English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

شائع علم المثلثات >

2cos(x)>cos(2x)

الحلّ

2 cos (x) > cos (2 x)

الحلّ

- arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn < x < arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn

تدوين الفاصل الزمني

(- arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn, arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn)

عشري

- 1.94553 \dots + 2 πn < x < 1.94553 \dots + 2 πn

خطوات الحلّ

2 cos (x) > cos (2 x)

انقل

cos (2 x)

إلى الجانب الأيسر

2 cos (x) > cos (2 x)

من الطرفين

cos (2 x)

اطرح

2 cos (x) - cos (2 x) > cos (2 x) - cos (2 x)

2 cos (x) - cos (2 x) > 0

2 cos (x) - cos (2 x) > 0

cos (2 x) = - 1 + 2 cos^{2} (x)

:استخدم المتطابقة التالية

- (- 1 + 2 cos^{2} (x)) + 2 cos (x) > 0

بسّط

1 - 2 cos^{2} (x) + 2 cos (x) > 0

u = cos (x) :

على افتراض أنّ

1 - 2 u^{2} + 2 u > 0

1 - 2 u^{2} + 2 u > 0 : \frac{- 3 + 1}{2} < u < \frac{3 + 1}{2}

1 - 2 u^{2} + 2 u > 0

1 - 2 u^{2} + 2 u

إكمال لمربّع:

- 2 (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{2}

1 - 2 u^{2} + 2 u

a x^{2} + b x + c

اكتب بالصورة الاعتياديّة

- 2 u^{2} + 2 u + 1

x^{2} + 2 a x + a^{2} :

بصورة

- 2 u^{2} + 2 u + 1

اكتب

- 2

اخرج العامل

- 2 (u^{2} - u - \frac{1}{2})

2 a = - 1 : a = - \frac{1}{2}

2 a = - 1

2

اقسم الطرفين على

2 a = - 1

2

اقسم الطرفين على

\frac{2 a}{2} = \frac{- 1}{2}

بسّط

a = - \frac{1}{2}

a = - \frac{1}{2}

(- \frac{1}{2})^{2}

اجمع واطرح

- 2 (u^{2} - u - \frac{1}{2} + (- \frac{1}{2})^{2} - (- \frac{1}{2})^{2})

x^{2} + 2 a x + a^{2} = (x + a)^{2}

u^{2} - 1 u + (- \frac{1}{2})^{2} = (u - \frac{1}{2})^{2}

- 2 ((u - \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{2} - (- \frac{1}{2})^{2})

بسّط

- 2 (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{2}

- 2 (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{2} > 0

انقل

\frac{3}{2}

إلى الجانب الأيمن

- 2 (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{2} > 0

من الطرفين

\frac{3}{2}

اطرح

- 2 (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{2} - \frac{3}{2} > 0 - \frac{3}{2}

بسّط

- 2 (u - \frac{1}{2})^{2} > - \frac{3}{2}

- 2 (u - \frac{1}{2})^{2} > - \frac{3}{2}

- 1

اضرب الطرفين بـ

- 2 (u - \frac{1}{2})^{2} > - \frac{3}{2}

واقلب إشارة التباين

- 1

اضرب الطرفين بـ

(- 2 (u - \frac{1}{2})^{2}) (- 1) < (- \frac{3}{2}) (- 1)

بسّط

2 (u - \frac{1}{2})^{2} < \frac{3}{2}

2 (u - \frac{1}{2})^{2} < \frac{3}{2}

2

اقسم الطرفين على

2 (u - \frac{1}{2})^{2} < \frac{3}{2}

2

اقسم الطرفين على

\frac{2 ( u - \frac{1}{2} ) ^{2}}{2} < \frac{\frac{3}{2}}{2}

بسّط

\frac{2 ( u - \frac{1}{2} ) ^{2}}{2} < \frac{\frac{3}{2}}{2}

\frac{2 ( u - \frac{1}{2} ) ^{2}}{2}

بسّط:

(u - \frac{1}{2})^{2}

\frac{2 ( u - \frac{1}{2} ) ^{2}}{2}

\frac{2}{2} = 1 :

اقسم الأعداد

= (u - \frac{1}{2})^{2}

\frac{\frac{3}{2}}{2}

بسّط:

\frac{3}{4}

\frac{\frac{3}{2}}{2}

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

: استخدم ميزات الكسور التالية

= \frac{3}{2 \cdot 2}

2 \cdot 2 = 4 :

اضرب الأعداد

= \frac{3}{4}

(u - \frac{1}{2})^{2} < \frac{3}{4}

(u - \frac{1}{2})^{2} < \frac{3}{4}

(u - \frac{1}{2})^{2} < \frac{3}{4}

For

u^{n} < a

, if

n

is even then

- n a < u < n a

- \frac{3}{4} < u - \frac{1}{2} < \frac{3}{4}

a < u and u < b

إذًا

a < u < b

إذا تحقّق أنّ

- \frac{3}{4} < u - \frac{1}{2} and u - \frac{1}{2} < \frac{3}{4}

- \frac{3}{4} < u - \frac{1}{2} : u > \frac{- 3 + 1}{2}

- \frac{3}{4} < u - \frac{1}{2}

بدّل الأطراف

u - \frac{1}{2} > - \frac{3}{4}

\frac{3}{4}

بسّط:

