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Popular Trigonometria >

2sin^2(x)+cos(x)-1>= 0

Solução

2 sin^{2} (x) + cos (x) - 1 \geq 0

Solução

- \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{2 π}{3} + 2 πn

Notação de intervalo

[- \frac{2 π}{3} + 2 πn, \frac{2 π}{3} + 2 πn]

Decimal

- 2.09439 \dots + 2 πn \leq x \leq 2.09439 \dots + 2 πn

Passos da solução

2 sin^{2} (x) + cos (x) - 1 \geq 0

Usar a seguinte identidade:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Portanto

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

2 (1 - cos^{2} (x)) + cos (x) - 1 \geq 0

Simplificar

2 (1 - cos^{2} (x)) + cos (x) - 1 : cos (x) - 2 cos^{2} (x) + 1

2 (1 - cos^{2} (x)) + cos (x) - 1

Expandir

2 (1 - cos^{2} (x)) : 2 - 2 cos^{2} (x)

2 (1 - cos^{2} (x))

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 2 \cdot 1 - 2 cos^{2} (x)

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= 2 - 2 cos^{2} (x)

= 2 - 2 cos^{2} (x) + cos (x) - 1

Simplificar

2 - 2 cos^{2} (x) + cos (x) - 1 : cos (x) - 2 cos^{2} (x) + 1

2 - 2 cos^{2} (x) + cos (x) - 1

Agrupar termos semelhantes

= - 2 cos^{2} (x) + cos (x) + 2 - 1

Somar/subtrair:

2 - 1 = 1

= cos (x) - 2 cos^{2} (x) + 1

= cos (x) - 2 cos^{2} (x) + 1

cos (x) - 2 cos^{2} (x) + 1 \geq 0

Sea:

u = cos (x)

u - 2 u^{2} + 1 \geq 0

u - 2 u^{2} + 1 \geq 0 : - \frac{1}{2} \leq u \leq 1

u - 2 u^{2} + 1 \geq 0

Fatorar

u - 2 u^{2} + 1 : - (2 u + 1) (u - 1)

u - 2 u^{2} + 1

Fatorar o termo comum

- 1

= - (2 u^{2} - u - 1)

Fatorar

2 u^{2} - u - 1 : (2 u + 1) (u - 1)

2 u^{2} - u - 1

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c

= 2 u^{2} - u - 1

Fatorar a expressão

2 u^{2} - u - 1

Definição

Fatores de

2 : 1, 2

2

Divisores (fatores)

Encontre os fatores primos de

2 : 2

2

2

é um número primo, portanto é possível fatorá-lo

= 2

Adicione 1

1

Divisores de

2

1, 2

Fatores negativos de

2 : - 1, - 2

Multiplicar os números por

- 1

para obter divisores negativos

- 1, - 2

Para cada dois fatores tais que

u * v = - 2,

verifique se

u + v = - 1

Verifique

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

VerdadeiroVerifique

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

Falso

u = 1, v = - 2

Agrupe em

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} + u) + (- 2 u - 1)

= (2 u^{2} + u) + (- 2 u - 1)

Fatorar

u

2 u^{2} + u

u (2 u + 1)

2 u^{2} + u

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu + u

Fatorar o termo comum

u

= u (2 u + 1)

Fatorar

- 1

- 2 u - 1

- (2 u + 1)

- 2 u - 1

Fatorar o termo comum

- 1

= - (2 u + 1)

= u (2 u + 1) - (2 u + 1)

Fatorar o termo comum

2 u + 1

= (2 u + 1) (u - 1)

= - (2 u + 1) (u - 1)

- (2 u + 1) (u - 1) \geq 0

Multiplique ambos os lados por

- 1

(inverta a desigualdade)

(- (2 u + 1) (u - 1)) (- 1) \leq 0 \cdot (- 1)

Simplificar

(2 u + 1) (u - 1) \leq 0

Identifique os intervalos

Encontre os sinais dos fatores de

(2 u + 1) (u - 1)

Encontre os sinais de

2 u + 1

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

Mova

1

para o lado direito

2 u + 1 = 0

Subtrair

1

de ambos os lados

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

2 u = - 1

2 u = - 1

Dividir ambos os lados por

2

2 u = - 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplificar

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0 : u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0

Mova

1

para o lado direito

2 u + 1 < 0

Subtrair

1

de ambos os lados

2 u + 1 - 1 < 0 - 1

Simplificar

2 u < - 1

2 u < - 1

Dividir ambos os lados por

2

2 u < - 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 u}{2} < \frac{- 1}{2}

