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Populaire Trigonométrie >

tan(θ)-4/5 cos(θ)>0csc(θ)

Solution

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) > 0 csc (θ)

Solution

0.58745 \dots + 2 πn < θ < \frac{π}{2} + 2 πn or π - 0.58745 \dots + 2 πn < θ < \frac{3 π}{2} + 2 πn

La notation des intervalles

(0.58745 \dots + 2 πn, \frac{π}{2} + 2 πn) \cup (π - 0.58745 \dots + 2 πn, \frac{3 π}{2} + 2 πn)

Décimale

0.58745 \dots + 2 πn < θ < 1.57079 \dots + 2 πn or 2.55413 \dots + 2 πn < θ < 4.71238 \dots + 2 πn

étapes des solutions

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) > 0 \cdot csc (θ)

Déplacer

0 csc (θ)

vers la gauche

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) > 0 \cdot csc (θ)

Soustraire

0 csc (θ)

des deux côtés

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) - 0 \cdot csc (θ) > 0 \cdot csc (θ) - 0 \cdot csc (θ)

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) - 0 \cdot csc (θ) > 0 \cdot csc (θ) - 0 \cdot csc (θ)

Redéfinir

Simplifier

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) - 0 \cdot csc (θ) : tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ)

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) - 0 \cdot csc (θ)

Appliquer la règle

0 \cdot a = 0

= tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) - 0

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) - 0 = tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ)

= tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ)

0 \cdot csc (θ) - 0 \cdot csc (θ)

Additionner les éléments similaires :

0 csc (θ) - 0 csc (θ) > 0

= 0

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) > 0

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) > 0

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) > 0

Périodicité de

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) : 2 π

La périodicité composée de la somme des fonctions périodiques est le plus petit commun multiple des périodes

tan (θ), \frac{4}{5} cos (θ)

Périodicité de

tan (θ) : π

La périodicité de

tan (x)

est

π

= π

Périodicité de

\frac{4}{5} cos (θ) : 2 π

Périodicité de

a \cdot cos (b x + c) + d = \frac{p e ˊ riodicit e ˊ de cos ( x )}{∣ b ∣}

La périodicité de

cos (x)

est

2 π

= \frac{2 π}{∣ 1 ∣}

Simplifier

= 2 π

Combiner des périodes :

π, 2 π

= 2 π

Exprimer avec sinus, cosinus

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) > 0

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{4}{5} cos (θ) > 0

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{4}{5} cos (θ) > 0

Simplifier

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{4}{5} cos (θ) : \frac{5 sin ( θ ) - 4 cos ^{2} ( θ )}{5 cos ( θ )}

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{4}{5} cos (θ)

Multiplier

\frac{4}{5} cos (θ) : \frac{4 cos ( θ )}{5}

\frac{4}{5} cos (θ)

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{4 cos ( θ )}{5}

= \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{4 cos ( θ )}{5}

Plus petit commun multiple de

cos (θ), 5 : 5 cos (θ)

cos (θ), 5

Plus petit commun multiple (PPCM)

Calculer une expression composée de facteurs qui apparaissent soit dans

cos (θ)

ou dans

5

= 5 cos (θ)

Ajuster des fractions sur la base du PPCM

Multiplier chaque numérateur par le même montant nécessaire pour multiplier son

dénominateur correspondant pour le mettre au PPCM

5 cos (θ)

Pour

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

5

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} = \frac{sin ( θ ) \cdot 5}{cos ( θ ) \cdot 5}

Pour

\frac{4 cos ( θ )}{5} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

cos (θ)

\frac{4 cos ( θ )}{5} = \frac{4 cos ( θ ) cos ( θ )}{5 cos ( θ )} = \frac{4 cos ^{2} ( θ )}{5 cos ( θ )}

= \frac{sin ( θ ) \cdot 5}{cos ( θ ) \cdot 5} - \frac{4 cos ^{2} ( θ )}{5 cos ( θ )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( θ ) \cdot 5 - 4 cos ^{2} ( θ )}{5 cos ( θ )}

