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cos^2(x)<=-sin(x)

Solución

cos^{2} (x) \leq - sin (x)

Solución

- π - arcsin (\frac{- 5 + 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq arcsin (\frac{- 5 + 1}{2}) + 2 πn

Notación de intervalos

[- π - arcsin (\frac{- 5 + 1}{2}) + 2 πn, arcsin (\frac{- 5 + 1}{2}) + 2 πn]

Notación decimal

- 2.47535 \dots + 2 πn \leq x \leq - 0.66623 \dots + 2 πn

Pasos de solución

cos^{2} (x) \leq - sin (x)

Mover

sin (x)

al lado izquierdo

cos^{2} (x) \leq - sin (x)

Sumar

sin (x)

a ambos lados

cos^{2} (x) + sin (x) \leq - sin (x) + sin (x)

cos^{2} (x) + sin (x) \leq 0

cos^{2} (x) + sin (x) \leq 0

Usar la siguiente identidad:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Por lo tanto

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) + sin (x) \leq 0

Sea:

u = sin (x)

1 - u^{2} + u \leq 0

1 - u^{2} + u \leq 0 : u \leq \frac{- 5 + 1}{2} or u \geq \frac{5 + 1}{2}

1 - u^{2} + u \leq 0

Completar el cuadrado

1 - u^{2} + u : - (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{5}{4}

1 - u^{2} + u

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c

- u^{2} + u + 1

Escribir

- u^{2} + u + 1

en la forma:

x^{2} + 2 a x + a^{2}

Factorizar

- 1

- (u^{2} - u - 1)

2 a = - 1 : a = - \frac{1}{2}

2 a = - 1

Dividir ambos lados entre

2

2 a = - 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 a}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplificar

a = - \frac{1}{2}

a = - \frac{1}{2}

Sumar y restar (de izquierda a derecha)

(- \frac{1}{2})^{2}

- (u^{2} - u - 1 + (- \frac{1}{2})^{2} - (- \frac{1}{2})^{2})

x^{2} + 2 a x + a^{2} = (x + a)^{2}

u^{2} - 1 u + (- \frac{1}{2})^{2} = (u - \frac{1}{2})^{2}

- ((u - \frac{1}{2})^{2} - 1 - (- \frac{1}{2})^{2})

Simplificar

- (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{5}{4}

- (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{5}{4} \leq 0

Mover

\frac{5}{4}

al lado derecho

- (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{5}{4} \leq 0

Restar

\frac{5}{4}

de ambos lados

- (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{5}{4} - \frac{5}{4} \leq 0 - \frac{5}{4}

Simplificar

- (u - \frac{1}{2})^{2} \leq - \frac{5}{4}

- (u - \frac{1}{2})^{2} \leq - \frac{5}{4}

Multiplicar ambos lados por

- 1

- (u - \frac{1}{2})^{2} \leq - \frac{5}{4}

Multiplicar ambos lados por -1 (invierte la desigualdad)

(- (u - \frac{1}{2})^{2}) (- 1) \geq (- \frac{5}{4}) (- 1)

Simplificar

(u - \frac{1}{2})^{2} \geq \frac{5}{4}

(u - \frac{1}{2})^{2} \geq \frac{5}{4}

Para

u^{n} \geq a

, si

n

es par entonces

u - \frac{1}{2} \leq - \frac{5}{4} or u - \frac{1}{2} \geq \frac{5}{4}

u - \frac{1}{2} \leq - \frac{5}{4} : u \leq \frac{- 5 + 1}{2}

u - \frac{1}{2} \leq - \frac{5}{4}

Simplificar

\frac{5}{4} : \frac{5}{2}

\frac{5}{4}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{5}{4}

4 = 2

4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2

= \frac{5}{2}

u - \frac{1}{2} \leq - \frac{5}{2}

Mover

\frac{1}{2}

al lado derecho

u - \frac{1}{2} \leq - \frac{5}{2}

Sumar

\frac{1}{2}

a ambos lados

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \leq - \frac{5}{2} + \frac{1}{2}

