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Populaire Trigonométrie >

3tan(x)+cot(x)<5sin(x)

Solution

3 tan (x) + cot (x) < 5 sin (x)

Solution

\frac{π}{2} + 2 πn < x < π + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

La notation des intervalles

(\frac{π}{2} + 2 πn, π + 2 πn) \cup (\frac{3 π}{2} + 2 πn, 2 π + 2 πn)

Décimale

1.57079 \dots + 2 πn < x < 3.14159 \dots + 2 πn or 4.71238 \dots + 2 πn < x < 6.28318 \dots + 2 πn

étapes des solutions

3 tan (x) + cot (x) < 5 sin (x)

Déplacer

5 sin (x)

vers la gauche

3 tan (x) + cot (x) < 5 sin (x)

Soustraire

5 sin (x)

des deux côtés

3 tan (x) + cot (x) - 5 sin (x) < 5 sin (x) - 5 sin (x)

3 tan (x) + cot (x) - 5 sin (x) < 0

3 tan (x) + cot (x) - 5 sin (x) < 0

Périodicité de

3 tan (x) + cot (x) - 5 sin (x) : 2 π

La périodicité composée de la somme des fonctions périodiques est le plus petit commun multiple des périodes

3 tan (x), cot (x), 5 sin (x)

Périodicité de

3 tan (x) : π

Périodicité de

a \cdot tan (b x + c) + d = \frac{p e ˊ riodicit e ˊ de tan ( x )}{∣ b ∣}

La périodicité de

tan (x)

est

π

= \frac{π}{∣ 1 ∣}

Simplifier

= π

Périodicité de

cot (x) : π

La périodicité de

cot (x)

est

π

= π

Périodicité de

5 sin (x) : 2 π

Périodicité de

a \cdot sin (b x + c) + d = \frac{p e ˊ riodicit e ˊ de sin ( x )}{∣ b ∣}

La périodicité de

sin (x)

est

2 π

= \frac{2 π}{∣ 1 ∣}

Simplifier

= 2 π

Combiner des périodes :

π, π, 2 π

= 2 π

Exprimer avec sinus, cosinus

3 tan (x) + cot (x) - 5 sin (x) < 0

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} + cot (x) - 5 sin (x) < 0

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} + \frac{cos ( x )}{sin ( x )} - 5 sin (x) < 0

3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} + \frac{cos ( x )}{sin ( x )} - 5 sin (x) < 0

Simplifier

3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} + \frac{cos ( x )}{sin ( x )} - 5 sin (x) : \frac{3 sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x ) - 5 sin ^{2} ( x ) cos ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} + \frac{cos ( x )}{sin ( x )} - 5 sin (x)

Multiplier

3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{3 sin ( x )}{cos ( x )}

3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( x ) \cdot 3}{cos ( x )}

= \frac{3 sin ( x )}{cos ( x )} + \frac{cos ( x )}{sin ( x )} - 5 sin (x)

Convertir un élément en fraction:

5 sin (x) = \frac{5 sin ( x )}{1}

= \frac{sin ( x ) \cdot 3}{cos ( x )} + \frac{cos ( x )}{sin ( x )} - \frac{5 sin ( x )}{1}

Plus petit commun multiple de

cos (x), sin (x), 1 : cos (x) sin (x)

cos (x), sin (x), 1

Plus petit commun multiple (PPCM)

Calculer une expression composée de facteurs qui apparaissent dans au moins une des expressions factorisées

= cos (x) sin (x)

Ajuster des fractions sur la base du PPCM

Multiplier chaque numérateur par le même montant nécessaire pour multiplier son

dénominateur correspondant pour le mettre au PPCM

cos (x) sin (x)

Pour

\frac{sin ( x ) \cdot 3}{cos ( x )} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

sin (x)

\frac{sin ( x ) \cdot 3}{cos ( x )} = \frac{sin ( x ) \cdot 3 sin ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} = \frac{3 sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

Pour

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

cos (x)

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = \frac{cos ( x ) cos ( x )}{sin ( x ) cos ( x )} = \frac{cos ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

