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Populaire Trigonométrie >

cos^2(x)-cos(x)-2>= 0

Solution

cos^{2} (x) - cos (x) - 2 \geq 0

Solution

x = π + 2 πn

Décimale

x = 3.14159 \dots + 2 πn

étapes des solutions

cos^{2} (x) - cos (x) - 2 \geq 0

Soit :

u = cos (x)

u^{2} - u - 2 \geq 0

u^{2} - u - 2 \geq 0 : u \leq - 1 or u \geq 2

u^{2} - u - 2 \geq 0

Factoriser

u^{2} - u - 2 : (u + 1) (u - 2)

u^{2} - u - 2

Décomposer l'expression en groupes

u^{2} - u - 2

Définition

Facteurs de

2 : 1, 2

2

Diviseurs (Facteurs)

Trouver les facteurs premiers de

2 : 2

2

2

est un nombre premier, par conséquent aucune factorisation n'est possible

= 2

Ajouter 1

1

Les facteurs de

2

1, 2

Facteurs négatifs de

2 : - 1, - 2

Multiplier les facteurs par

- 1

pour obtenir des facteurs négatifs

- 1, - 2

Pour chaque deux facteurs tels que

u * v = - 2,

vérifier si

u + v = - 1

Vérifier

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

vraiVérifier

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

Faux

u = 1, v = - 2

Grouper dans

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(u^{2} + u) + (- 2 u - 2)

= (u^{2} + u) + (- 2 u - 2)

Factoriser

u

depuis

u^{2} + u : u (u + 1)

u^{2} + u

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= uu + u

Factoriser le terme commun

u

= u (u + 1)

Factoriser

- 2

depuis

- 2 u - 2 : - 2 (u + 1)

- 2 u - 2

Factoriser le terme commun

- 2

= - 2 (u + 1)

= u (u + 1) - 2 (u + 1)

Factoriser le terme commun

u + 1

= (u + 1) (u - 2)

(u + 1) (u - 2) \geq 0

Identifier les intervalles

Trouver les signes des facteurs de

(u + 1) (u - 2)

Trouver les signes de

u + 1

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

u + 1 = 0

Soustraire

1

des deux côtés

u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplifier

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

Déplacer

1

vers la droite

u + 1 < 0

Soustraire

1

des deux côtés

u + 1 - 1 < 0 - 1

Simplifier

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

Déplacer

1

vers la droite

u + 1 > 0

Soustraire

1

des deux côtés

u + 1 - 1 > 0 - 1

Simplifier

u > - 1

u > - 1

Trouver les signes de

u - 2

u - 2 = 0 : u = 2

u - 2 = 0

Déplacer

2

vers la droite

u - 2 = 0

Ajouter

2

aux deux côtés

u - 2 + 2 = 0 + 2

Simplifier

u = 2

u = 2

u - 2 < 0 : u < 2

u - 2 < 0

Déplacer

2

vers la droite

u - 2 < 0

Ajouter

2

aux deux côtés

u - 2 + 2 < 0 + 2

Simplifier

u < 2

u < 2

u - 2 > 0 : u > 2

u - 2 > 0

Déplacer

2

vers la droite

u - 2 > 0

Ajouter

2

aux deux côtés

u - 2 + 2 > 0 + 2

Simplifier

u > 2

u > 2

Récapituler dans un tableau:

u + 1 u - 2 (u + 1) (u - 2) u < - 1 - - + u = - 1 0 - 0 - 1 < u < 2 + - - u = 2 + 00 u > 2 + + +

Identifier les intervalles qui répondent à la conditions requise :

\geq 0

u < - 1 or u = - 1 or u = 2 or u > 2

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

u \leq - 1 or u = 2 or u > 2

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

u < - 1

u = - 1

u \leq - 1

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

u \leq - 1

u = 2

u \leq - 1 or u = 2

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

u \leq - 1 or u = 2

u > 2

u \leq - 1 or u \geq 2

u \leq - 1 or u \geq 2

u \leq - 1 or u \geq 2

u \leq - 1 or u \geq 2

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) \leq - 1 or cos (x) \geq 2

cos (x) \leq - 1 : x = π + 2 πn

cos (x) \leq - 1

Pour

cos (x) \leq a

, si

- 1 < a < 1

alors

arccos (a) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (- 1) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (- 1) + 2 πn

Simplifier

arccos (- 1) : π

arccos (- 1)

Utiliser l'identité triviale suivante:

arccos (- 1) = π

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= π

Simplifier

2 π - arccos (- 1) : π

2 π - arccos (- 1)

Utiliser l'identité triviale suivante:

arccos (- 1) = π

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - π

Additionner les éléments similaires :

2 π - π = π

= π

π + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

Simplifier

x = π + 2 πn

cos (x) \geq 2 :

Faux pour toute

x \in R

cos (x) \geq 2

Plage de

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Définition de la plage de fonction

La plage de la base de la fonction

cos

est

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) \geq 2 and - 1 \leq cos (x) \leq 1 :

Faux

Soit

y = cos (x)

Réunir les intervalles

y \geq 2 and - 1 \leq y \leq 1

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

y \geq 2 and - 1 \leq y \leq 1

L'intersection de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans les deux intervalles

y \geq 2

- 1 \leq y \leq 1

Faux pour toute y \in R

Faux pour toute y \in R

Aucune solution pour x \in R

Faux pour toute x \in R

Réunir les intervalles

x = π + 2 πn or Faux pour toute x \in R

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

x = π + 2 πn

Exemples populaires

7cos^2(x)-5cos(x)+sin^2(x)<= 0

7 cos^{2} (x) - 5 cos (x) + sin^{2} (x) \leq 0

cos(-x)<0

cos (- x) < 0

sin(x^2)>= 0

sin (x^{2}) \geq 0

sin(x)+cos(x)<= 2

sin (x) + cos (x) \leq 2

2cos^2(x)+sin(2x)<= 0

2 cos^{2} (x) + sin (2 x) \leq 0