English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Популярное Тригонометрия >

7cos^2(x)-5cos(x)+sin^2(x)<= 0

Решение

7 cos^{2} (x) - 5 cos (x) + sin^{2} (x) \leq 0

Решение

\frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn or - arccos (\frac{1}{3}) + 2 π + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

Обозначение интервала

[\frac{π}{3} + 2 πn, arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn] \cup [- arccos (\frac{1}{3}) + 2 π + 2 πn, \frac{5 π}{3} + 2 πn]

десятичными цифрами

1.04719 \dots + 2 πn \leq x \leq 1.23095 \dots + 2 πn or 5.05222 \dots + 2 πn \leq x \leq 5.23598 \dots + 2 πn

Шаги решения

7 cos^{2} (x) - 5 cos (x) + sin^{2} (x) \leq 0

Используйте следующую тождественность:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Поэтому

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

7 cos^{2} (x) - 5 cos (x) + 1 - cos^{2} (x) \leq 0

После упрощения получаем

6 cos^{2} (x) - 5 cos (x) + 1 \leq 0

Допустим:

u = cos (x)

6 u^{2} - 5 u + 1 \leq 0

6 u^{2} - 5 u + 1 \leq 0 : \frac{1}{3} \leq u \leq \frac{1}{2}

6 u^{2} - 5 u + 1 \leq 0

коэффициент

6 u^{2} - 5 u + 1 : (3 u - 1) (2 u - 1)

6 u^{2} - 5 u + 1

Разбейте выражение на группы

6 u^{2} - 5 u + 1

Определение

Множители

6 : 1, 2, 3, 6

6

Делители (множители)

Найдите простые множители

6 : 2, 3

6

6

делится на

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 3

2, 3

являеются простыми числами, поэтому дальнейшее разложение на множители невозможно

= 2 \cdot 3

Добавьте основные множители:

2, 3

Добавить 1 и само число

6

1, 6

Факторы

6

1, 2, 3, 6

Отрицательные коэффициенты

6 : - 1, - 2, - 3, - 6

Умножьте коэффициенты на

- 1

чтобы получить отрицательные коэффициенты

- 1, - 2, - 3, - 6

Для каждых двух множителей таких, как

u * v = 6,

проверьте, если

u + v = - 5

Проверьте

u = 1, v = 6 : u * v = 6, u + v = 7 \Rightarrow

НеверноПроверьте

u = 2, v = 3 : u * v = 6, u + v = 5 \Rightarrow

Неверно

u = - 2, v = - 3

Сгруппируйте в

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(6 u^{2} - 2 u) + (- 3 u + 1)

= (6 u^{2} - 2 u) + (- 3 u + 1)

Вынести

2 u

из

6 u^{2} - 2 u : 2 u (3 u - 1)

6 u^{2} - 2 u

Примените правило возведения в степень:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 6 uu - 2 u

Перепишите

6

как

2 \cdot 3

= 2 \cdot 3 uu - 2 u

Убрать общее значение

2 u

= 2 u (3 u - 1)

Вынести

- 1

из

- 3 u + 1 : - (3 u - 1)

- 3 u + 1

Убрать общее значение

- 1

= - (3 u - 1)

= 2 u (3 u - 1) - (3 u - 1)

Убрать общее значение

3 u - 1

= (3 u - 1) (2 u - 1)

(3 u - 1) (2 u - 1) \leq 0

Определите интервалы

Найдите знаки множителей

(3 u - 1) (2 u - 1)