Pour

\frac{5 sin ( x )}{1} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

cos (x) sin (x)

\frac{5 sin ( x )}{1} = \frac{5 sin ( x ) cos ( x ) sin ( x )}{1 \cdot cos ( x ) sin ( x )} = \frac{5 sin ^{2} ( x ) cos ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

= \frac{3 sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} + \frac{cos ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} - \frac{5 sin ^{2} ( x ) cos ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x ) - 5 sin ^{2} ( x ) cos ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

\frac{3 sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x ) - 5 sin ^{2} ( x ) cos ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} < 0

Trouver les points zéros et les points non définis de

\frac{3 sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x ) - 5 sin ^{2} ( x ) cos ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

pour

0 \leq x < 2 π

Pour trouver les points zéros, définir l'inégalité à zéro

\frac{3 sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x ) - 5 sin ^{2} ( x ) cos ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} = 0

\frac{3 sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x ) - 5 sin ^{2} ( x ) cos ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π :

Aucune solution pour

x \in R

\frac{3 sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x ) - 5 sin ^{2} ( x ) cos ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

3 sin^{2} (x) + cos^{2} (x) - 5 sin^{2} (x) cos (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

cos^{2} (x) + 3 sin^{2} (x) - 5 cos (x) sin^{2} (x)

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= cos^{2} (x) + 3 (1 - cos^{2} (x)) - 5 cos (x) (1 - cos^{2} (x))

Simplifier

cos^{2} (x) + 3 (1 - cos^{2} (x)) - 5 cos (x) (1 - cos^{2} (x)) : - 2 cos^{2} (x) - 5 cos (x) + 5 cos^{3} (x) + 3

cos^{2} (x) + 3 (1 - cos^{2} (x)) - 5 cos (x) (1 - cos^{2} (x))

Développer

3 (1 - cos^{2} (x)) : 3 - 3 cos^{2} (x)

3 (1 - cos^{2} (x))

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 3 \cdot 1 - 3 cos^{2} (x)

Multiplier les nombres :

3 \cdot 1 = 3

= 3 - 3 cos^{2} (x)

= cos^{2} (x) + 3 - 3 cos^{2} (x) - 5 cos (x) (1 - cos^{2} (x))

Développer

- 5 cos (x) (1 - cos^{2} (x)) : - 5 cos (x) + 5 cos^{3} (x)

- 5 cos (x) (1 - cos^{2} (x))

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = - 5 cos (x), b = 1, c = cos^{2} (x)

= - 5 cos (x) \cdot 1 - (- 5 cos (x)) cos^{2} (x)

Appliquer les règles des moins et des plus

- (- a) = a

= - 5 \cdot 1 \cdot cos (x) + 5 cos^{2} (x) cos (x)

Simplifier

- 5 \cdot 1 \cdot cos (x) + 5 cos^{2} (x) cos (x) : - 5 cos (x) + 5 cos^{3} (x)

- 5 \cdot 1 \cdot cos (x) + 5 cos^{2} (x) cos (x)

5 \cdot 1 \cdot cos (x) = 5 cos (x)

5 \cdot 1 \cdot cos (x)

Multiplier les nombres :

5 \cdot 1 = 5

= 5 cos (x)

5 cos^{2} (x) cos (x) = 5 cos^{3} (x)

5 cos^{2} (x) cos (x)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos^{2} (x) cos (x) = cos^{2 + 1} (x)

= 5 cos^{2 + 1} (x)

Additionner les nombres :

2 + 1 = 3

= 5 cos^{3} (x)

= - 5 cos (x) + 5 cos^{3} (x)

= - 5 cos (x) + 5 cos^{3} (x)

= cos^{2} (x) + 3 - 3 cos^{2} (x) - 5 cos (x) + 5 cos^{3} (x)

Simplifier

cos^{2} (x) + 3 - 3 cos^{2} (x) - 5 cos (x) + 5 cos^{3} (x) : - 2 cos^{2} (x) - 5 cos (x) + 5 cos^{3} (x) + 3

cos^{2} (x) + 3 - 3 cos^{2} (x) - 5 cos (x) + 5 cos^{3} (x)

