English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Популярное Тригонометрия >

2cos^2(x)-cos(x)-1<0

Решение

2 cos^{2} (x) - cos (x) - 1 < 0

Решение

2 πn < x < \frac{2 π}{3} + 2 πn or \frac{4 π}{3} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

Обозначение интервала

(2 πn, \frac{2 π}{3} + 2 πn) \cup (\frac{4 π}{3} + 2 πn, 2 π + 2 πn)

десятичными цифрами

2 πn < x < 2.09439 \dots + 2 πn or 4.18879 \dots + 2 πn < x < 6.28318 \dots + 2 πn

Шаги решения

2 cos^{2} (x) - cos (x) - 1 < 0

Допустим:

u = cos (x)

2 u^{2} - u - 1 < 0

2 u^{2} - u - 1 < 0 : - \frac{1}{2} < u < 1

2 u^{2} - u - 1 < 0

коэффициент

2 u^{2} - u - 1 : (2 u + 1) (u - 1)

2 u^{2} - u - 1

Разбейте выражение на группы

2 u^{2} - u - 1

Определение

Множители

2 : 1, 2

2

Делители (множители)

Найдите простые множители

2 : 2

2

2

является простым числом, поэтому разложение на множители невозможно

= 2

Добавьте 1

1

Факторы

2

1, 2

Отрицательные коэффициенты

2 : - 1, - 2

Умножьте коэффициенты на

- 1

чтобы получить отрицательные коэффициенты

- 1, - 2

Для каждых двух множителей таких, как

u * v = - 2,

проверьте, если

u + v = - 1

Проверьте

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

ВерноПроверьте

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

Неверно

u = 1, v = - 2

Сгруппируйте в

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} + u) + (- 2 u - 1)

= (2 u^{2} + u) + (- 2 u - 1)

Вынести

u

из

2 u^{2} + u : u (2 u + 1)

2 u^{2} + u

Примените правило возведения в степень:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu + u

Убрать общее значение

u

= u (2 u + 1)

Вынести

- 1

из

- 2 u - 1 : - (2 u + 1)

- 2 u - 1

Убрать общее значение

- 1

= - (2 u + 1)

= u (2 u + 1) - (2 u + 1)

Убрать общее значение

2 u + 1

= (2 u + 1) (u - 1)

(2 u + 1) (u - 1) < 0

Определите интервалы

Найдите знаки множителей

(2 u + 1) (u - 1)

Найдите признаки

2 u + 1

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

Переместите

1

вправо

2 u + 1 = 0

Вычтите

1

с обеих сторон

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

После упрощения получаем

2 u = - 1

2 u = - 1

Разделите обе стороны на

2

2 u = - 1

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

После упрощения получаем

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0 : u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0

Переместите

1

вправо

2 u + 1 < 0

Вычтите

1

с обеих сторон

2 u + 1 - 1 < 0 - 1

После упрощения получаем

2 u < - 1

2 u < - 1

Разделите обе стороны на

2

2 u < - 1

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 u}{2} < \frac{- 1}{2}

После упрощения получаем

u < - \frac{1}{2}

u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0 : u > - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0

Переместите

1

вправо

2 u + 1 > 0

Вычтите

1

с обеих сторон

2 u + 1 - 1 > 0 - 1

После упрощения получаем

2 u > - 1

2 u > - 1

Разделите обе стороны на

2

2 u > - 1

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 u}{2} > \frac{- 1}{2}

После упрощения получаем

u > - \frac{1}{2}

u > - \frac{1}{2}

Найдите признаки

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Переместите

1

вправо

u - 1 = 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

u - 1 + 1 = 0 + 1

После упрощения получаем

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

Переместите

1

вправо

u - 1 < 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

u - 1 + 1 < 0 + 1

После упрощения получаем

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

Переместите

1

вправо

u - 1 > 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

u - 1 + 1 > 0 + 1

После упрощения получаем

u > 1

u > 1

Свести в таблицу:

2 u + 1 u - 1 (2 u + 1) (u - 1) u < - \frac{1}{2} - - + u = - \frac{1}{2} 0 - 0 - \frac{1}{2} < u < 1 + - - u = 1 + 00 u > 1 + + +

Определите интервалы, удовлетворяющие требуемому условию:

< 0

- \frac{1}{2} < u < 1

- \frac{1}{2} < u < 1

- \frac{1}{2} < u < 1

Делаем обратную замену

u = cos (x)

- \frac{1}{2} < cos (x) < 1

Если

a < u < b,

то

a < u and u < b

- \frac{1}{2} < cos (x) and cos (x) < 1

- \frac{1}{2} < cos (x) : - \frac{2 π}{3} + 2 πn < x < \frac{2 π}{3} + 2 πn

- \frac{1}{2} < cos (x)

Поменяйте стороны

cos (x) > - \frac{1}{2}

Для

cos (x) > a

, если

- 1 \leq a < 1

, то

- arccos (a) + 2 πn < x < arccos (a) + 2 πn

- arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn < x < arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Упростите

- arccos (- \frac{1}{2}) : - \frac{2 π}{3}

- arccos (- \frac{1}{2})

Используйте следующее тривиальное тождество:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{2 π}{3}

Упростите

arccos (- \frac{1}{2}) : \frac{2 π}{3}

arccos (- \frac{1}{2})

Используйте следующее тривиальное тождество:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{2 π}{3}

- \frac{2 π}{3} + 2 πn < x < \frac{2 π}{3} + 2 πn

cos (x) < 1 : 2 πn < x < 2 π + 2 πn

cos (x) < 1

Для

cos (x) < a

, если

- 1 < a \leq 1

, то

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (1) + 2 πn < x < 2 π - arccos (1) + 2 πn

Упростите

arccos (1) : 0

arccos (1)

Используйте следующее тривиальное тождество:

arccos (1) = 0

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 0

Упростите

2 π - arccos (1) : 2 π

2 π - arccos (1)

Используйте следующее тривиальное тождество:

arccos (1) = 0

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - 0

2 π - 0 = 2 π

= 2 π

0 + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

После упрощения получаем

2 πn < x < 2 π + 2 πn

Объедините интервалы

- \frac{2 π}{3} + 2 πn < x < \frac{2 π}{3} + 2 πn and 2 πn < x < 2 π + 2 πn

Объединить Перекрывающиеся Интервалы

2 πn < x < \frac{2 π}{3} + 2 πn or \frac{4 π}{3} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

2cos^2(x)-cos(x)-1<0

Решение

Решение

Популярные примеры