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7cos^2(x)-5cos(x)+sin^2(x)<= 0

Solución

7 cos^{2} (x) - 5 cos (x) + sin^{2} (x) \leq 0

Solución

\frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn or - arccos (\frac{1}{3}) + 2 π + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

Notación de intervalos

[\frac{π}{3} + 2 πn, arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn] \cup [- arccos (\frac{1}{3}) + 2 π + 2 πn, \frac{5 π}{3} + 2 πn]

Notación decimal

1.04719 \dots + 2 πn \leq x \leq 1.23095 \dots + 2 πn or 5.05222 \dots + 2 πn \leq x \leq 5.23598 \dots + 2 πn

Pasos de solución

7 cos^{2} (x) - 5 cos (x) + sin^{2} (x) \leq 0

Usar la siguiente identidad:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Por lo tanto

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

7 cos^{2} (x) - 5 cos (x) + 1 - cos^{2} (x) \leq 0

Simplificar

6 cos^{2} (x) - 5 cos (x) + 1 \leq 0

Sea:

u = cos (x)

6 u^{2} - 5 u + 1 \leq 0

6 u^{2} - 5 u + 1 \leq 0 : \frac{1}{3} \leq u \leq \frac{1}{2}

6 u^{2} - 5 u + 1 \leq 0

Factorizar

6 u^{2} - 5 u + 1 : (3 u - 1) (2 u - 1)

6 u^{2} - 5 u + 1

Factorizar la expresión

6 u^{2} - 5 u + 1

Definición

Factores de

6 : 1, 2, 3, 6

6

Divisores (factores)

Encontrar los factores primos de

6 : 2, 3

6

6

divida por

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 3

2, 3

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 3

Agregar factores primos:

2, 3

Agregar 1 y su propio número

6

1, 6

Divisores de

6

1, 2, 3, 6

Factores negativos de

6 : - 1, - 2, - 3, - 6

Multiplicar los números por

- 1

para obtener divisores negativos

- 1, - 2, - 3, - 6

Por cada dos factores tales que

u * v = 6,

revisar si

u + v = - 5

Revisar

u = 1, v = 6 : u * v = 6, u + v = 7 \Rightarrow

FalsoRevisar

u = 2, v = 3 : u * v = 6, u + v = 5 \Rightarrow

Falso

u = - 2, v = - 3

Agrupar en

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(6 u^{2} - 2 u) + (- 3 u + 1)

= (6 u^{2} - 2 u) + (- 3 u + 1)

Factorizar

2 u

6 u^{2} - 2 u

2 u (3 u - 1)

6 u^{2} - 2 u

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 6 uu - 2 u

Reescribir

6

como

2 \cdot 3

= 2 \cdot 3 uu - 2 u

Factorizar el termino común

2 u

= 2 u (3 u - 1)

Factorizar

- 1

- 3 u + 1

- (3 u - 1)

- 3 u + 1

Factorizar el termino común

- 1

= - (3 u - 1)

= 2 u (3 u - 1) - (3 u - 1)

Factorizar el termino común

3 u - 1

= (3 u - 1) (2 u - 1)

(3 u - 1) (2 u - 1) \leq 0

Identificar los intervalos

Encontrar los signos de los factores de

(3 u - 1) (2 u - 1)