\frac{3}{2}

\frac{3}{4}

a \geq 0, b \geq 0

بافتراض أنّ

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b}

:فعّل قانون الجذور

= \frac{3}{4}

4 = 2

4

4 = 2^{2} :

حلّل العدد لعوامله أوّليّة

= 2^{2}

n a^{n} = a

:فعْل قانون الجذور

2^{2} = 2

= 2

= \frac{3}{2}

u - \frac{1}{2} > - \frac{3}{2}

انقل

\frac{1}{2}

إلى الجانب الأيمن

u - \frac{1}{2} > - \frac{3}{2}

للطرفين

\frac{1}{2}

أضف

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} > - \frac{3}{2} + \frac{1}{2}

بسّط

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} > - \frac{3}{2} + \frac{1}{2}

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}

بسّط:

u

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}

- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} > 0 :

اجمع العناصر المتشابهة

= u

- \frac{3}{2} + \frac{1}{2}

بسّط:

\frac{- 3 + 1}{2}

- \frac{3}{2} + \frac{1}{2}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

فعّل القانون

= \frac{- 3 + 1}{2}

u > \frac{- 3 + 1}{2}

u > \frac{- 3 + 1}{2}

u > \frac{- 3 + 1}{2}

u - \frac{1}{2} < \frac{3}{4} : u < \frac{3 + 1}{2}

u - \frac{1}{2} < \frac{3}{4}

a \geq 0, b \geq 0

بافتراض أنّ

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b}

:فعّل قانون الجذور

u - \frac{1}{2} < \frac{3}{4}

4 = 2

4

4 = 2^{2} :

حلّل العدد لعوامله أوّليّة

= 2^{2}

n a^{n} = a

:فعْل قانون الجذور

2^{2} = 2

= 2

u - \frac{1}{2} < \frac{3}{2}

انقل

\frac{1}{2}

إلى الجانب الأيمن

u - \frac{1}{2} < \frac{3}{2}

للطرفين

\frac{1}{2}

أضف

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} < \frac{3}{2} + \frac{1}{2}

بسّط

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} < \frac{3}{2} + \frac{1}{2}

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}

بسّط:

u

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}

- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} < 0 :

اجمع العناصر المتشابهة

= u

\frac{3}{2} + \frac{1}{2}

بسّط:

\frac{3 + 1}{2}

\frac{3}{2} + \frac{1}{2}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

فعّل القانون

= \frac{3 + 1}{2}

u < \frac{3 + 1}{2}

u < \frac{3 + 1}{2}

u < \frac{3 + 1}{2}

وحّد المقاطع

u > \frac{- 3 + 1}{2} and u < \frac{3 + 1}{2}

ادمج المجالات المتطابقة

u > \frac{- 3 + 1}{2} and u < \frac{3 + 1}{2}

تقاطع مجالين هو مجموعة الأرقام الموجودة بكلا المجالين معًا

u > \frac{- 3 + 1}{2}

וגם

u < \frac{3 + 1}{2}

\frac{- 3 + 1}{2} < u < \frac{3 + 1}{2}

\frac{- 3 + 1}{2} < u < \frac{3 + 1}{2}

\frac{- 3 + 1}{2} < u < \frac{3 + 1}{2}

u = cos (x)

استبدل مجددًا

\frac{- 3 + 1}{2} < cos (x) < \frac{3 + 1}{2}

a < u and u < b

إذًا

a < u < b

إذا تحقّق أنّ

\frac{- 3 + 1}{2} < cos (x) and cos (x) < \frac{3 + 1}{2}

\frac{- 3 + 1}{2} < cos (x) : - arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn < x < arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn

\frac{- 3 + 1}{2} < cos (x)

بدّل الأطراف

cos (x) > \frac{- 3 + 1}{2}

For

cos (x) > a

, if

- 1 \leq a < 1

then

- arccos (a) + 2 πn < x < arccos (a) + 2 πn

- arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn < x < arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn

cos (x) < \frac{3 + 1}{2} : x \in R

يتحقّق لكلّ

cos (x) < \frac{3 + 1}{2}

cos (x)

المدى لـ:

- 1 \leq cos (x) \leq 1

تعريف مدى دالّة

- 1 \leq cos (x) \leq 1

هي

cos

صورة الدالّة

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) < \frac{3 + 1}{2} and - 1 \leq cos (x) \leq 1 : - 1 \leq cos (x) \leq 1

y = cos (x)

استبدل

وحّد المقاطع

y < \frac{3 + 1}{2} and - 1 \leq y \leq 1

ادمج المجالات المتطابقة

y < \frac{3 + 1}{2} and - 1 \leq y \leq 1

تقاطع مجالين هو مجموعة الأرقام الموجودة بكلا المجالين معًا

y < \frac{3 + 1}{2}

וגם

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

يتحقّق لكلّ x

x \in R يتحقّق لكلّ

وحّد المقاطع

- arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn < x < arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn and x \in R يتحقّق لكلّ

ادمج المجالات المتطابقة

- arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn < x < arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn

أمثلة شائعة

tan^2(x)<1

tan^{2} (x) < 1

sin(2t)<1,(0,2pi)

sin (2 t) < 1, (0, 2 π)

2sin^2(x)-3sin(x)+1<= 0

2 sin^{2} (x) - 3 sin (x) + 1 \leq 0

cos(x)-1/2 cos(2x)<0

cos (x) - \frac{1}{2} cos (2 x) < 0

cot(θ)<sqrt(3)

cot (θ) < 3