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1/(sin^2(x))>= 1

Solución

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} \geq 1

Solución

2 πn < x < π + 2 πn or - π + 2 πn < x < 2 πn

Notación de intervalos

(2 πn, π + 2 πn) \cup (- π + 2 πn, 2 πn)

Decimal

2 πn < x < 3.14159 \dots + 2 πn or - 3.14159 \dots + 2 πn < x < 2 πn

Pasos de solución

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} \geq 1

Reescribir en la forma estándar

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} \geq 1

Restar

1

de ambos lados

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} - 1 \geq 1 - 1

Simplificar

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} - 1 \geq 0

Simplificar

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} - 1 : \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} - 1

Convertir a fracción:

1 = \frac{1 sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )} - \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - 1 \cdot sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Multiplicar:

1 \cdot sin^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

\frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} \geq 0

\frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} \geq 0

Factorizar

\frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} : \frac{- ( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}{sin ^{2} ( x )}

\frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Factorizar

- sin^{2} (x) + 1 : - (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

- sin^{2} (x) + 1

Factorizar el termino común

- 1

= - (sin^{2} (x) - 1)

Factorizar

sin^{2} (x) - 1 : (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

sin^{2} (x) - 1

Reescribir

1

como

1^{2}

= sin^{2} (x) - 1^{2}

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

sin^{2} (x) - 1^{2} = (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

= (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

= - (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

= \frac{- ( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}{sin ^{2} ( x )}

\frac{- ( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}{sin ^{2} ( x )} \geq 0

Multiplicar ambos lados por

- 1

(invertir la desigualdad)

\frac{( - ( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 ) ) ( - 1 )}{sin ^{2} ( x )} \leq 0 \cdot (- 1)

Simplificar

\frac{( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}{sin ^{2} ( x )} \leq 0

Identificar los intervalos

Encontrar los signos de los factores de

\frac{( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}{sin ^{2} ( x )}

Encontrar los signos de

sin (x) + 1

sin (x) + 1 = 0 : sin (x) = - 1

sin (x) + 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

sin (x) + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

sin (x) + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

sin (x) = - 1

sin (x) = - 1

sin (x) + 1 < 0 : sin (x) < - 1

sin (x) + 1 < 0

Desplace

1

a la derecha

sin (x) + 1 < 0

Restar

1

de ambos lados

sin (x) + 1 - 1 < 0 - 1

Simplificar

sin (x) < - 1

sin (x) < - 1

sin (x) + 1 > 0 : sin (x) > - 1

sin (x) + 1 > 0

Desplace

1

a la derecha

sin (x) + 1 > 0

Restar

1

de ambos lados

sin (x) + 1 - 1 > 0 - 1

Simplificar

sin (x) > - 1

sin (x) > - 1

Encontrar los signos de

sin (x) - 1

sin (x) - 1 = 0 : sin (x) = 1

sin (x) - 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

sin (x) - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

sin (x) - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

sin (x) = 1

sin (x) = 1

sin (x) - 1 < 0 : sin (x) < 1

sin (x) - 1 < 0

Desplace

1

a la derecha

sin (x) - 1 < 0

Sumar

1

a ambos lados

sin (x) - 1 + 1 < 0 + 1

Simplificar

sin (x) < 1

sin (x) < 1

sin (x) - 1 > 0 : sin (x) > 1

sin (x) - 1 > 0

Desplace

1

a la derecha

sin (x) - 1 > 0

Sumar

1

a ambos lados

sin (x) - 1 + 1 > 0 + 1

Simplificar

sin (x) > 1

sin (x) > 1

Encontrar los signos de

sin^{2} (x)

sin^{2} (x) = 0 : sin (x) = 0

sin^{2} (x) = 0

Aplicar la regla

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

sin (x) = 0

sin^{2} (x) > 0 : sin (x) < 0 or sin (x) > 0

sin^{2} (x) > 0

Para

u^{n} > 0

, si

n

es par entonces

u < 0

u > 0

sin (x) < 0 or sin (x) > 0

Encontrar puntos de singularidad

Encontrar los ceros del denominador

sin^{2} (x) :

Sin solución

sin^{2} (x) = 0

Los lados no son iguales

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Resumir en una tabla:

sin (x) + 1 sin (x) - 1 sin^{2} (x) \frac{( s i n ( x ) + 1 ) ( s i n ( x ) - 1 )}{s i n ^{2} ( x )} sin (x) < - 1 - - + + sin (x) = - 1 0 - + 0 - 1 < sin (x) < 0 + - + - sin (x) = 0 + - 0 Sin definir 0 < sin (x) < 1 + - + - sin (x) = 1 + 0 + 0 sin (x) > 1 + + + +