\frac{5 sin ( θ ) - 4 cos ^{2} ( θ )}{5 cos ( θ )} > 0

Trouver les points zéros et les points non définis de

\frac{5 sin ( θ ) - 4 cos ^{2} ( θ )}{5 cos ( θ )}

pour

0 \leq θ < 2 π

Pour trouver les points zéros, définir l'inégalité à zéro

\frac{5 sin ( θ ) - 4 cos ^{2} ( θ )}{5 cos ( θ )} = 0

\frac{5 sin ( θ ) - 4 cos ^{2} ( θ )}{5 cos ( θ )} = 0, 0 \leq θ < 2 π : θ = 0.58745 \dots, θ = π - 0.58745 \dots

\frac{5 sin ( θ ) - 4 cos ^{2} ( θ )}{5 cos ( θ )} = 0, 0 \leq θ < 2 π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

5 sin (θ) - 4 cos^{2} (θ) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

- 4 cos^{2} (θ) + 5 sin (θ)

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 4 (1 - sin^{2} (θ)) + 5 sin (θ)

- (1 - sin^{2} (θ)) \cdot 4 + 5 sin (θ) = 0

Résoudre par substitution

- (1 - sin^{2} (θ)) \cdot 4 + 5 sin (θ) = 0

Soit :

sin (θ) = u

- (1 - u^{2}) \cdot 4 + 5 u = 0

- (1 - u^{2}) \cdot 4 + 5 u = 0 : u = \frac{- 5 + 89}{8}, u = \frac{- 5 - 89}{8}

- (1 - u^{2}) \cdot 4 + 5 u = 0

Développer

- (1 - u^{2}) \cdot 4 + 5 u : - 4 + 4 u^{2} + 5 u

- (1 - u^{2}) \cdot 4 + 5 u

= - 4 (1 - u^{2}) + 5 u

Développer

- 4 (1 - u^{2}) : - 4 + 4 u^{2}

- 4 (1 - u^{2})

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = - 4, b = 1, c = u^{2}

= - 4 \cdot 1 - (- 4) u^{2}

Appliquer les règles des moins et des plus

- (- a) = a

= - 4 \cdot 1 + 4 u^{2}

Multiplier les nombres :

4 \cdot 1 = 4

= - 4 + 4 u^{2}

= - 4 + 4 u^{2} + 5 u

- 4 + 4 u^{2} + 5 u = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

4 u^{2} + 5 u - 4 = 0

Résoudre par la formule quadratique

4 u^{2} + 5 u - 4 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 4, b = 5, c = - 4

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 5 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 4 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 5 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 4 )}{2 \cdot 4}

5^{2} - 4 \cdot 4 (- 4) = 89

5^{2} - 4 \cdot 4 (- 4)

Appliquer la règle

- (- a) = a

= 5^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 4

Multiplier les nombres :

4 \cdot 4 \cdot 4 = 64

= 5^{2} + 64

5^{2} = 25

= 25 + 64

Additionner les nombres :

25 + 64 = 89

= 89

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 89}{2 \cdot 4}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- 5 + 89}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- 5 - 89}{2 \cdot 4}

u = \frac{- 5 + 89}{2 \cdot 4} : \frac{- 5 + 89}{8}

\frac{- 5 + 89}{2 \cdot 4}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 5 + 89}{8}

u = \frac{- 5 - 89}{2 \cdot 4} : \frac{- 5 - 89}{8}

\frac{- 5 - 89}{2 \cdot 4}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 5 - 89}{8}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = \frac{- 5 + 89}{8}, u = \frac{- 5 - 89}{8}

