrie >

sin(2x-pi/(12))<= (sqrt(2))/2

Lösung

sin (2 x - \frac{π}{12}) \leq \frac{2}{2}

Lösung

- \frac{7 π}{12} + πn \leq x \leq \frac{π}{6} + πn

Intervall-Notation

[- \frac{7 π}{12} + πn, \frac{π}{6} + πn]

Dezimale

- 1.83259 \dots + πn \leq x \leq 0.52359 \dots + πn

Schritte zur Lösung

sin (2 x - \frac{π}{12}) \leq \frac{2}{2}

Für

sin (x) \leq a

, wenn

- 1 < a < 1

dann

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn \leq (2 x - \frac{π}{12}) \leq arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn

Wenn

a \leq u \leq b

dann

a \leq u and u \leq b

- π - arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn \leq 2 x - \frac{π}{12} and 2 x - \frac{π}{12} \leq arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn \leq 2 x - \frac{π}{12} : x \geq - \frac{7 π}{12} + πn

- π - arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn \leq 2 x - \frac{π}{12}

Tausche die Seiten

2 x - \frac{π}{12} \geq - π - arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn

Vereinfache

- π - arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn : - π - \frac{π}{4} + 2 πn

- π - arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - \frac{π}{4} + 2 πn

2 x - \frac{π}{12} \geq - π - \frac{π}{4} + 2 πn

Verschiebe

\frac{π}{12}

auf die rechte Seite

2 x - \frac{π}{12} \geq - π - \frac{π}{4} + 2 πn

Füge

\frac{π}{12}

zu beiden Seiten hinzu

2 x - \frac{π}{12} + \frac{π}{12} \geq - π - \frac{π}{4} + 2 πn + \frac{π}{12}

Vereinfache

2 x - \frac{π}{12} + \frac{π}{12} \geq - π - \frac{π}{4} + 2 πn + \frac{π}{12}

Vereinfache

2 x - \frac{π}{12} + \frac{π}{12} : 2 x

2 x - \frac{π}{12} + \frac{π}{12}

Addiere gleiche Elemente:

- \frac{π}{12} + \frac{π}{12} \geq 0

= 2 x

Vereinfache

- π - \frac{π}{4} + 2 πn + \frac{π}{12} : - π + 2 πn - \frac{π}{6}

- π - \frac{π}{4} + 2 πn + \frac{π}{12}

Fasse gleiche Terme zusammen

= - π + 2 πn - \frac{π}{4} + \frac{π}{12}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

4, 12 : 12

4, 12

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

4 : 2 \cdot 2

4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2

Primfaktorzerlegung von

12 : 2 \cdot 2 \cdot 3

12

12

ist durch

212 = 6 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

4

oder

12

vorkommt

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

12

Für

\frac{π}{4} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

3

\frac{π}{4} = \frac{π 3}{4 \cdot 3} = \frac{π 3}{12}

= - \frac{π 3}{12} + \frac{π}{12}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 3 + π}{12}

Addiere gleiche Elemente:

- 3 π + π = - 2 π

= \frac{- 2 π}{12}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 π}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - π + 2 πn - \frac{π}{6}

2 x \geq - π + 2 πn - \frac{π}{6}

2 x \geq - π + 2 πn - \frac{π}{6}

2 x \geq - π + 2 πn - \frac{π}{6}

Teile beide Seiten durch

2

2 x \geq - π + 2 πn - \frac{π}{6}

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} \geq - \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{2} - \frac{\frac{π}{6}}{2}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} \geq - \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{2} - \frac{\frac{π}{6}}{2}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

- \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{2} - \frac{\frac{π}{6}}{2} : πn - \frac{π}{2} - \frac{π}{12}

- \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{2} - \frac{\frac{π}{6}}{2}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= πn

\frac{\frac{π}{6}}{2} = \frac{π}{12}

\frac{\frac{π}{6}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{6 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

6 \cdot 2 = 12

= \frac{π}{12}

= - \frac{π}{2} + πn - \frac{π}{12}

Fasse gleiche Terme zusammen

= πn - \frac{π}{2} - \frac{π}{12}

x \geq πn - \frac{π}{2} - \frac{π}{12}

x \geq πn - \frac{π}{2} - \frac{π}{12}

Vereinfache

- \frac{π}{2} - \frac{π}{12} : - \frac{7 π}{12}

- \frac{π}{2} - \frac{π}{12}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