Simplificar

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \leq - \frac{5}{2} + \frac{1}{2}

Simplificar

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} : u

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}

Sumar elementos similares:

- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \leq 0

= u

Simplificar

- \frac{5}{2} + \frac{1}{2} : \frac{- 5 + 1}{2}

- \frac{5}{2} + \frac{1}{2}

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 5 + 1}{2}

u \leq \frac{- 5 + 1}{2}

u \leq \frac{- 5 + 1}{2}

u \leq \frac{- 5 + 1}{2}

u - \frac{1}{2} \geq \frac{5}{4} : u \geq \frac{5 + 1}{2}

u - \frac{1}{2} \geq \frac{5}{4}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0, b \geq 0

u - \frac{1}{2} \geq \frac{5}{4}

4 = 2

4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2

u - \frac{1}{2} \geq \frac{5}{2}

Mover

\frac{1}{2}

al lado derecho

u - \frac{1}{2} \geq \frac{5}{2}

Sumar

\frac{1}{2}

a ambos lados

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \geq \frac{5}{2} + \frac{1}{2}

Simplificar

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \geq \frac{5}{2} + \frac{1}{2}

Simplificar

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} : u

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}

Sumar elementos similares:

- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \geq 0

= u

Simplificar

\frac{5}{2} + \frac{1}{2} : \frac{5 + 1}{2}

\frac{5}{2} + \frac{1}{2}

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{5 + 1}{2}

u \geq \frac{5 + 1}{2}

u \geq \frac{5 + 1}{2}

u \geq \frac{5 + 1}{2}

Combinar los rangos

u \leq \frac{- 5 + 1}{2} or u \geq \frac{5 + 1}{2}

u \leq \frac{- 5 + 1}{2} or u \geq \frac{5 + 1}{2}

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) \leq \frac{- 5 + 1}{2} or sin (x) \geq \frac{5 + 1}{2}

sin (x) \leq \frac{- 5 + 1}{2} : - π - arcsin (\frac{- 5 + 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq arcsin (\frac{- 5 + 1}{2}) + 2 πn

sin (x) \leq \frac{- 5 + 1}{2}

Para

sin (x) \leq a

, si

- 1 < a < 1

entonces

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{- 5 + 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq arcsin (\frac{- 5 + 1}{2}) + 2 πn

sin (x) \geq \frac{5 + 1}{2} :

Falso para todo

x \in R

sin (x) \geq \frac{5 + 1}{2}

Rango de

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definición de rango de función

El rango de la función basica

sin

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \geq \frac{5 + 1}{2} and - 1 \leq sin (x) \leq 1 :

Falso

Sea

y

sin (x)

Combinar los rangos

y \geq \frac{5 + 1}{2} and - 1 \leq y \leq 1

Mezclar intervalos sobrepuestos

y \geq \frac{5 + 1}{2} and - 1 \leq y \leq 1

La intersección de dos intervalos, es el conjunto de numérico común a los dos intervalos

y \geq \frac{5 + 1}{2}

- 1 \leq y \leq 1

Falso para todo y \in R

Falso para todo y \in R

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para x \in R

Falso para todo x \in R

Combinar los rangos

- π - arcsin (\frac{- 5 + 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq arcsin (\frac{- 5 + 1}{2}) + 2 πn or Falso para todo x \in R

Mezclar intervalos sobrepuestos

- π - arcsin (\frac{- 5 + 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq arcsin (\frac{- 5 + 1}{2}) + 2 πn

Ejemplos populares

tan(θ)>0,sin(θ)<0

tan (θ) > 0, sin (θ) < 0

sin^2(x)> 15/40

sin^{2} (x) > \frac{15}{40}

(1+2sin(x))/((cos(2x)))>0

\frac{1 + 2 sin ( x )}{( cos ( 2 x ) )} > 0

(cos^2(x)-1/2)/(tan(x)-sqrt(3))<0

\frac{cos ^{2} ( x ) - \frac{1}{2}}{tan ( x ) - 3} < 0

tan(θ)>0,cot(θ)>0

tan (θ) > 0, cot (θ) > 0