Remplacer

u = sin (θ)

sin (θ) = \frac{- 5 + 89}{8}, sin (θ) = \frac{- 5 - 89}{8}

sin (θ) = \frac{- 5 + 89}{8}, sin (θ) = \frac{- 5 - 89}{8}

sin (θ) = \frac{- 5 + 89}{8}, 0 \leq θ < 2 π : θ = arcsin (\frac{89 - 5}{8}), θ = π - arcsin (\frac{89 - 5}{8})

sin (θ) = \frac{- 5 + 89}{8}, 0 \leq θ < 2 π

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

sin (θ) = \frac{- 5 + 89}{8}

Solutions générales pour

sin (θ) = \frac{- 5 + 89}{8}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{- 5 + 89}{8}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{- 5 + 89}{8}) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{- 5 + 89}{8}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{- 5 + 89}{8}) + 2 πn

Solutions pour la plage

0 \leq θ < 2 π

θ = arcsin (\frac{89 - 5}{8}), θ = π - arcsin (\frac{89 - 5}{8})

sin (θ) = \frac{- 5 - 89}{8}, 0 \leq θ < 2 π :

Aucune solution

sin (θ) = \frac{- 5 - 89}{8}, 0 \leq θ < 2 π

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Aucune solution

Combiner toutes les solutions

θ = arcsin (\frac{89 - 5}{8}), θ = π - arcsin (\frac{89 - 5}{8})

Montrer les solutions sous la forme décimale

θ = 0.58745 \dots, θ = π - 0.58745 \dots

Trouver les points non définis:

θ = \frac{π}{2}, θ = \frac{3 π}{2}

Trouver les zéros du dénominateur

5 cos (θ) = 0

Diviser les deux côtés par

5

5 cos (θ) = 0

Diviser les deux côtés par

5

\frac{5 cos ( θ )}{5} = \frac{0}{5}

Simplifier

cos (θ) = 0

cos (θ) = 0

Solutions générales pour

cos (θ) = 0

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Solutions pour la plage

0 \leq θ < 2 π

θ = \frac{π}{2}, θ = \frac{3 π}{2}

0.58745 \dots, \frac{π}{2}, π - 0.58745 \dots, \frac{3 π}{2}

Identifier les intervalles

0 < θ < 0.58745 \dots, 0.58745 \dots < θ < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < θ < π - 0.58745 \dots, π - 0.58745 \dots < θ < \frac{3 π}{2}, \frac{3 π}{2} < θ < 2 π

Récapituler dans un tableau:

5 sin (θ) - 4 cos^{2} (θ) cos (θ) \frac{5 s i n ( θ ) - 4 c o s ^{2} ( θ )}{5 c o s ( θ )} θ = 0 - + - 0 < θ < 0.58745 \dots - + - θ = 0.58745 \dots 0 + 0 0.58745 \dots < θ < \frac{π}{2} + + + θ = \frac{π}{2} + 0 Ind \overset{e}{ˊ} fini \frac{π}{2} < θ < π - 0.58745 \dots + - - θ = π - 0.58745 \dots 0 - 0 π - 0.58745 \dots < θ < \frac{3 π}{2} - - + θ = \frac{3 π}{2} - 0 Ind \overset{e}{ˊ} fini \frac{3 π}{2} < θ < 2 π - + - θ = 2 π - + -

Identifier les intervalles qui répondent à la conditions requise :

> 0

0.58745 \dots < θ < \frac{π}{2} or π - 0.58745 \dots < θ < \frac{3 π}{2}

Appliquer la périodicité de

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ)

0.58745 \dots + 2 πn < θ < \frac{π}{2} + 2 πn or π - 0.58745 \dots + 2 πn < θ < \frac{3 π}{2} + 2 πn

Exemples populaires

cot(x)>-1/(sqrt(3))

cot (x) > - \frac{1}{3}

(cos(x)-1.5708)(cos(x)+1.5708)<= 0

(cos (x) - 1.5708) (cos (x) + 1.5708) \leq 0

cot(pi-x)<-1

cot (π - x) < - 1

cos(2x)-cos(x)>0

cos (2 x) - cos (x) > 0

1-sin(x)<1

1 - sin (x) < 1