English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

פּוֹפּוּלָרִי טריגונומטריה >

7cos^2(x)-5cos(x)+sin^2(x)<= 0

פתרון

7 cos^{2} (x) - 5 cos (x) + sin^{2} (x) \leq 0

פתרון

\frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn or - arccos (\frac{1}{3}) + 2 π + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

סימון מרווחים

[\frac{π}{3} + 2 πn, arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn] \cup [- arccos (\frac{1}{3}) + 2 π + 2 πn, \frac{5 π}{3} + 2 πn]

עשרוני

1.04719 \dots + 2 πn \leq x \leq 1.23095 \dots + 2 πn or 5.05222 \dots + 2 πn \leq x \leq 5.23598 \dots + 2 πn

צעדי פתרון

7 cos^{2} (x) - 5 cos (x) + sin^{2} (x) \leq 0

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

:השתמש בזהות הבאה

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

לכן

7 cos^{2} (x) - 5 cos (x) + 1 - cos^{2} (x) \leq 0

פשט

6 cos^{2} (x) - 5 cos (x) + 1 \leq 0

u = cos (x) :

נניח ש

6 u^{2} - 5 u + 1 \leq 0

6 u^{2} - 5 u + 1 \leq 0 : \frac{1}{3} \leq u \leq \frac{1}{2}

6 u^{2} - 5 u + 1 \leq 0

6 u^{2} - 5 u + 1

פרק לגורמים את:

(3 u - 1) (2 u - 1)

6 u^{2} - 5 u + 1

חלק הביטוי לקבוצות

6 u^{2} - 5 u + 1

הגדרה

Factors of

6 : 1, 2, 3, 6

6

Divisors (Factors)

Find the Prime factors of

6 : 2, 3

6

6 = 3 \cdot 2, 2

מתחלק ב

6

= 2 \cdot 3

מורכב ממספרים ראשוניים בלבד, לכו פירוק נוסף אינו אפשרי

2, 3

= 2 \cdot 3

Add the prime factors:

2, 3

Add 1 and the number

6

itself

1, 6

6

המחלקים של

1, 2, 3, 6

Negative factors of

6 : - 1, - 2, - 3, - 6

Multiply the factors by

- 1

to get the negative factors

- 1, - 2, - 3, - 6

For every two factors such that

u * v = 6,

check if

u + v = - 5

Check

u = 1, v = 6 : u * v = 6, u + v = 7 \Rightarrow

לא נכוןCheck

u = 2, v = 3 : u * v = 6, u + v = 5 \Rightarrow

לא נכון

u = - 2, v = - 3

Group into

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(6 u^{2} - 2 u) + (- 3 u + 1)

= (6 u^{2} - 2 u) + (- 3 u + 1)

2 u (3 u - 1)

6 u^{2} - 2 u

2 u

הוצא את הגורם

6 u^{2} - 2 u

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

:הפעל את חוק החזקות

u^{2} = uu

= 6 uu - 2 u

2 \cdot 3

בתור

6

כתוב מחדש את

= 2 \cdot 3 uu - 2 u

2 u

הוצא את הגורם המשותף

= 2 u (3 u - 1)

- (3 u - 1)

- 3 u + 1

- 1

הוצא את הגורם

- 3 u + 1

- 1

הוצא את הגורם המשותף

= - (3 u - 1)

= 2 u (3 u - 1) - (3 u - 1)

3 u - 1

הוצא את הגורם המשותף

= (3 u - 1) (2 u - 1)

(3 u - 1) (2 u - 1) \leq 0

זהה את הטווחים השונים

(3 u - 1) (2 u - 1)