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

\leq 0

sin (x) = - 1 or - 1 < sin (x) < 0 or 0 < sin (x) < 1 or sin (x) = 1

Mezclar intervalos sobrepuestos

- 1 \leq sin (x) < 0 or 0 < sin (x) < 1 or sin (x) = 1

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

sin (x) = - 1

- 1 < sin (x) < 0

- 1 \leq sin (x) < 0

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

- 1 \leq sin (x) < 0

0 < sin (x) < 1

- 1 \leq sin (x) < 0 or 0 < sin (x) < 1

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

- 1 \leq sin (x) < 0 or 0 < sin (x) < 1

sin (x) = 1

- 1 \leq sin (x) < 0 or 0 < sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) < 0 or 0 < sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) < 0 or 0 < sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) < 0 : - π + 2 πn < x < 2 πn

- 1 \leq sin (x) < 0

a \leq u < b

entonces

a \leq u and u < b

- 1 \leq sin (x) and sin (x) < 0

- 1 \leq sin (x) :

Verdadero para todo

x \in R

- 1 \leq sin (x)

Intercambiar lados

sin (x) \geq - 1

Rango de

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definición de rango de función

El rango de la función basica

sin

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \geq - 1 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Sea

y

sin (x)

Combinar los rangos

y \geq - 1 and - 1 \leq y \leq 1

Mezclar intervalos sobrepuestos

y \geq - 1 and - 1 \leq y \leq 1

La intersección de dos intervalos, es el conjunto de numérico común a los dos intervalos

y \geq - 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Verdadero para todo x

Verdadero para todo x \in R

sin (x) < 0 : - π + 2 πn < x < 2 πn

sin (x) < 0

Para

sin (x) < a

, si

- 1 < a \leq 1

entonces

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (0) + 2 πn < x < arcsin (0) + 2 πn

Simplificar

- π - arcsin (0) : - π

- π - arcsin (0)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - 0

- π - 0 = - π

= - π

Simplificar

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

- π + 2 πn < x < 0 + 2 πn

Simplificar

- π + 2 πn < x < 2 πn

Combinar los rangos

Verdadero para todo x \in R and - π + 2 πn < x < 2 πn

Mezclar intervalos sobrepuestos

- π + 2 πn < x < 2 πn

0 < sin (x) \leq 1 : 2 πn < x < π + 2 πn

0 < sin (x) \leq 1

a < u \leq b

entonces

a < u and u \leq b

0 < sin (x) and sin (x) \leq 1

0 < sin (x) : 2 πn < x < π + 2 πn

0 < sin (x)

Intercambiar lados

sin (x) > 0

Para

sin (x) > a

, si

- 1 \leq a < 1

entonces

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (0) + 2 πn < x < π - arcsin (0) + 2 πn

Simplificar

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

Simplificar

π - arcsin (0) : π

π - arcsin (0)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - 0

π - 0 = π

= π

0 + 2 πn < x < π + 2 πn

Simplificar

2 πn < x < π + 2 πn

sin (x) \leq 1 :

Verdadero para todo

x \in R

sin (x) \leq 1

Rango de

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definición de rango de función

El rango de la función basica

sin

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \leq 1 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Sea

y

sin (x)

Combinar los rangos

y \leq 1 and - 1 \leq y \leq 1

Mezclar intervalos sobrepuestos

y \leq 1 and - 1 \leq y \leq 1

La intersección de dos intervalos, es el conjunto de numérico común a los dos intervalos

y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Verdadero para todo x

Verdadero para todo x \in R

Combinar los rangos

2 πn < x < π + 2 πn and Verdadero para todo x \in R

Mezclar intervalos sobrepuestos

2 πn < x < π + 2 πn

Combinar los rangos

- π + 2 πn < x < 2 πn or 2 πn < x < π + 2 πn

Mezclar intervalos sobrepuestos

2 πn < x < π + 2 πn or - π + 2 πn < x < 2 πn

Ejemplos populares

tan(x)>= 1/(sqrt(3))

tan (x) \geq \frac{1}{3}

solvefor y,sin(x)xcos(y)<0 resolver para

y, sin (x) x cos (y) < 0

solvefor N,0.0001< pi/2-arctan(N)resolver para

N, 0.0001 < \frac{π}{2} - arctan (N)

cos(x/2)+1/2 <0

cos (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} < 0

sin((5x)/2)<= 0.6

sin (\frac{5 x}{2}) \leq 0.6