Grouper comme termes

= cos^{2} (x) - 3 cos^{2} (x) - 5 cos (x) + 5 cos^{3} (x) + 3

Additionner les éléments similaires :

cos^{2} (x) - 3 cos^{2} (x) = - 2 cos^{2} (x)

= - 2 cos^{2} (x) - 5 cos (x) + 5 cos^{3} (x) + 3

= - 2 cos^{2} (x) - 5 cos (x) + 5 cos^{3} (x) + 3

= - 2 cos^{2} (x) - 5 cos (x) + 5 cos^{3} (x) + 3

3 - 2 cos^{2} (x) - 5 cos (x) + 5 cos^{3} (x) = 0

Résoudre par substitution

3 - 2 cos^{2} (x) - 5 cos (x) + 5 cos^{3} (x) = 0

Soit :

cos (x) = u

3 - 2 u^{2} - 5 u + 5 u^{3} = 0

3 - 2 u^{2} - 5 u + 5 u^{3} = 0 : u \approx - 1.06603 \dots

3 - 2 u^{2} - 5 u + 5 u^{3} = 0

Ecrire sous la forme standard

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

5 u^{3} - 2 u^{2} - 5 u + 3 = 0

Trouver une solution pour

5 u^{3} - 2 u^{2} - 5 u + 3 = 0

par la méthode de Newton-Raphson:

u \approx - 1.06603 \dots

5 u^{3} - 2 u^{2} - 5 u + 3 = 0

Définition de l'approximation de Newton-Raphson

f (u) = 5 u^{3} - 2 u^{2} - 5 u + 3

Trouver

f^{^{'}} (u) : 15 u^{2} - 4 u - 5

\frac{d}{d u} (5 u^{3} - 2 u^{2} - 5 u + 3)

Appliquer la règle de l'addition/soustraction:

(f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}

= \frac{d}{d u} (5 u^{3}) - \frac{d}{d u} (2 u^{2}) - \frac{d}{d u} (5 u) + \frac{d}{d u} (3)

\frac{d}{d u} (5 u^{3}) = 15 u^{2}

\frac{d}{d u} (5 u^{3})

Retirer la constante:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= 5 \frac{d}{d u} (u^{3})

Appliquer la règle de la puissance:

\frac{d}{d x} (x^{a}) = a \cdot x^{a - 1}

= 5 \cdot 3 u^{3 - 1}

Simplifier

= 15 u^{2}

\frac{d}{d u} (2 u^{2}) = 4 u

\frac{d}{d u} (2 u^{2})

Retirer la constante:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= 2 \frac{d}{d u} (u^{2})

Appliquer la règle de la puissance:

\frac{d}{d x} (x^{a}) = a \cdot x^{a - 1}

= 2 \cdot 2 u^{2 - 1}

Simplifier

= 4 u

\frac{d}{d u} (5 u) = 5

\frac{d}{d u} (5 u)

Retirer la constante:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= 5 \frac{d u}{d u}

Appliquer la dérivée commune:

\frac{d u}{d u} = 1

= 5 \cdot 1

Simplifier

= 5

\frac{d}{d u} (3) = 0

\frac{d}{d u} (3)

Dérivée d'une constante:

\frac{d}{d x} (a) = 0

= 0

= 15 u^{2} - 4 u - 5 + 0

Simplifier

= 15 u^{2} - 4 u - 5

Soit

u_{0} = - 1

Calculer

u_{n + 1}

jusqu'à

Δ u_{n + 1} < 0.000001

u_{1} = - 1.07142 \dots : Δ u_{1} = 0.07142 \dots

f (u_{0}) = 5 (- 1)^{3} - 2 (- 1)^{2} - 5 (- 1) + 3 = 1

f^{^{'}} (u_{0}) = 15 (- 1)^{2} - 4 (- 1) - 5 = 14

u_{1} = - 1.07142 \dots

Δ u_{1} = ∣ - 1.07142 \dots - (- 1) ∣ = 0.07142 \dots

Δ u_{1} = 0.07142 \dots

u_{2} = - 1.06606 \dots : Δ u_{2} = 0.00536 \dots

f (u_{1}) = 5 (- 1.07142 \dots)^{3} - 2 (- 1.07142 \dots)^{2} - 5 (- 1.07142 \dots) + 3 = - 0.08855 \dots

