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受欢迎的三角函数 >

1/(sin^2(x))>= 1

解答

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} \geq 1

解答

2 πn < x < π + 2 πn or - π + 2 πn < x < 2 πn

+2

间隔符号

(2 πn, π + 2 πn) \cup (- π + 2 πn, 2 πn)

十进制

2 πn < x < 3.14159 \dots + 2 πn or - 3.14159 \dots + 2 πn < x < 2 πn

求解步骤

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} \geq 1

改写为标准形式

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} \geq 1

两边减去

1

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} - 1 \geq 1 - 1

化简

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} - 1 \geq 0

化简

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} - 1 : \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} - 1

将项转换为分式:

1 = \frac{1 sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )} - \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - 1 \cdot sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

乘以:

1 \cdot sin^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

\frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} \geq 0

\frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} \geq 0

分解

\frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} : \frac{- ( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}{sin ^{2} ( x )}

\frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

分解

- sin^{2} (x) + 1 : - (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

- sin^{2} (x) + 1

因式分解出通项

- 1

= - (sin^{2} (x) - 1)

分解

sin^{2} (x) - 1 : (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

sin^{2} (x) - 1

将

1

改写为

1^{2}

= sin^{2} (x) - 1^{2}

使用平方差公式:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

sin^{2} (x) - 1^{2} = (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

= (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

= - (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

= \frac{- ( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}{sin ^{2} ( x )}

\frac{- ( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}{sin ^{2} ( x )} \geq 0

两边乘以

- 1

（改变不等式符号）

\frac{( - ( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 ) ) ( - 1 )}{sin ^{2} ( x )} \leq 0 \cdot (- 1)

化简

\frac{( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}{sin ^{2} ( x )} \leq 0

确定区间

确定

\frac{( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}{sin ^{2} ( x )}

符号

确定

sin (x) + 1

符号

sin (x) + 1 = 0 : sin (x) = - 1

sin (x) + 1 = 0

将

1

到右边

sin (x) + 1 = 0

两边减去

1

sin (x) + 1 - 1 = 0 - 1

化简

sin (x) = - 1

sin (x) = - 1

sin (x) + 1 < 0 : sin (x) < - 1

sin (x) + 1 < 0

将

1

到右边

sin (x) + 1 < 0

两边减去

1

sin (x) + 1 - 1 < 0 - 1

化简

sin (x) < - 1

sin (x) < - 1

sin (x) + 1 > 0 : sin (x) > - 1

sin (x) + 1 > 0

将

1

到右边

sin (x) + 1 > 0

两边减去

1

sin (x) + 1 - 1 > 0 - 1

化简

sin (x) > - 1

sin (x) > - 1

确定

sin (x) - 1

符号

sin (x) - 1 = 0 : sin (x) = 1

sin (x) - 1 = 0

将

1

到右边

sin (x) - 1 = 0

两边加上

1

sin (x) - 1 + 1 = 0 + 1

化简

sin (x) = 1

sin (x) = 1

sin (x) - 1 < 0 : sin (x) < 1

sin (x) - 1 < 0

将

1

到右边

sin (x) - 1 < 0

两边加上

1

sin (x) - 1 + 1 < 0 + 1

化简

sin (x) < 1

sin (x) < 1

sin (x) - 1 > 0 : sin (x) > 1

sin (x) - 1 > 0

将

1

到右边

sin (x) - 1 > 0

两边加上

1

sin (x) - 1 + 1 > 0 + 1

化简

sin (x) > 1

sin (x) > 1

确定

sin^{2} (x)

符号

sin^{2} (x) = 0 : sin (x) = 0

sin^{2} (x) = 0

使用法则

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

sin (x) = 0

sin^{2} (x) > 0 : sin (x) < 0 or sin (x) > 0

sin^{2} (x) > 0

对于

u^{n} > 0

，若

n

为偶数，则

u < 0

or

u > 0

sin (x) < 0 or sin (x) > 0

找到奇点

找到分母的零解

sin^{2} (x) :

无解

sin^{2} (x) = 0

两侧不相等

无解

总结如下表：

sin (x) + 1 sin (x) - 1 sin^{2} (x) \frac{( s i n ( x ) + 1 ) ( s i n ( x ) - 1 )}{s i n ^{2} ( x )} sin (x) < - 1 - - + + sin (x) = - 1 0 - + 0 - 1 < sin (x) < 0 + - + - sin (x) = 0 + - 0 未定义 0 < sin (x) < 1 + - + - sin (x) = 1 + 0 + 0 sin (x) > 1 + + + +