Simplificar

u < - \frac{1}{2}

u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0 : u > - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0

Mova

1

para o lado direito

2 u + 1 > 0

Subtrair

1

de ambos os lados

2 u + 1 - 1 > 0 - 1

Simplificar

2 u > - 1

2 u > - 1

Dividir ambos os lados por

2

2 u > - 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 u}{2} > \frac{- 1}{2}

Simplificar

u > - \frac{1}{2}

u > - \frac{1}{2}

Encontre os sinais de

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Mova

1

para o lado direito

u - 1 = 0

Adicionar

1

a ambos os lados

u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

Mova

1

para o lado direito

u - 1 < 0

Adicionar

1

a ambos os lados

u - 1 + 1 < 0 + 1

Simplificar

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

Mova

1

para o lado direito

u - 1 > 0

Adicionar

1

a ambos os lados

u - 1 + 1 > 0 + 1

Simplificar

u > 1

u > 1

Resumir em uma tabela:

2 u + 1 u - 1 (2 u + 1) (u - 1) u < - \frac{1}{2} - - + u = - \frac{1}{2} 0 - 0 - \frac{1}{2} < u < 1 + - - u = 1 + 00 u > 1 + + +

Identifique os intervalos que satisfaçam à condição necessária:

\leq 0

u = - \frac{1}{2} or - \frac{1}{2} < u < 1 or u = 1

Junte intervalos que se sobrepoem

- \frac{1}{2} \leq u < 1 or u = 1

A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos

u = - \frac{1}{2}

- \frac{1}{2} < u < 1

- \frac{1}{2} \leq u < 1

A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos

- \frac{1}{2} \leq u < 1

u = 1

- \frac{1}{2} \leq u \leq 1

- \frac{1}{2} \leq u \leq 1

- \frac{1}{2} \leq u \leq 1

- \frac{1}{2} \leq u \leq 1

Substituir na equação

u = cos (x)

- \frac{1}{2} \leq cos (x) \leq 1

a \leq u \leq b

então

a \leq u and u \leq b

- \frac{1}{2} \leq cos (x) and cos (x) \leq 1

- \frac{1}{2} \leq cos (x) : - \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{2 π}{3} + 2 πn

- \frac{1}{2} \leq cos (x)

Trocar lados

cos (x) \geq - \frac{1}{2}

Para

cos (x) \geq a

, se

- 1 < a < 1

então

- arccos (a) + 2 πn \leq x \leq arccos (a) + 2 πn

- arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Simplificar

- arccos (- \frac{1}{2}) : - \frac{2 π}{3}

- arccos (- \frac{1}{2})

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{2 π}{3}

Simplificar

arccos (- \frac{1}{2}) : \frac{2 π}{3}

arccos (- \frac{1}{2})

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{2 π}{3}

- \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{2 π}{3} + 2 πn

cos (x) \leq 1 :

Verdadeiro para todo

x \in R

cos (x) \leq 1

Imagem de

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Definição de imagem de função

A imagem da função básica

cos

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) \leq 1 and - 1 \leq cos (x) \leq 1 : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Considere

y = cos (x)

Combinar os intervalos

y \leq 1 and - 1 \leq y \leq 1

Junte intervalos que se sobrepoem

y \leq 1 and - 1 \leq y \leq 1

A interseção de dois intervalos é o conjunto de números que está em ambos os intervalos

y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Verdadeiro para todo x

Verdadeiro para todo x \in R

Combinar os intervalos

- \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{2 π}{3} + 2 πn and Verdadeiro para todo x \in R

Junte intervalos que se sobrepoem

- \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{2 π}{3} + 2 πn

Exemplos populares

(2sin(x)-1)/(3cos(x))<= 0

\frac{2 sin ( x ) - 1}{3 cos ( x )} \leq 0

sin(2x)-1/2 <0

sin (2 x) - \frac{1}{2} < 0

cos^2(x)> 1/4 ,0<= x<= 2pi

cos^{2} (x) > \frac{1}{4}, 0 \leq x \leq 2 π

sin((x*pi}{(\frac{1+sqrt(5))/2)^2})>0

sin \frac{x \cdot π}{( \frac{1 + 5}{2} ) ^{2}} > 0

2sin(x)-sqrt(3)<= 0

2 sin (x) - 3 \leq 0