f^{^{'}} (u_{1}) = 15 (- 1.07142 \dots)^{2} - 4 (- 1.07142 \dots) - 5 = 16.50510 \dots

u_{2} = - 1.06606 \dots

Δ u_{2} = ∣ - 1.06606 \dots - (- 1.07142 \dots) ∣ = 0.00536 \dots

Δ u_{2} = 0.00536 \dots

u_{3} = - 1.06603 \dots : Δ u_{3} = 0.00003 \dots

f (u_{2}) = 5 (- 1.06606 \dots)^{3} - 2 (- 1.06606 \dots)^{2} - 5 (- 1.06606 \dots) + 3 = - 0.00051 \dots

f^{^{'}} (u_{2}) = 15 (- 1.06606 \dots)^{2} - 4 (- 1.06606 \dots) - 5 = 16.31161 \dots

u_{3} = - 1.06603 \dots

Δ u_{3} = ∣ - 1.06603 \dots - (- 1.06606 \dots) ∣ = 0.00003 \dots

Δ u_{3} = 0.00003 \dots

u_{4} = - 1.06603 \dots : Δ u_{4} = 1.11867 E - 9

f (u_{3}) = 5 (- 1.06603 \dots)^{3} - 2 (- 1.06603 \dots)^{2} - 5 (- 1.06603 \dots) + 3 = - 1.8246 E - 8

f^{^{'}} (u_{3}) = 15 (- 1.06603 \dots)^{2} - 4 (- 1.06603 \dots) - 5 = 16.31046 \dots

u_{4} = - 1.06603 \dots

Δ u_{4} = ∣ - 1.06603 \dots - (- 1.06603 \dots) ∣ = 1.11867 E - 9

Δ u_{4} = 1.11867 E - 9

u \approx - 1.06603 \dots

Appliquer une division longue:

\frac{5 u ^{3} - 2 u ^{2} - 5 u + 3}{u + 1.06603 \dots} = 5 u^{2} - 7.33015 \dots u + 2.81417 \dots

5 u^{2} - 7.33015 \dots u + 2.81417 \dots \approx 0

Trouver une solution pour

5 u^{2} - 7.33015 \dots u + 2.81417 \dots = 0

par la méthode de Newton-Raphson:

Aucune solution pour

u \in R

5 u^{2} - 7.33015 \dots u + 2.81417 \dots = 0

Définition de l'approximation de Newton-Raphson

f (u) = 5 u^{2} - 7.33015 \dots u + 2.81417 \dots

Trouver

f^{^{'}} (u) : 10 u - 7.33015 \dots

\frac{d}{d u} (5 u^{2} - 7.33015 \dots u + 2.81417 \dots)

Appliquer la règle de l'addition/soustraction:

(f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}

= \frac{d}{d u} (5 u^{2}) - \frac{d}{d u} (7.33015 \dots u) + \frac{d}{d u} (2.81417 \dots)

\frac{d}{d u} (5 u^{2}) = 10 u

\frac{d}{d u} (5 u^{2})

Retirer la constante:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= 5 \frac{d}{d u} (u^{2})

Appliquer la règle de la puissance:

\frac{d}{d x} (x^{a}) = a \cdot x^{a - 1}

= 5 \cdot 2 u^{2 - 1}

Simplifier

= 10 u

\frac{d}{d u} (7.33015 \dots u) = 7.33015 \dots

\frac{d}{d u} (7.33015 \dots u)

Retirer la constante:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= 7.33015 \dots \frac{d u}{d u}

Appliquer la dérivée commune:

\frac{d u}{d u} = 1

= 7.33015 \dots \cdot 1

Simplifier

= 7.33015 \dots

\frac{d}{d u} (2.81417 \dots) = 0

\frac{d}{d u} (2.81417 \dots)

Dérivée d'une constante:

\frac{d}{d x} (a) = 0

= 0

= 10 u - 7.33015 \dots + 0

Simplifier

= 10 u - 7.33015 \dots

Soit

u_{0} = 0

Calculer

u_{n + 1}

jusqu'à

Δ u_{n + 1} < 0.000001

u_{1} = 0.38391 \dots : Δ u_{1} = 0.38391 \dots

f (u_{0}) = 5 \cdot 0^{2} - 7.33015 \dots \cdot 0 + 2.81417 \dots = 2.81417 \dots

f^{^{'}} (u_{0}) = 10 \cdot 0 - 7.33015 \dots = - 7.33015 \dots

u_{1} = 0.38391 \dots

Δ u_{1} = ∣ 0.38391 \dots - 0 ∣ = 0.38391 \dots

Δ u_{1} = 0.38391 \dots

u_{2} = 0.59502 \dots : Δ u_{2} = 0.21110 \dots

f (u_{1}) = 5 \cdot 0.38391 \dots^{2} - 7.33015 \dots \cdot 0.38391 \dots + 2.81417 \dots = 0.73696 \dots

f^{^{'}} (u_{1}) = 10 \cdot 0.38391 \dots - 7.33015 \dots = - 3.49098 \dots

u_{2} = 0.59502 \dots

Δ u_{2} = ∣ 0.59502 \dots - 0.38391 \dots ∣ = 0.21110 \dots

Δ u_{2} = 0.21110 \dots

u_{3} = 0.75649 \dots : Δ u_{3} = 0.16147 \dots

f (u_{2}) = 5 \cdot 0.59502 \dots^{2} - 7.33015 \dots \cdot 0.59502 \dots + 2.81417 \dots = 0.22282 \dots

f^{^{'}} (u_{2}) = 10 \cdot 0.59502 \dots - 7.33015 \dots = - 1.37992 \dots

u_{3} = 0.75649 \dots

Δ u_{3} = ∣ 0.75649 \dots - 0.59502 \dots ∣ = 0.16147 \dots

Δ u_{3} = 0.16147 \dots

u_{4} = 0.20133 \dots : Δ u_{4} = 0.55516 \dots

f (u_{3}) = 5 \cdot 0.75649 \dots^{2} - 7.33015 \dots \cdot 0.75649 \dots + 2.81417 \dots = 0.13037 \dots

f^{^{'}} (u_{3}) = 10 \cdot 0.75649 \dots - 7.33015 \dots = 0.23484 \dots

u_{4} = 0.20133 \dots

Δ u_{4} = ∣ 0.20133 \dots - 0.75649 \dots ∣ = 0.55516 \dots

Δ u_{4} = 0.55516 \dots

u_{5} = 0.49118 \dots : Δ u_{5} = 0.28984 \dots

f (u_{4}) = 5 \cdot 0.20133 \dots^{2} - 7.33015 \dots \cdot 0.20133 \dots + 2.81417 \dots = 1.54101 \dots

f^{^{'}} (u_{4}) = 10 \cdot 0.20133 \dots - 7.33015 \dots = - 5.31676 \dots

u_{5} = 0.49118 \dots

Δ u_{5} = ∣ 0.49118 \dots - 0.20133 \dots ∣ = 0.28984 \dots

Δ u_{5} = 0.28984 \dots

u_{6} = 0.66486 \dots : Δ u_{6} = 0.17368 \dots

f (u_{5}) = 5 \cdot 0.49118 \dots^{2} - 7.33015 \dots \cdot 0.49118 \dots + 2.81417 \dots = 0.42003 \dots

