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Populaire Trigonométrie >

cos^2(x)-cos(x)-2>= 0

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Solution

cos2(x)−cos(x)−2≥0

Solution

x=π+2πn
+1
Décimale
x=3.14159…+2πn
étapes des solutions
cos2(x)−cos(x)−2≥0
Soit : u=cos(x)u2−u−2≥0
u2−u−2≥0:u≤−1oru≥2
u2−u−2≥0
Factoriser u2−u−2:(u+1)(u−2)
u2−u−2
Décomposer l'expression en groupes
u2−u−2
Définition
Facteurs de 2:1,2
2
Diviseurs (Facteurs)
Trouver les facteurs premiers de 2:2
2
2 est un nombre premier, par conséquent aucune factorisation n'est possible=2
Ajouter 11
Les facteurs de 21,2
Facteurs négatifs de 2:−1,−2
Multiplier les facteurs par −1 pour obtenir des facteurs négatifs−1,−2
Pour chaque deux facteurs tels que u∗v=−2,vérifier si u+v=−1
Vérifier u=1,v=−2:u∗v=−2,u+v=−1⇒vraiVérifier u=2,v=−1:u∗v=−2,u+v=1⇒Faux
u=1,v=−2
Grouper dans (ax2+ux)+(vx+c)(u2+u)+(−2u−2)
=(u2+u)+(−2u−2)
Factoriser udepuis u2+u:u(u+1)
u2+u
Appliquer la règle de l'exposant: ab+c=abacu2=uu=uu+u
Factoriser le terme commun u=u(u+1)
Factoriser −2depuis −2u−2:−2(u+1)
−2u−2
Factoriser le terme commun −2=−2(u+1)
=u(u+1)−2(u+1)
Factoriser le terme commun u+1=(u+1)(u−2)
(u+1)(u−2)≥0
Identifier les intervalles
Trouver les signes des facteurs de (u+1)(u−2)
Trouver les signes de u+1
u+1=0:u=−1
u+1=0
Déplacer 1vers la droite
u+1=0
Soustraire 1 des deux côtésu+1−1=0−1
Simplifieru=−1
u=−1
u+1<0:u<−1
u+1<0
Déplacer 1vers la droite
u+1<0
Soustraire 1 des deux côtésu+1−1<0−1
Simplifieru<−1
u<−1
u+1>0:u>−1
u+1>0
Déplacer 1vers la droite
u+1>0
Soustraire 1 des deux côtésu+1−1>0−1
Simplifieru>−1
u>−1
Trouver les signes de u−2
u−2=0:u=2
u−2=0
Déplacer 2vers la droite
u−2=0
Ajouter 2 aux deux côtésu−2+2=0+2
Simplifieru=2
u=2
u−2<0:u<2
u−2<0
Déplacer 2vers la droite
u−2<0
Ajouter 2 aux deux côtésu−2+2<0+2
Simplifieru<2
u<2
u−2>0:u>2
u−2>0
Déplacer 2vers la droite
u−2>0
Ajouter 2 aux deux côtésu−2+2>0+2
Simplifieru>2
u>2
Récapituler dans un tableau:u+1u−2(u+1)(u−2)​u<−1−−+​u=−10−0​−1<u<2+−−​u=2+00​u>2+++​​
Identifier les intervalles qui répondent à la conditions requise : ≥0u<−1oru=−1oru=2oru>2
Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent
u≤−1oru=2oru>2
L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles
u<−1ouu=−1
u≤−1
L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles
u≤−1ouu=2
u≤−1oru=2
L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles
u≤−1oru=2ouu>2
u≤−1oru≥2
u≤−1oru≥2
u≤−1oru≥2
u≤−1oru≥2
Remplacer u=cos(x)cos(x)≤−1orcos(x)≥2
cos(x)≤−1:x=π+2πn
cos(x)≤−1
Pour cos(x)≤a, si −1<a<1 alors arccos(a)+2πn≤x≤2π−arccos(a)+2πnarccos(−1)+2πn≤x≤2π−arccos(−1)+2πn
Simplifier arccos(−1):π
arccos(−1)
Utiliser l'identité triviale suivante:arccos(−1)=πx−1−23​​−22​​−21​021​22​​23​​1​arccos(x)π65π​43π​32π​2π​3π​4π​6π​0​arccos(x)180∘150∘135∘120∘90∘60∘45∘30∘0∘​​=π
Simplifier 2π−arccos(−1):π
2π−arccos(−1)
Utiliser l'identité triviale suivante:arccos(−1)=πx−1−23​​−22​​−21​021​22​​23​​1​arccos(x)π65π​43π​32π​2π​3π​4π​6π​0​arccos(x)180∘150∘135∘120∘90∘60∘45∘30∘0∘​​=2π−π
Additionner les éléments similaires : 2π−π=π=π
π+2πn≤x≤π+2πn
Simplifierx=π+2πn
cos(x)≥2:Faux pour toute x∈R
cos(x)≥2
Plage de cos(x):−1≤cos(x)≤1
Définition de la plage de fonction
La plage de la base de la fonction cosest −1≤cos(x)≤1−1≤cos(x)≤1
cos(x)≥2and−1≤cos(x)≤1:Faux
Soit y=cos(x)
Réunir les intervallesy≥2and−1≤y≤1
Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent
y≥2and−1≤y≤1
L'intersection de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans les deux intervalles
y≥2et−1≤y≤1
Fauxpourtoutey∈R
Fauxpourtoutey∈R
Aucunesolutionpourx∈R
Fauxpourtoutex∈R
Réunir les intervallesx=π+2πnorFauxpourtoutex∈R
Faire fusionner les intervalles qui se chevauchentx=π+2πn

Exemples populaires

7cos^2(x)-5cos(x)+sin^2(x)<= 07cos2(x)−5cos(x)+sin2(x)≤0cos(-x)<0cos(−x)<0sin(x^2)>= 0sin(x2)≥0sin(x)+cos(x)<= 2sin(x)+cos(x)≤22cos^2(x)+sin(2x)<= 02cos2(x)+sin(2x)≤0
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