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sin^4(x)-cos^4(x)<= 0

Solución

sin^{4} (x) - cos^{4} (x) \leq 0

Solución

πn \leq x \leq \frac{π}{4} + πn or \frac{3 π}{4} + πn \leq x \leq π + πn

Notación de intervalos

[πn, \frac{π}{4} + πn] \cup [\frac{3 π}{4} + πn, π + πn]

Notación decimal

πn \leq x \leq 0.78539 \dots + πn or 2.35619 \dots + πn \leq x \leq 3.14159 \dots + πn

Pasos de solución

sin^{4} (x) - cos^{4} (x) \leq 0

Periodicidad de

sin^{4} (x) - cos^{4} (x) : π

La periodicidad combinada de la suma de funciones periódicas es el mínimo común múltiplo de los períodos

sin^{4} (x), cos^{4} (x)

Periodicidad de

sin^{4} (x) : π

Periodicidad de

sin^{n} (x) = \frac{Periodicidad de sin ( x )}{2},

si n es par

Periodicidad de

sin (x) : 2 π

La periodicidad de

: s in (x)

2 π

= 2 π

\frac{2 π}{2}

Simplificar

π

Periodicidad de

cos^{4} (x) : π

Periodicidad de

cos^{n} (x) = \frac{Periodicidad de cos ( x )}{2},

si n es par

Periodicidad de

cos (x) : 2 π

La periodicidad de

: cos (x)

2 π

= 2 π

\frac{2 π}{2}

Simplificar

π

Combinar períodos:

π, π

= π

Factorizar

sin^{4} (x) - cos^{4} (x) : (sin^{2} (x) + cos^{2} (x)) (sin (x) + cos (x)) (sin (x) - cos (x))

sin^{4} (x) - cos^{4} (x)

Reescribir

sin^{4} (x) - cos^{4} (x)

como

(sin^{2} (x))^{2} - (cos^{2} (x))^{2}

sin^{4} (x) - cos^{4} (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

sin^{4} (x) = (sin^{2} (x))^{2}

= (sin^{2} (x))^{2} - cos^{4} (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

cos^{4} (x) = (cos^{2} (x))^{2}

= (sin^{2} (x))^{2} - (cos^{2} (x))^{2}

= (sin^{2} (x))^{2} - (cos^{2} (x))^{2}

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(sin^{2} (x))^{2} - (cos^{2} (x))^{2} = (sin^{2} (x) + cos^{2} (x)) (sin^{2} (x) - cos^{2} (x))

= (sin^{2} (x) + cos^{2} (x)) (sin^{2} (x) - cos^{2} (x))

Factorizar

sin^{2} (x) - cos^{2} (x) : (sin (x) + cos (x)) (sin (x) - cos (x))

sin^{2} (x) - cos^{2} (x)

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

sin^{2} (x) - cos^{2} (x) = (sin (x) + cos (x)) (sin (x) - cos (x))

= (sin (x) + cos (x)) (sin (x) - cos (x))

= (sin^{2} (x) + cos^{2} (x)) (sin (x) + cos (x)) (sin (x) - cos (x))

(sin^{2} (x) + cos^{2} (x)) (sin (x) + cos (x)) (sin (x) - cos (x)) \leq 0

Para encontrar los ceros, transformar la desigualdad a 0

(sin^{2} (x) + cos^{2} (x)) (sin (x) + cos (x)) (sin (x) - cos (x)) = 0

Resolver

(sin^{2} (x) + cos^{2} (x)) (sin (x) + cos (x)) (sin (x) - cos (x)) = 0

para

0 \leq x < π

(sin^{2} (x) + cos^{2} (x)) (sin (x) + cos (x)) (sin (x) - cos (x)) = 0

Resolver cada parte por separado

sin (x) + cos (x) = 0 : x = \frac{3 π}{4}

sin (x) + cos (x) = 0, 0 \leq x < π

Re-escribir usando identidades trigonométricas

sin (x) + cos (x) = 0

Dividir ambos lados entre

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{sin ( x ) + cos ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Simplificar

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} + 1 = 0

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (x) + 1 = 0

tan (x) + 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

tan (x) + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

tan (x) + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

tan (x) = - 1

tan (x) = - 1

Soluciones generales para

tan (x) = - 1

tan (x)

tabla de valores periódicos con

πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < π

x = \frac{3 π}{4}

sin (x) - cos (x) = 0 : x = \frac{π}{4}

sin (x) - cos (x) = 0, 0 \leq x < π

Re-escribir usando identidades trigonométricas

sin (x) - cos (x) = 0

Dividir ambos lados entre

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{sin ( x ) - cos ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Simplificar

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 1 = 0

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (x) - 1 = 0

tan (x) - 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

tan (x) - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

tan (x) - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

tan (x) = 1

tan (x) = 1

Soluciones generales para

tan (x) = 1

tan (x)

tabla de valores periódicos con

πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < π

x = \frac{π}{4}

Combinar toda las soluciones

\frac{π}{4} or \frac{3 π}{4}

Los intervalos entre ceros

0 < x < \frac{π}{4}, \frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{4} < x < π

Resumir en una tabla:

sin^{2} (x) + cos^{2} (x) sin (x) + cos (x) sin (x) - cos (x) (sin^{2} (x) + cos^{2} (x)) (sin (x) + cos (x)) (sin (x) - cos (x)) x = 0 + + - - 0 < x < \frac{π}{4} + + - - x = \frac{π}{4} + + 00 \frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4} + + + + x = \frac{3 π}{4} + 0 + 0 \frac{3 π}{4} < x < π + - + - x = π + - + -

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

\leq 0

x = 0 or 0 < x < \frac{π}{4} or x = \frac{π}{4} or x = \frac{3 π}{4} or \frac{3 π}{4} < x < π or x = π

Mezclar intervalos sobrepuestos

0 \leq x \leq \frac{π}{4} or \frac{3 π}{4} \leq x < π or x = π