f^{^{'}} (u_{5}) = 10 \cdot 0.49118 \dots - 7.33015 \dots = - 2.41835 \dots

u_{6} = 0.66486 \dots

Δ u_{6} = ∣ 0.66486 \dots - 0.49118 \dots ∣ = 0.17368 \dots

Δ u_{6} = 0.17368 \dots

u_{7} = 0.88620 \dots : Δ u_{7} = 0.22133 \dots

f (u_{6}) = 5 \cdot 0.66486 \dots^{2} - 7.33015 \dots \cdot 0.66486 \dots + 2.81417 \dots = 0.15083 \dots

f^{^{'}} (u_{6}) = 10 \cdot 0.66486 \dots - 7.33015 \dots = - 0.68147 \dots

u_{7} = 0.88620 \dots

Δ u_{7} = ∣ 0.88620 \dots - 0.66486 \dots ∣ = 0.22133 \dots

Δ u_{7} = 0.22133 \dots

u_{8} = 0.72630 \dots : Δ u_{8} = 0.15990 \dots

f (u_{7}) = 5 \cdot 0.88620 \dots^{2} - 7.33015 \dots \cdot 0.88620 \dots + 2.81417 \dots = 0.24495 \dots

f^{^{'}} (u_{7}) = 10 \cdot 0.88620 \dots - 7.33015 \dots = 1.53190 \dots

u_{8} = 0.72630 \dots

Δ u_{8} = ∣ 0.72630 \dots - 0.88620 \dots ∣ = 0.15990 \dots

Δ u_{8} = 0.15990 \dots

u_{9} = 2.63145 \dots : Δ u_{9} = 1.90514 \dots

f (u_{8}) = 5 \cdot 0.72630 \dots^{2} - 7.33015 \dots \cdot 0.72630 \dots + 2.81417 \dots = 0.12784 \dots

f^{^{'}} (u_{8}) = 10 \cdot 0.72630 \dots - 7.33015 \dots = - 0.06710 \dots

u_{9} = 2.63145 \dots

Δ u_{9} = ∣ 2.63145 \dots - 0.72630 \dots ∣ = 1.90514 \dots

Δ u_{9} = 1.90514 \dots

u_{10} = 1.67551 \dots : Δ u_{10} = 0.95594 \dots

f (u_{9}) = 5 \cdot 2.63145 \dots^{2} - 7.33015 \dots \cdot 2.63145 \dots + 2.81417 \dots = 18.14798 \dots

f^{^{'}} (u_{9}) = 10 \cdot 2.63145 \dots - 7.33015 \dots = 18.98439 \dots

u_{10} = 1.67551 \dots

Δ u_{10} = ∣ 1.67551 \dots - 2.63145 \dots ∣ = 0.95594 \dots

Δ u_{10} = 0.95594 \dots

u_{11} = 1.19072 \dots : Δ u_{11} = 0.48478 \dots

f (u_{10}) = 5 \cdot 1.67551 \dots^{2} - 7.33015 \dots \cdot 1.67551 \dots + 2.81417 \dots = 4.56912 \dots

f^{^{'}} (u_{10}) = 10 \cdot 1.67551 \dots - 7.33015 \dots = 9.42497 \dots

u_{11} = 1.19072 \dots

Δ u_{11} = ∣ 1.19072 \dots - 1.67551 \dots ∣ = 0.48478 \dots

Δ u_{11} = 0.48478 \dots

u_{12} = 0.93398 \dots : Δ u_{12} = 0.25673 \dots

f (u_{11}) = 5 \cdot 1.19072 \dots^{2} - 7.33015 \dots \cdot 1.19072 \dots + 2.81417 \dots = 1.17510 \dots

f^{^{'}} (u_{11}) = 10 \cdot 1.19072 \dots - 7.33015 \dots = 4.57708 \dots

u_{12} = 0.93398 \dots

Δ u_{12} = ∣ 0.93398 \dots - 1.19072 \dots ∣ = 0.25673 \dots

Δ u_{12} = 0.25673 \dots

u_{13} = 0.77000 \dots : Δ u_{13} = 0.16398 \dots

f (u_{12}) = 5 \cdot 0.93398 \dots^{2} - 7.33015 \dots \cdot 0.93398 \dots + 2.81417 \dots = 0.32956 \dots

