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((1+cos(x))(1-cos(x)))/(sin(x)+cos(x))>0

Solución

\frac{( 1 + cos ( x ) ) ( 1 - cos ( x ) )}{sin ( x ) + cos ( x )} > 0

Solución

2 πn < x < \frac{3 π}{4} + 2 πn or \frac{7 π}{4} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

Notación de intervalos

(2 πn, \frac{3 π}{4} + 2 πn) \cup (\frac{7 π}{4} + 2 πn, 2 π + 2 πn)

Notación decimal

2 πn < x < 2.35619 \dots + 2 πn or 5.49778 \dots + 2 πn < x < 6.28318 \dots + 2 πn

Pasos de solución

\frac{( 1 + cos ( x ) ) ( 1 - cos ( x ) )}{sin ( x ) + cos ( x )} > 0

Periodicidad de

\frac{( 1 + cos ( x ) ) ( 1 - cos ( x ) )}{sin ( x ) + cos ( x )} : 2 π

\frac{( 1 + cos ( x ) ) ( 1 - cos ( x ) )}{sin ( x ) + cos ( x )}

esta compuesta de las siguientes funciones y periodos:

cos (x)

con periodicidad de

2 π

La periodicidad compuesta es:

= 2 π

Encontrar los ceros y puntos indefinidos de

\frac{( 1 + cos ( x ) ) ( 1 - cos ( x ) )}{sin ( x ) + cos ( x )}

para

0 \leq x < 2 π

Para encontrar los ceros, transformar la desigualdad a 0

\frac{( 1 + cos ( x ) ) ( 1 - cos ( x ) )}{sin ( x ) + cos ( x )} = 0

\frac{( 1 + cos ( x ) ) ( 1 - cos ( x ) )}{sin ( x ) + cos ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π : x = π, x = 0

\frac{( 1 + cos ( x ) ) ( 1 - cos ( x ) )}{sin ( x ) + cos ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

(1 + cos (x)) (1 - cos (x)) = 0

Resolver cada parte por separado

1 + cos (x) = 0 or 1 - cos (x) = 0

1 + cos (x) = 0, 0 \leq x < 2 π : x = π

1 + cos (x) = 0, 0 \leq x < 2 π

Mover

1

al lado derecho

1 + cos (x) = 0

Restar

1

de ambos lados

1 + cos (x) - 1 = 0 - 1

Simplificar

cos (x) = - 1

cos (x) = - 1

Soluciones generales para

cos (x) = - 1

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < 2 π

x = π

1 - cos (x) = 0, 0 \leq x < 2 π : x = 0

1 - cos (x) = 0, 0 \leq x < 2 π

Mover

1

al lado derecho

1 - cos (x) = 0

Restar

1

de ambos lados

1 - cos (x) - 1 = 0 - 1

Simplificar

- cos (x) = - 1

- cos (x) = - 1

Dividir ambos lados entre

- 1

- cos (x) = - 1

Dividir ambos lados entre

- 1

\frac{- cos ( x )}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

Simplificar

cos (x) = 1

cos (x) = 1

Soluciones generales para

cos (x) = 1

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Resolver

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < 2 π

x = 0

Combinar toda las soluciones

x = π, x = 0

Encontrar los puntos indefinidos:

x = \frac{3 π}{4}, x = \frac{7 π}{4}

Encontrar los ceros del denominador

sin (x) + cos (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

sin (x) + cos (x) = 0

Dividir ambos lados entre

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{sin ( x ) + cos ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Simplificar

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} + 1 = 0

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (x) + 1 = 0

tan (x) + 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

tan (x) + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

tan (x) + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

tan (x) = - 1

tan (x) = - 1

Soluciones generales para

tan (x) = - 1

tan (x)

tabla de valores periódicos con

πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < 2 π

x = \frac{3 π}{4}, x = \frac{7 π}{4}

0, \frac{3 π}{4}, π, \frac{7 π}{4}

Identificar los intervalos

0 < x < \frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{4} < x < π, π < x < \frac{7 π}{4}, \frac{7 π}{4} < x < 2 π

Resumir en una tabla:

1 + cos (x) 1 - cos (x) sin (x) + cos (x) \frac{( 1 + c o s ( x ) ) ( 1 - c o s ( x ) )}{s i n ( x ) + c o s ( x )} x = 0 + 0 + 0 0 < x < \frac{3 π}{4} + + + + x = \frac{3 π}{4} + + 0 Sin definir \frac{3 π}{4} < x < π + + - - x = π 0 + - 0 π < x < \frac{7 π}{4} + + - - x = \frac{7 π}{4} + + 0 Sin definir \frac{7 π}{4} < x < 2 π + + + + x = 2 π + 0 + 0

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

> 0

0 < x < \frac{3 π}{4} or \frac{7 π}{4} < x < 2 π

Utilizar la periodicidad de

\frac{( 1 + cos ( x ) ) ( 1 - cos ( x ) )}{sin ( x ) + cos ( x )}

2 πn < x < \frac{3 π}{4} + 2 πn or \frac{7 π}{4} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

Ejemplos populares

sin(θ)<0,tan(θ)<0

sin (θ) < 0, tan (θ) < 0

cos(x)<sin(2x)

cos (x) < sin (2 x)

7.5cos(pi/6 (x+3))+10.5>13.75

7.5 cos (\frac{π}{6} (x + 3)) + 10.5 > 13.75

sin(x^2)<0

sin (x^{2}) < 0

sin(x+pi/4)> 1/2

sin (x + \frac{π}{4}) > \frac{1}{2}