:חשב את הסימן לכל אחד מהגורמים עבור

3 u - 1

:חשב את הסימן עבור

3 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{3}

3 u - 1 = 0

לצד ימין

1

העבר

3 u - 1 = 0

לשני האגפים

1

הוסף

3 u - 1 + 1 = 0 + 1

פשט

3 u = 1

3 u = 1

3

חלק את שני האגפים ב

3 u = 1

3

חלק את שני האגפים ב

\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}

פשט

u = \frac{1}{3}

u = \frac{1}{3}

3 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{3}

3 u - 1 < 0

לצד ימין

1

העבר

3 u - 1 < 0

לשני האגפים

1

הוסף

3 u - 1 + 1 < 0 + 1

פשט

3 u < 1

3 u < 1

3

חלק את שני האגפים ב

3 u < 1

3

חלק את שני האגפים ב

\frac{3 u}{3} < \frac{1}{3}

פשט

u < \frac{1}{3}

u < \frac{1}{3}

3 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{3}

3 u - 1 > 0

לצד ימין

1

העבר

3 u - 1 > 0

לשני האגפים

1

הוסף

3 u - 1 + 1 > 0 + 1

פשט

3 u > 1

3 u > 1

3

חלק את שני האגפים ב

3 u > 1

3

חלק את שני האגפים ב

\frac{3 u}{3} > \frac{1}{3}

פשט

u > \frac{1}{3}

u > \frac{1}{3}

2 u - 1

:חשב את הסימן עבור

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

לצד ימין

1

העבר

2 u - 1 = 0

לשני האגפים

1

הוסף

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

פשט

2 u = 1

2 u = 1

2

חלק את שני האגפים ב

2 u = 1

2

חלק את שני האגפים ב

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

פשט

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

לצד ימין

1

העבר

2 u - 1 < 0

לשני האגפים

1

הוסף

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

פשט

2 u < 1

2 u < 1

2

חלק את שני האגפים ב

2 u < 1

2

חלק את שני האגפים ב

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

פשט

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

לצד ימין

1

העבר

2 u - 1 > 0

לשני האגפים

1

הוסף

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

פשט

2 u > 1

2 u > 1

2

חלק את שני האגפים ב

2 u > 1

2

חלק את שני האגפים ב

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

פשט

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

סכם בטבלה

3 u - 1 2 u - 1 (3 u - 1) (2 u - 1) u < \frac{1}{3} - - + u = \frac{1}{3} 0 - 0 \frac{1}{3} < u < \frac{1}{2} + - - u = \frac{1}{2} + 00 u > \frac{1}{2} + + +

\leq 0 :

בחירת הטווחים המקיימים את התנאי

u = \frac{1}{3} or \frac{1}{3} < u < \frac{1}{2} or u = \frac{1}{2}

מזג טווחים חופפים

\frac{1}{3} \leq u < \frac{1}{2} or u = \frac{1}{2}

האיחוד של שני טווחים הוא סט המספרים אשר נמצאים באחד הטווחים

u = \frac{1}{3}

או

\frac{1}{3} < u < \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq u < \frac{1}{2}

האיחוד של שני טווחים הוא סט המספרים אשר נמצאים באחד הטווחים

\frac{1}{3} \leq u < \frac{1}{2}

או

u = \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq u \leq \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq u \leq \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq u \leq \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq u \leq \frac{1}{2}

u = cos (x)

החלף בחזרה

\frac{1}{3} \leq cos (x) \leq \frac{1}{2}

a \leq u and u \leq b

אז

a \leq u \leq b

אם

\frac{1}{3} \leq cos (x) and cos (x) \leq \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq cos (x) : - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

\frac{1}{3} \leq cos (x)

הפוך את האגפים

cos (x) \geq \frac{1}{3}

For

cos (x) \geq a

, if

- 1 < a < 1

then

- arccos (a) + 2 πn \leq x \leq arccos (a) + 2 πn

- arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

cos (x) \leq \frac{1}{2} : \frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) \leq \frac{1}{2}

For

cos (x) \leq a

, if

- 1 < a < 1

then

arccos (a) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

arccos (\frac{1}{2})

פשט את:

\frac{π}{3}

arccos (\frac{1}{2})

השתמש בזהות הבסיסית הבאה:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

2 π - arccos (\frac{1}{2})

פשט את:

\frac{5 π}{3}

2 π - arccos (\frac{1}{2})

השתמש בזהות הבסיסית הבאה:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{π}{3}

פשט

2 π - \frac{π}{3}

2 π = \frac{2 π 3}{3}

:המר את המספרים לשברים

= \frac{2 π 3}{3} - \frac{π}{3}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:מאחר והמכנים שווים, חבר את המונים

= \frac{2 π 3 - π}{3}

2 π 3 - π = 5 π

2 π 3 - π

2 \cdot 3 = 6 :

הכפל את המספרים

= 6 π - π

6 π - π = 5 π :

חבר איברים דומים

= 5 π

= \frac{5 π}{3}

= \frac{5 π}{3}

\frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

אחד את הטווחים

- arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn and \frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

מזג טווחים חופפים

\frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn or - arccos (\frac{1}{3}) + 2 π + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

דוגמאות פופולריות

cos(-x)<0

cos (- x) < 0

sin(x^2)>= 0

sin (x^{2}) \geq 0

sin(x)+cos(x)<= 2

sin (x) + cos (x) \leq 2

2cos^2(x)+sin(2x)<= 0

2 cos^{2} (x) + sin (2 x) \leq 0

cos(2x)> 1/(sqrt(2))

cos (2 x) > \frac{1}{2}