确定满足所需条件的区间：

\leq 0

sin (x) = - 1 or - 1 < sin (x) < 0 or 0 < sin (x) < 1 or sin (x) = 1

合并重叠的区间

- 1 \leq sin (x) < 0 or 0 < sin (x) < 1 or sin (x) = 1

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

sin (x) = - 1

or

- 1 < sin (x) < 0

- 1 \leq sin (x) < 0

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

- 1 \leq sin (x) < 0

or

0 < sin (x) < 1

- 1 \leq sin (x) < 0 or 0 < sin (x) < 1

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

- 1 \leq sin (x) < 0 or 0 < sin (x) < 1

or

sin (x) = 1

- 1 \leq sin (x) < 0 or 0 < sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) < 0 or 0 < sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) < 0 or 0 < sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) < 0 : - π + 2 πn < x < 2 πn

- 1 \leq sin (x) < 0

若

a \leq u < b

，则

a \leq u and u < b

- 1 \leq sin (x) and sin (x) < 0

- 1 \leq sin (x) :

对所有

x \in R

为真

- 1 \leq sin (x)

交换两边

sin (x) \geq - 1

sin (x)

的值域:

- 1 \leq sin (x) \leq 1

函数值域定义

基本

sin

函数的值域为

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \geq - 1 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 : - 1 \leq sin (x) \leq 1

令

y = sin (x)

合并区间

y \geq - 1 and - 1 \leq y \leq 1

合并重叠的区间

y \geq - 1 and - 1 \leq y \leq 1

两个区间的交集是指同时存在于这两个区间的数的集合

y \geq - 1

and

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

对所有 x 为真

对所有 x \in R 为真

sin (x) < 0 : - π + 2 πn < x < 2 πn

sin (x) < 0

对于

sin (x) < a

，若

- 1 < a \leq 1

，则

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (0) + 2 πn < x < arcsin (0) + 2 πn

化简

- π - arcsin (0) : - π

- π - arcsin (0)

使用以下普通恒等式:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - 0

- π - 0 = - π

= - π

化简

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

使用以下普通恒等式:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

- π + 2 πn < x < 0 + 2 πn

化简

- π + 2 πn < x < 2 πn

合并区间

对所有 x \in R 为真 and - π + 2 πn < x < 2 πn

合并重叠的区间

- π + 2 πn < x < 2 πn

0 < sin (x) \leq 1 : 2 πn < x < π + 2 πn

0 < sin (x) \leq 1

若

a < u \leq b

，则

a < u and u \leq b

0 < sin (x) and sin (x) \leq 1

0 < sin (x) : 2 πn < x < π + 2 πn

0 < sin (x)

交换两边

sin (x) > 0

对于

sin (x) > a

，若

- 1 \leq a < 1

，则

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (0) + 2 πn < x < π - arcsin (0) + 2 πn

化简

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

使用以下普通恒等式:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

化简

π - arcsin (0) : π

π - arcsin (0)

使用以下普通恒等式:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - 0

π - 0 = π

= π

0 + 2 πn < x < π + 2 πn

化简

2 πn < x < π + 2 πn

sin (x) \leq 1 :

对所有

x \in R

为真

sin (x) \leq 1

sin (x)

的值域:

- 1 \leq sin (x) \leq 1

函数值域定义

基本

sin

函数的值域为

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \leq 1 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 : - 1 \leq sin (x) \leq 1

令

y = sin (x)

合并区间

y \leq 1 and - 1 \leq y \leq 1

合并重叠的区间

y \leq 1 and - 1 \leq y \leq 1

两个区间的交集是指同时存在于这两个区间的数的集合

y \leq 1

and

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

对所有 x 为真

对所有 x \in R 为真

合并区间

2 πn < x < π + 2 πn and 对所有 x \in R 为真

合并重叠的区间

2 πn < x < π + 2 πn

合并区间

- π + 2 πn < x < 2 πn or 2 πn < x < π + 2 πn

合并重叠的区间

2 πn < x < π + 2 πn or - π + 2 πn < x < 2 πn

流行的例子

tan(x)>= 1/(sqrt(3))

tan (x) \geq \frac{1}{3}

solvefor y,sin(x)xcos(y)<0

so l v e f or y, sin (x) x cos (y) < 0

cos(x/2)+1/2 <0

cos (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} < 0

sin((5x)/2)<= 0.6

sin (\frac{5 x}{2}) \leq 0.6

sqrt(3)-tan(x)<0

3 - tan (x) < 0