English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Beliebt Trigonometrie >

1/(sin^2(x))>= 1

Lösung

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} \geq 1

Lösung

2 πn < x < π + 2 πn or - π + 2 πn < x < 2 πn

Intervall-Notation

(2 πn, π + 2 πn) \cup (- π + 2 πn, 2 πn)

Dezimale

2 πn < x < 3.14159 \dots + 2 πn or - 3.14159 \dots + 2 πn < x < 2 πn

Schritte zur Lösung

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} \geq 1

Rewrite in standard form

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} \geq 1

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} - 1 \geq 1 - 1

Vereinfache

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} - 1 \geq 0

Vereinfache

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} - 1 : \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} - 1

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )} - \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - 1 \cdot sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot sin^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

\frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} \geq 0

\frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} \geq 0

Faktorisiere

\frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} : \frac{- ( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}{sin ^{2} ( x )}

\frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Faktorisiere

- sin^{2} (x) + 1 : - (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

- sin^{2} (x) + 1

Klammere gleiche Terme aus

- 1

= - (sin^{2} (x) - 1)

Faktorisiere

sin^{2} (x) - 1 : (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

sin^{2} (x) - 1

Schreibe

1

um:

1^{2}

= sin^{2} (x) - 1^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

sin^{2} (x) - 1^{2} = (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

= (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

= - (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

= \frac{- ( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}{sin ^{2} ( x )}

\frac{- ( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}{sin ^{2} ( x )} \geq 0

Multipliziere beide Seiten mit

- 1

(drehe die Ungleichung um)

\frac{( - ( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 ) ) ( - 1 )}{sin ^{2} ( x )} \leq 0 \cdot (- 1)

Vereinfache

\frac{( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}{sin ^{2} ( x )} \leq 0

Identifiziere die Intervalle

Finde die Vorzeichen der Faktoren von

\frac{( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}{sin ^{2} ( x )}

Finde die Vorzeichen von

sin (x) + 1

sin (x) + 1 = 0 : sin (x) = - 1

sin (x) + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

sin (x) + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

sin (x) + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

sin (x) = - 1

sin (x) = - 1

sin (x) + 1 < 0 : sin (x) < - 1

sin (x) + 1 < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

sin (x) + 1 < 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

sin (x) + 1 - 1 < 0 - 1

Vereinfache

sin (x) < - 1

sin (x) < - 1

sin (x) + 1 > 0 : sin (x) > - 1

sin (x) + 1 > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

sin (x) + 1 > 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

sin (x) + 1 - 1 > 0 - 1

Vereinfache

sin (x) > - 1

sin (x) > - 1

Finde die Vorzeichen von

sin (x) - 1

sin (x) - 1 = 0 : sin (x) = 1

sin (x) - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

sin (x) - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

sin (x) - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

sin (x) = 1

sin (x) = 1

sin (x) - 1 < 0 : sin (x) < 1

sin (x) - 1 < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

sin (x) - 1 < 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

sin (x) - 1 + 1 < 0 + 1

Vereinfache

sin (x) < 1

sin (x) < 1

sin (x) - 1 > 0 : sin (x) > 1

sin (x) - 1 > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

sin (x) - 1 > 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

sin (x) - 1 + 1 > 0 + 1

Vereinfache

sin (x) > 1

sin (x) > 1

Finde die Vorzeichen von

sin^{2} (x)

sin^{2} (x) = 0 : sin (x) = 0

sin^{2} (x) = 0

Wende Regel an

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

sin (x) = 0

sin^{2} (x) > 0 : sin (x) < 0 or sin (x) > 0

sin^{2} (x) > 0

Für

u^{n} > 0

, wenn

n

ist gerade dann

u < 0

u > 0

sin (x) < 0 or sin (x) > 0

Finde Singularitätspunkte

Finde die Nullstellen des Nenners

sin^{2} (x) :

Keine Lösung

sin^{2} (x) = 0

Die Seiten sind nicht gleich

Keine L \overset{o}{¨} sung

Fasse in einer Tabelle zusammen:

sin (x) + 1 sin (x) - 1 sin^{2} (x) \frac{( s i n ( x ) + 1 ) ( s i n ( x ) - 1 )}{s i n ^{2} ( x )} sin (x) < - 1 - - + + sin (x) = - 1 0 - + 0 - 1 < sin (x) < 0 + - + - sin (x) = 0 + - 0 Unbestimmt 0 < sin (x) < 1 + - + - sin (x) = 1 + 0 + 0 sin (x) > 1 + + + +

