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人気のある三角関数 >

7cos^2(x)-5cos(x)+sin^2(x)<= 0

解

7 cos^{2} (x) - 5 cos (x) + sin^{2} (x) \leq 0

解

\frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn or - arccos (\frac{1}{3}) + 2 π + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

+2

区間表記

[\frac{π}{3} + 2 πn, arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn] \cup [- arccos (\frac{1}{3}) + 2 π + 2 πn, \frac{5 π}{3} + 2 πn]

十進法表記

1.04719 \dots + 2 πn \leq x \leq 1.23095 \dots + 2 πn or 5.05222 \dots + 2 πn \leq x \leq 5.23598 \dots + 2 πn

解答ステップ

7 cos^{2} (x) - 5 cos (x) + sin^{2} (x) \leq 0

次の恒等を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

このため

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

7 cos^{2} (x) - 5 cos (x) + 1 - cos^{2} (x) \leq 0

簡素化

6 cos^{2} (x) - 5 cos (x) + 1 \leq 0

仮定:

u = cos (x)

6 u^{2} - 5 u + 1 \leq 0

6 u^{2} - 5 u + 1 \leq 0 : \frac{1}{3} \leq u \leq \frac{1}{2}

6 u^{2} - 5 u + 1 \leq 0

因数

6 u^{2} - 5 u + 1 : (3 u - 1) (2 u - 1)

6 u^{2} - 5 u + 1

式をグループに分ける

6 u^{2} - 5 u + 1

定義

以下の因数:

6 : 1, 2, 3, 6

6

除数 (因数)

以下の素因数を求める:

6 : 2, 3

6

626 = 3 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 3

2, 3

はすべて素数である。ゆえにさらに因数分解することはできない

= 2 \cdot 3

素因数を加える:

2, 3

1 および

6

の数自体を加える

1, 6

以下の因数:

6

1, 2, 3, 6

以下の負の因数:

6 : - 1, - 2, - 3, - 6

因数に

- 1

を乗じて負の因数を得る

- 1, - 2, - 3, - 6

u * v = 6

などの各 2 因数で以下をチェックする:

u + v = - 5

以下をチェックする:

u = 1, v = 6 : u * v = 6, u + v = 7 \Rightarrow

偽以下をチェックする:

u = 2, v = 3 : u * v = 6, u + v = 5 \Rightarrow

偽

u = - 2, v = - 3

以下に分ける:

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(6 u^{2} - 2 u) + (- 3 u + 1)

= (6 u^{2} - 2 u) + (- 3 u + 1)

2 u

を

6 u^{2} - 2 u : 2 u (3 u - 1)

からくくり出す

6 u^{2} - 2 u

指数の規則を適用する:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 6 uu - 2 u

6

を書き換え

2 \cdot 3

= 2 \cdot 3 uu - 2 u

共通項をくくり出す

2 u

= 2 u (3 u - 1)

- 1

を

- 3 u + 1 : - (3 u - 1)

からくくり出す

- 3 u + 1

共通項をくくり出す

- 1

= - (3 u - 1)

= 2 u (3 u - 1) - (3 u - 1)

共通項をくくり出す

3 u - 1

= (3 u - 1) (2 u - 1)

(3 u - 1) (2 u - 1) \leq 0

区間を特定する

以下の因数の符号を求める:

(3 u - 1) (2 u - 1)

以下の符号を求める:

3 u - 1

3 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{3}

3 u - 1 = 0

1

を右側に移動します

3 u - 1 = 0

両辺に

1

を足す

3 u - 1 + 1 = 0 + 1

簡素化

3 u = 1

3 u = 1

以下で両辺を割る

3

3 u = 1

以下で両辺を割る

3

\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}

簡素化

u = \frac{1}{3}

u = \frac{1}{3}

3 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{3}

3 u - 1 < 0

1

を右側に移動します

3 u - 1 < 0

両辺に

1

を足す

3 u - 1 + 1 < 0 + 1

簡素化

3 u < 1

3 u < 1

以下で両辺を割る

3

3 u < 1

以下で両辺を割る

3

\frac{3 u}{3} < \frac{1}{3}

簡素化

u < \frac{1}{3}

u < \frac{1}{3}

3 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{3}

3 u - 1 > 0

1

を右側に移動します

3 u - 1 > 0

両辺に

1

を足す

3 u - 1 + 1 > 0 + 1

簡素化

3 u > 1

3 u > 1

以下で両辺を割る

3

3 u > 1

以下で両辺を割る

3

\frac{3 u}{3} > \frac{1}{3}

簡素化

u > \frac{1}{3}

u > \frac{1}{3}

以下の符号を求める:

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

1

を右側に移動します

2 u - 1 = 0

両辺に

1

を足す

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

簡素化

2 u = 1

2 u = 1

以下で両辺を割る

2

2 u = 1

以下で両辺を割る

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

簡素化

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

1

を右側に移動します

2 u - 1 < 0

両辺に

1

を足す

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

簡素化

2 u < 1

2 u < 1

以下で両辺を割る

2

2 u < 1

以下で両辺を割る

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

簡素化

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

1

を右側に移動します

2 u - 1 > 0

両辺に

1

を足す

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

簡素化

2 u > 1

2 u > 1

以下で両辺を割る

2

2 u > 1

以下で両辺を割る

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

簡素化

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

表で要約する:

3 u - 1 2 u - 1 (3 u - 1) (2 u - 1) u < \frac{1}{3} - - + u = \frac{1}{3} 0 - 0 \frac{1}{3} < u < \frac{1}{2} + - - u = \frac{1}{2} + 00 u > \frac{1}{2} + + +

必要条件を満たす区間を特定する:

\leq 0

u = \frac{1}{3} or \frac{1}{3} < u < \frac{1}{2} or u = \frac{1}{2}

重複している区間をマージする

\frac{1}{3} \leq u < \frac{1}{2} or u = \frac{1}{2}

2つの区間の和集合は, 区間

u = \frac{1}{3}

または

のいずれかの数の集合である

\frac{1}{3} < u < \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq u < \frac{1}{2}

2つの区間の和集合は, 区間

\frac{1}{3} \leq u < \frac{1}{2}

または

のいずれかの数の集合である

u = \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq u \leq \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq u \leq \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq u \leq \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq u \leq \frac{1}{2}

代用を戻す

u = cos (x)

\frac{1}{3} \leq cos (x) \leq \frac{1}{2}

a \leq u \leq b

の場合は

a \leq u and u \leq b

\frac{1}{3} \leq cos (x) and cos (x) \leq \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq cos (x) : - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

\frac{1}{3} \leq cos (x)

辺を交換する

cos (x) \geq \frac{1}{3}

cos (x) \geq a

では,

- 1 < a < 1

の場合は

- arccos (a) + 2 πn \leq x \leq arccos (a) + 2 πn

- arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

cos (x) \leq \frac{1}{2} : \frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) \leq \frac{1}{2}

cos (x) \leq a

では,

- 1 < a < 1

の場合は

arccos (a) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

簡素化

arccos (\frac{1}{2}) : \frac{π}{3}

arccos (\frac{1}{2})

次の自明恒等式を使用する:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

簡素化

2 π - arccos (\frac{1}{2}) : \frac{5 π}{3}

2 π - arccos (\frac{1}{2})

次の自明恒等式を使用する:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{π}{3}

簡素化

2 π - \frac{π}{3}

元を分数に変換する:

2 π = \frac{2 π 3}{3}

= \frac{2 π 3}{3} - \frac{π}{3}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 3 - π}{3}

2 π 3 - π = 5 π

2 π 3 - π

数を乗じる:

2 \cdot 3 = 6

= 6 π - π

類似した元を足す:

6 π - π = 5 π

= 5 π

= \frac{5 π}{3}

= \frac{5 π}{3}

\frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

区間を組み合わせる

- arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn and \frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

重複している区間をマージする

\frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn or - arccos (\frac{1}{3}) + 2 π + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

人気の例

cos (- x) < 0

sin (x^{2}) \geq 0

sin(x)+cos(x)<= 2

sin (x) + cos (x) \leq 2

2cos^2(x)+sin(2x)<= 0

2 cos^{2} (x) + sin (2 x) \leq 0

cos(2x)> 1/(sqrt(2))

cos (2 x) > \frac{1}{2}