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cos(x)sin(x)<0

Lösung

cos (x) sin (x) < 0

- \frac{π}{2} + πn < x < πn

Intervall-Notation

(- \frac{π}{2} + πn, πn)

Dezimale

- 1.57079 \dots + πn < x < πn

Schritte zur Lösung

cos (x) sin (x) < 0

Verwende die folgenden Identitäten:

2 cos (x) sin (x) = sin (2 x)

Deshalb

cos (x) sin (x) = \frac{sin ( 2 x )}{2}

\frac{sin ( 2 x )}{2} < 0

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{sin ( 2 x )}{2} < 0

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 sin ( 2 x )}{2} < 0 \cdot 2

Vereinfache

sin (2 x) < 0

sin (2 x) < 0

Für

sin (x) < a

, wenn

- 1 < a \leq 1

dann

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (0) + 2 πn < 2 x < arcsin (0) + 2 πn

Wenn

a < u < b

dann

a < u and u < b

- π - arcsin (0) + 2 πn < 2 x and 2 x < arcsin (0) + 2 πn

- π - arcsin (0) + 2 πn < 2 x : x > πn - \frac{π}{2}

- π - arcsin (0) + 2 πn < 2 x

Tausche die Seiten

2 x > - π - arcsin (0) + 2 πn

Vereinfache

- π - arcsin (0) + 2 πn : 2 πn - π

- π - arcsin (0) + 2 πn

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - 0 + 2 πn

- π - 0 + 2 πn = - π + 2 πn

= 2 πn - π

2 x > 2 πn - π

Teile beide Seiten durch

2

2 x > 2 πn - π

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} > \frac{2 πn}{2} - \frac{π}{2}

Vereinfache

x > πn - \frac{π}{2}

x > πn - \frac{π}{2}

2 x < arcsin (0) + 2 πn : x < πn

2 x < arcsin (0) + 2 πn

Vereinfache

arcsin (0) + 2 πn : 2 πn

arcsin (0) + 2 πn

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

= 2 πn

2 x < 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 x < 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} < \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

x < πn

x < πn

Kombiniere die Bereiche

x > πn - \frac{π}{2} and x < πn

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

- \frac{π}{2} + πn < x < πn

2 cos^{2} (x) - cos (x) - 1 > 0

3 tan (x) < 1

tan (x) + 1 < 0

2 cos^{2} (x) + cos (x) - 1 \geq 0

5 sin (x) < 3