f^{^{'}} (u_{12}) = 10 \cdot 0.93398 \dots - 7.33015 \dots = 2.00972 \dots

u_{13} = 0.77000 \dots

Δ u_{13} = ∣ 0.77000 \dots - 0.93398 \dots ∣ = 0.16398 \dots

Δ u_{13} = 0.16398 \dots

u_{14} = 0.40647 \dots : Δ u_{14} = 0.36352 \dots

f (u_{13}) = 5 \cdot 0.77000 \dots^{2} - 7.33015 \dots \cdot 0.77000 \dots + 2.81417 \dots = 0.13445 \dots

f^{^{'}} (u_{13}) = 10 \cdot 0.77000 \dots - 7.33015 \dots = 0.36986 \dots

u_{14} = 0.40647 \dots

Δ u_{14} = ∣ 0.40647 \dots - 0.77000 \dots ∣ = 0.36352 \dots

Δ u_{14} = 0.36352 \dots

Impossible de trouver une solution

La solution est

u \approx - 1.06603 \dots

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) \approx - 1.06603 \dots

cos (x) \approx - 1.06603 \dots

cos (x) = - 1.06603 \dots, 0 \leq x < 2 π :

Aucune solution

cos (x) = - 1.06603 \dots, 0 \leq x < 2 π

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Aucune solution

Combiner toutes les solutions

Aucune solution pour x \in R

Trouver les points non définis:

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}, x = 0, x = π

Trouver les zéros du dénominateur

cos (x) sin (x) = 0

En solutionnant chaque partie séparément

cos (x) = 0 or sin (x) = 0

cos (x) = 0, 0 \leq x < 2 π : x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

cos (x) = 0, 0 \leq x < 2 π

Solutions générales pour

cos (x) = 0

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Solutions pour la plage

0 \leq x < 2 π

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

sin (x) = 0, 0 \leq x < 2 π : x = 0, x = π

sin (x) = 0, 0 \leq x < 2 π

Solutions générales pour

sin (x) = 0

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Résoudre

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Solutions pour la plage

0 \leq x < 2 π

x = 0, x = π

Combiner toutes les solutions

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}, x = 0, x = π

0, \frac{π}{2}, π, \frac{3 π}{2}

Identifier les intervalles

0 < x < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < x < π, π < x < \frac{3 π}{2}, \frac{3 π}{2} < x < 2 π

Récapituler dans un tableau:

3 sin^{2} (x) + cos^{2} (x) - 5 sin^{2} (x) cos (x) cos (x) sin (x) \frac{3 s i n ^{2} ( x ) + c o s ^{2} ( x ) - 5 s i n ^{2} ( x ) c o s ( x )}{c o s ( x ) s i n ( x )} x = 0 + + 0 Ind \overset{e}{ˊ} fini 0 < x < \frac{π}{2} + + + + x = \frac{π}{2} + 0 + Ind \overset{e}{ˊ} fini \frac{π}{2} < x < π + - + - x = π + - 0 Ind \overset{e}{ˊ} fini π < x < \frac{3 π}{2} + - - + x = \frac{3 π}{2} + 0 - Ind \overset{e}{ˊ} fini \frac{3 π}{2} < x < 2 π + + - - x = 2 π + + 0 Ind \overset{e}{ˊ} fini

Identifier les intervalles qui répondent à la conditions requise :

< 0

\frac{π}{2} < x < π or \frac{3 π}{2} < x < 2 π

Appliquer la périodicité de

3 tan (x) + cot (x) - 5 sin (x)

\frac{π}{2} + 2 πn < x < π + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

Exemples populaires

sin(x)-1/2 sqrt(3)<0

sin (x) - \frac{1}{2} 3 < 0

2cos(x)>cos(2x)

2 cos (x) > cos (2 x)

tan^2(x)<1

tan^{2} (x) < 1

sin(2t)<1,(0,2pi)

sin (2 t) < 1, (0, 2 π)

2sin^2(x)-3sin(x)+1<= 0

2 sin^{2} (x) - 3 sin (x) + 1 \leq 0