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Popular >

tan^2(x)+2tan(x)>3

Solución

tan^{2} (x) + 2 tan (x) > 3

Solución

\frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn or - \frac{π}{2} + πn < x < - arctan (3) + πn

Notación de intervalos

(\frac{π}{4} + πn, \frac{π}{2} + πn) \cup (- \frac{π}{2} + πn, - arctan (3) + πn)

Notación decimal

0.78539 \dots + πn < x < 1.57079 \dots + πn or - 1.57079 \dots + πn < x < - 1.24904 \dots + πn

Pasos de solución

tan^{2} (x) + 2 tan (x) > 3

Sea:

u = tan (x)

u^{2} + 2 u > 3

u^{2} + 2 u > 3 : u < - 3 or u > 1

u^{2} + 2 u > 3

Reescribir en la forma estándar

u^{2} + 2 u > 3

Restar

3

de ambos lados

u^{2} + 2 u - 3 > 3 - 3

Simplificar

u^{2} + 2 u - 3 > 0

u^{2} + 2 u - 3 > 0

Factorizar

u^{2} + 2 u - 3 : (u - 1) (u + 3)

u^{2} + 2 u - 3

Factorizar la expresión

u^{2} + 2 u - 3

Definición

Factores de

3 : 1, 3

3

Divisores (factores)

Encontrar los factores primos de

3 : 3

3

3

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 3

Agregar 1

1

Divisores de

3

1, 3

Factores negativos de

3 : - 1, - 3

Multiplicar los números por

- 1

para obtener divisores negativos

- 1, - 3

Por cada dos factores tales que

u * v = - 3,

revisar si

u + v = 2

Revisar

u = 1, v = - 3 : u * v = - 3, u + v = - 2 \Rightarrow

FalsoRevisar

u = 3, v = - 1 : u * v = - 3, u + v = 2 \Rightarrow

Verdadero

u = 3, v = - 1

Agrupar en

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(u^{2} - u) + (3 u - 3)

= (u^{2} - u) + (3 u - 3)

Factorizar

u

u^{2} - u

u (u - 1)

u^{2} - u

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= uu - u

Factorizar el termino común

u

= u (u - 1)

Factorizar

3

3 u - 3

3 (u - 1)

3 u - 3

Factorizar el termino común

3

= 3 (u - 1)

= u (u - 1) + 3 (u - 1)

Factorizar el termino común

u - 1

= (u - 1) (u + 3)

(u - 1) (u + 3) > 0

Identificar los intervalos

Encontrar los signos de los factores de

(u - 1) (u + 3)

Encontrar los signos de

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

u - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

Mover

1

al lado derecho

u - 1 < 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 < 0 + 1

Simplificar

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

Mover

1

al lado derecho

u - 1 > 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 > 0 + 1

Simplificar

u > 1

u > 1

Encontrar los signos de

u + 3

u + 3 = 0 : u = - 3

u + 3 = 0

Mover

3

al lado derecho

u + 3 = 0

Restar

3

de ambos lados

u + 3 - 3 = 0 - 3

Simplificar

u = - 3

u = - 3

u + 3 < 0 : u < - 3

u + 3 < 0

Mover

3

al lado derecho

u + 3 < 0

Restar

3

de ambos lados

u + 3 - 3 < 0 - 3

Simplificar

u < - 3

u < - 3

u + 3 > 0 : u > - 3

u + 3 > 0

Mover

3

al lado derecho

u + 3 > 0

Restar

3

de ambos lados

u + 3 - 3 > 0 - 3

Simplificar

u > - 3

u > - 3

Resumir en una tabla:

u - 1 u + 3 (u - 1) (u + 3) u < - 3 - - + u = - 3 - 00 - 3 < u < 1 - + - u = 1 0 + 0 u > 1 + + +

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

> 0

u < - 3 or u > 1

u < - 3 or u > 1

u < - 3 or u > 1

Sustituir en la ecuación

u = tan (x)

tan (x) < - 3 or tan (x) > 1

tan (x) < - 3 : - \frac{π}{2} + πn < x < - arctan (3) + πn

tan (x) < - 3

tan (x) < a

entonces

- \frac{π}{2} + πn < x < arctan (a) + πn

- \frac{π}{2} + πn < x < arctan (- 3) + πn

Simplificar

arctan (- 3) : - arctan (3)

arctan (- 3)

Utilizar la siguiente propiedad:

arctan (- x) = - arctan (x)

arctan (- 3) = - arctan (3)

= - arctan (3)

- \frac{π}{2} + πn < x < - arctan (3) + πn

tan (x) > 1 : \frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn

tan (x) > 1

tan (x) > a

entonces

arctan (a) + πn < x < \frac{π}{2} + πn

arctan (1) + πn < x < \frac{π}{2} + πn

Simplificar

arctan (1) : \frac{π}{4}

arctan (1)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arctan (1) = \frac{π}{4}

x 0 \frac{3}{3} 13 arctan (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} arctan (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

\frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn

Combinar los rangos

- \frac{π}{2} + πn < x < - arctan (3) + πn or \frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn

Mezclar intervalos sobrepuestos

\frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn or - \frac{π}{2} + πn < x < - arctan (3) + πn

Ejemplos populares

cot^2(x)+4cot(x)+3>0

cot^{2} (x) + 4 cot (x) + 3 > 0

sin^2(2t)<0

sin^{2} (2 t) < 0

5sin(1/2 (x+pi/4))-1>=-7

5 sin (\frac{1}{2} (x + \frac{π}{4})) - 1 \geq - 7

pi/6-arcsin(x)>= 0

\frac{π}{6} - arcsin (x) \geq 0

cos^2(x)< 1/2

cos^{2} (x) < \frac{1}{2}