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

\leq 0

sin (x) = - 1 or - 1 < sin (x) < 0 or 0 < sin (x) < 1 or sin (x) = 1

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

- 1 \leq sin (x) < 0 or 0 < sin (x) < 1 or sin (x) = 1

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

sin (x) = - 1

oder

- 1 < sin (x) < 0

- 1 \leq sin (x) < 0

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

- 1 \leq sin (x) < 0

oder

0 < sin (x) < 1

- 1 \leq sin (x) < 0 or 0 < sin (x) < 1

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

- 1 \leq sin (x) < 0 or 0 < sin (x) < 1

oder

sin (x) = 1

- 1 \leq sin (x) < 0 or 0 < sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) < 0 or 0 < sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) < 0 or 0 < sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) < 0 : - π + 2 πn < x < 2 πn

- 1 \leq sin (x) < 0

Wenn

a \leq u < b

dann

a \leq u and u < b

- 1 \leq sin (x) and sin (x) < 0

- 1 \leq sin (x) :

Wahr für alle

x \in R

- 1 \leq sin (x)

Tausche die Seiten

sin (x) \geq - 1

Bereich von

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definition Funktionsbereich

The range of the basic

sin

function is

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \geq - 1 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Angenommen

y = sin (x)

Kombiniere die Bereiche

y \geq - 1 and - 1 \leq y \leq 1

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

y \geq - 1 and - 1 \leq y \leq 1

Die Schnittmenge zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in beiden Intervallen liegen

y \geq - 1

und

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R

sin (x) < 0 : - π + 2 πn < x < 2 πn

sin (x) < 0

Für

sin (x) < a

, wenn

- 1 < a \leq 1

dann

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (0) + 2 πn < x < arcsin (0) + 2 πn

Vereinfache

- π - arcsin (0) : - π

- π - arcsin (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - 0

- π - 0 = - π

= - π

Vereinfache

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

- π + 2 πn < x < 0 + 2 πn

Vereinfache

- π + 2 πn < x < 2 πn

Kombiniere die Bereiche

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R and - π + 2 πn < x < 2 πn

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

- π + 2 πn < x < 2 πn

0 < sin (x) \leq 1 : 2 πn < x < π + 2 πn

0 < sin (x) \leq 1

Wenn

a < u \leq b

dann

a < u and u \leq b

0 < sin (x) and sin (x) \leq 1

0 < sin (x) : 2 πn < x < π + 2 πn

0 < sin (x)

Tausche die Seiten

sin (x) > 0

Für

sin (x) > a

, wenn

- 1 \leq a < 1

dann

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (0) + 2 πn < x < π - arcsin (0) + 2 πn

Vereinfache

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

Vereinfache

π - arcsin (0) : π

π - arcsin (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - 0

π - 0 = π

= π

0 + 2 πn < x < π + 2 πn

Vereinfache

2 πn < x < π + 2 πn

sin (x) \leq 1 :

Wahr für alle

x \in R

sin (x) \leq 1

Bereich von

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definition Funktionsbereich

The range of the basic

sin

function is

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \leq 1 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Angenommen

y = sin (x)

Kombiniere die Bereiche

y \leq 1 and - 1 \leq y \leq 1

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

y \leq 1 and - 1 \leq y \leq 1

Die Schnittmenge zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in beiden Intervallen liegen

y \leq 1

und

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Kombiniere die Bereiche

2 πn < x < π + 2 πn and Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

2 πn < x < π + 2 πn

Kombiniere die Bereiche

- π + 2 πn < x < 2 πn or 2 πn < x < π + 2 πn

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

2 πn < x < π + 2 πn or - π + 2 πn < x < 2 πn

Beliebte Beispiele

tan(x)>= 1/(sqrt(3))

tan (x) \geq \frac{1}{3}

solvefor y,sin(x)xcos(y)<0

so l v e f or y, sin (x) x cos (y) < 0

cos(x/2)+1/2 <0

cos (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} < 0

sin((5x)/2)<= 0.6

sin (\frac{5 x}{2}) \leq 0.6

sqrt(3)-tan(x)<0

3 - tan (x) < 0