2, 12 : 12

2, 12

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Primfaktorzerlegung von

12 : 2 \cdot 2 \cdot 3

12

12

ist durch

212 = 6 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

2

oder

12

vorkommt

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

12

Für

\frac{π}{2} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

6

\frac{π}{2} = \frac{π 6}{2 \cdot 6} = \frac{π 6}{12}

= - \frac{π 6}{12} - \frac{π}{12}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 6 - π}{12}

Addiere gleiche Elemente:

- 6 π - π = - 7 π

= \frac{- 7 π}{12}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{7 π}{12}

x \geq - \frac{7 π}{12} + πn

x \geq - \frac{7 π}{12} + πn

2 x - \frac{π}{12} \leq arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn : x \leq πn + \frac{π}{6}

2 x - \frac{π}{12} \leq arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn

Vereinfache

arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn : \frac{π}{4} + 2 πn

arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{4} + 2 πn

2 x - \frac{π}{12} \leq \frac{π}{4} + 2 πn

Verschiebe

\frac{π}{12}

auf die rechte Seite

2 x - \frac{π}{12} \leq \frac{π}{4} + 2 πn

Füge

\frac{π}{12}

zu beiden Seiten hinzu

2 x - \frac{π}{12} + \frac{π}{12} \leq \frac{π}{4} + 2 πn + \frac{π}{12}

Vereinfache

2 x - \frac{π}{12} + \frac{π}{12} \leq \frac{π}{4} + 2 πn + \frac{π}{12}

Vereinfache

2 x - \frac{π}{12} + \frac{π}{12} : 2 x

2 x - \frac{π}{12} + \frac{π}{12}

Addiere gleiche Elemente:

- \frac{π}{12} + \frac{π}{12} \leq 0

= 2 x

Vereinfache

\frac{π}{4} + 2 πn + \frac{π}{12} : 2 πn + \frac{π}{3}

\frac{π}{4} + 2 πn + \frac{π}{12}

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 πn + \frac{π}{4} + \frac{π}{12}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

4, 12 : 12

4, 12

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

4 : 2 \cdot 2

4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2

Primfaktorzerlegung von

12 : 2 \cdot 2 \cdot 3

12

12

ist durch

212 = 6 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

4

oder

12

vorkommt

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

12

Für

\frac{π}{4} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

3

\frac{π}{4} = \frac{π 3}{4 \cdot 3} = \frac{π 3}{12}

= \frac{π 3}{12} + \frac{π}{12}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 3 + π}{12}

Addiere gleiche Elemente:

3 π + π = 4 π

= \frac{4 π}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= 2 πn + \frac{π}{3}

2 x \leq 2 πn + \frac{π}{3}

2 x \leq 2 πn + \frac{π}{3}

2 x \leq 2 πn + \frac{π}{3}

Teile beide Seiten durch

2

2 x \leq 2 πn + \frac{π}{3}

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} \leq \frac{2 πn}{2} + \frac{\frac{π}{3}}{2}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} \leq \frac{2 πn}{2} + \frac{\frac{π}{3}}{2}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

\frac{2 πn}{2} + \frac{\frac{π}{3}}{2} : πn + \frac{π}{6}

\frac{2 πn}{2} + \frac{\frac{π}{3}}{2}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= πn

\frac{\frac{π}{3}}{2} = \frac{π}{6}

\frac{\frac{π}{3}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{3 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 2 = 6

= \frac{π}{6}

= πn + \frac{π}{6}

x \leq πn + \frac{π}{6}

x \leq πn + \frac{π}{6}

x \leq πn + \frac{π}{6}

Kombiniere die Bereiche

x \geq - \frac{7 π}{12} + πn and x \leq πn + \frac{π}{6}

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

- \frac{7 π}{12} + πn \leq x \leq \frac{π}{6} + πn

Beliebte Beispiele

| pi/3 |<tan(t),-csc(2t)

\frac{π}{3} < tan (t), - csc (2 t)

tan(x)<2

tan (x) < 2

cos(2x+pi/6)<=-1/2

cos (2 x + \frac{π}{6}) \leq - \frac{1}{2}

cos(x/7)<= 1/2

cos (\frac{x}{7}) \leq \frac{1}{2}

sin(2t)>=-1/2

sin (2 t) \geq - \frac{1}{2}