Найдите признаки

3 u - 1

3 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{3}

3 u - 1 = 0

Переместите

1

вправо

3 u - 1 = 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

3 u - 1 + 1 = 0 + 1

После упрощения получаем

3 u = 1

3 u = 1

Разделите обе стороны на

3

3 u = 1

Разделите обе стороны на

3

\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}

После упрощения получаем

u = \frac{1}{3}

u = \frac{1}{3}

3 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{3}

3 u - 1 < 0

Переместите

1

вправо

3 u - 1 < 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

3 u - 1 + 1 < 0 + 1

После упрощения получаем

3 u < 1

3 u < 1

Разделите обе стороны на

3

3 u < 1

Разделите обе стороны на

3

\frac{3 u}{3} < \frac{1}{3}

После упрощения получаем

u < \frac{1}{3}

u < \frac{1}{3}

3 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{3}

3 u - 1 > 0

Переместите

1

вправо

3 u - 1 > 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

3 u - 1 + 1 > 0 + 1

После упрощения получаем

3 u > 1

3 u > 1

Разделите обе стороны на

3

3 u > 1

Разделите обе стороны на

3

\frac{3 u}{3} > \frac{1}{3}

После упрощения получаем

u > \frac{1}{3}

u > \frac{1}{3}

Найдите признаки

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Переместите

1

вправо

2 u - 1 = 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

После упрощения получаем

2 u = 1

2 u = 1

Разделите обе стороны на

2

2 u = 1

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

После упрощения получаем

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

Переместите

1

вправо

2 u - 1 < 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

После упрощения получаем

2 u < 1

2 u < 1

Разделите обе стороны на

2

2 u < 1

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

После упрощения получаем

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

Переместите

1

вправо

2 u - 1 > 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

После упрощения получаем

2 u > 1

2 u > 1

Разделите обе стороны на

2

2 u > 1

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

После упрощения получаем

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

Свести в таблицу:

3 u - 1 2 u - 1 (3 u - 1) (2 u - 1) u < \frac{1}{3} - - + u = \frac{1}{3} 0 - 0 \frac{1}{3} < u < \frac{1}{2} + - - u = \frac{1}{2} + 00 u > \frac{1}{2} + + +

Определите интервалы, удовлетворяющие требуемому условию:

\leq 0

u = \frac{1}{3} or \frac{1}{3} < u < \frac{1}{2} or u = \frac{1}{2}

Объединить Перекрывающиеся Интервалы

\frac{1}{3} \leq u < \frac{1}{2} or u = \frac{1}{2}

Объединение двух интервалов — это набор чисел, которые находятся либо в интервале

u = \frac{1}{3}

либо

\frac{1}{3} < u < \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq u < \frac{1}{2}

Объединение двух интервалов — это набор чисел, которые находятся либо в интервале

\frac{1}{3} \leq u < \frac{1}{2}

либо

u = \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq u \leq \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq u \leq \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq u \leq \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq u \leq \frac{1}{2}

Делаем обратную замену

u = cos (x)

\frac{1}{3} \leq cos (x) \leq \frac{1}{2}

Если

a \leq u \leq b,

то

a \leq u and u \leq b

\frac{1}{3} \leq cos (x) and cos (x) \leq \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq cos (x) : - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

\frac{1}{3} \leq cos (x)

Поменяйте стороны

cos (x) \geq \frac{1}{3}

Для

cos (x) \geq a

, если

- 1 < a < 1

, то

- arccos (a) + 2 πn \leq x \leq arccos (a) + 2 πn

- arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

cos (x) \leq \frac{1}{2} : \frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) \leq \frac{1}{2}

Для

cos (x) \leq a

, если

- 1 < a < 1

, то

arccos (a) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

Упростите

arccos (\frac{1}{2}) : \frac{π}{3}

arccos (\frac{1}{2})

Используйте следующее тривиальное тождество:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

Упростите

2 π - arccos (\frac{1}{2}) : \frac{5 π}{3}

2 π - arccos (\frac{1}{2})

Используйте следующее тривиальное тождество:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{π}{3}

После упрощения получаем

2 π - \frac{π}{3}

Преобразуйте элемент в дробь:

2 π = \frac{2 π 3}{3}

= \frac{2 π 3}{3} - \frac{π}{3}

Так как знаменатели равны, сложите дроби:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 3 - π}{3}

2 π 3 - π = 5 π

2 π 3 - π

Перемножьте числа:

2 \cdot 3 = 6

= 6 π - π

Добавьте похожие элементы:

6 π - π = 5 π

= 5 π

= \frac{5 π}{3}

= \frac{5 π}{3}

\frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

Объедините интервалы

- arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn and \frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

Объединить Перекрывающиеся Интервалы

\frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn or - arccos (\frac{1}{3}) + 2 π + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

7cos^2(x)-5cos(x)+sin^2(x)<= 0

Решение

Решение

Популярные примеры