Encontrar los signos de

3 u - 1

3 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{3}

3 u - 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

3 u - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

3 u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

3 u = 1

3 u = 1

Dividir ambos lados entre

3

3 u = 1

Dividir ambos lados entre

3

\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}

Simplificar

u = \frac{1}{3}

u = \frac{1}{3}

3 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{3}

3 u - 1 < 0

Mover

1

al lado derecho

3 u - 1 < 0

Sumar

1

a ambos lados

3 u - 1 + 1 < 0 + 1

Simplificar

3 u < 1

3 u < 1

Dividir ambos lados entre

3

3 u < 1

Dividir ambos lados entre

3

\frac{3 u}{3} < \frac{1}{3}

Simplificar

u < \frac{1}{3}

u < \frac{1}{3}

3 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{3}

3 u - 1 > 0

Mover

1

al lado derecho

3 u - 1 > 0

Sumar

1

a ambos lados

3 u - 1 + 1 > 0 + 1

Simplificar

3 u > 1

3 u > 1

Dividir ambos lados entre

3

3 u > 1

Dividir ambos lados entre

3

\frac{3 u}{3} > \frac{1}{3}

Simplificar

u > \frac{1}{3}

u > \frac{1}{3}

Encontrar los signos de

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

2 u - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

2 u = 1

2 u = 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u = 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

Mover

1

al lado derecho

2 u - 1 < 0

Sumar

1

a ambos lados

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

Simplificar

2 u < 1

2 u < 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u < 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Simplificar

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

Mover

1

al lado derecho

2 u - 1 > 0

Sumar

1

a ambos lados

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

Simplificar

2 u > 1

2 u > 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u > 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Simplificar

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

Resumir en una tabla:

3 u - 1 2 u - 1 (3 u - 1) (2 u - 1) u < \frac{1}{3} - - + u = \frac{1}{3} 0 - 0 \frac{1}{3} < u < \frac{1}{2} + - - u = \frac{1}{2} + 00 u > \frac{1}{2} + + +

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

\leq 0

u = \frac{1}{3} or \frac{1}{3} < u < \frac{1}{2} or u = \frac{1}{2}

Mezclar intervalos sobrepuestos

\frac{1}{3} \leq u < \frac{1}{2} or u = \frac{1}{2}

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

u = \frac{1}{3}

\frac{1}{3} < u < \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq u < \frac{1}{2}

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

\frac{1}{3} \leq u < \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq u \leq \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq u \leq \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq u \leq \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq u \leq \frac{1}{2}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

\frac{1}{3} \leq cos (x) \leq \frac{1}{2}

a \leq u \leq b

entonces

a \leq u and u \leq b

\frac{1}{3} \leq cos (x) and cos (x) \leq \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq cos (x) : - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

\frac{1}{3} \leq cos (x)

Intercambiar lados

cos (x) \geq \frac{1}{3}

Para

cos (x) \geq a

, si

- 1 < a < 1

entonces

- arccos (a) + 2 πn \leq x \leq arccos (a) + 2 πn

- arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

cos (x) \leq \frac{1}{2} : \frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) \leq \frac{1}{2}

Para

cos (x) \leq a

, si

- 1 < a < 1

entonces

arccos (a) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

Simplificar

arccos (\frac{1}{2}) : \frac{π}{3}

arccos (\frac{1}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

Simplificar

2 π - arccos (\frac{1}{2}) : \frac{5 π}{3}

2 π - arccos (\frac{1}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{π}{3}

Simplificar

2 π - \frac{π}{3}

Convertir a fracción:

2 π = \frac{2 π 3}{3}

= \frac{2 π 3}{3} - \frac{π}{3}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 3 - π}{3}

2 π 3 - π = 5 π

2 π 3 - π

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 3 = 6

= 6 π - π

Sumar elementos similares:

6 π - π = 5 π

= 5 π

= \frac{5 π}{3}

= \frac{5 π}{3}

\frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

Combinar los rangos

- arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn and \frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

Mezclar intervalos sobrepuestos

\frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn or - arccos (\frac{1}{3}) + 2 π + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

Ejemplos populares

cos(-x)<0

cos (- x) < 0

sin(x^2)>= 0

sin (x^{2}) \geq 0

sin(x)+cos(x)<= 2

sin (x) + cos (x) \leq 2

2cos^2(x)+sin(2x)<= 0

2 cos^{2} (x) + sin (2 x) \leq 0

1/(cos(x))>= sqrt(2)

\frac{1}{cos ( x )} \geq 2