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Popular Trigonometría >

2cos^2(x)+cos(x)-1>= 0

Solución

2 cos^{2} (x) + cos (x) - 1 \geq 0

Solución

- \frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or x = π + 2 πn

Notación de intervalos

[- \frac{π}{3} + 2 πn, \frac{π}{3} + 2 πn] \cup x = π + 2 πn

Decimal

- 1.04719 \dots + 2 πn \leq x \leq 1.04719 \dots + 2 πn or x = 3.14159 \dots + 2 πn

Pasos de solución

2 cos^{2} (x) + cos (x) - 1 \geq 0

Sea:

u = cos (x)

2 u^{2} + u - 1 \geq 0

2 u^{2} + u - 1 \geq 0 : u \leq - 1 or u \geq \frac{1}{2}

2 u^{2} + u - 1 \geq 0

Factorizar

2 u^{2} + u - 1 : (2 u - 1) (u + 1)

2 u^{2} + u - 1

Factorizar la expresión

2 u^{2} + u - 1

Definición

Factores de

2 : 1, 2

2

Divisores (factores)

Encontrar los factores primos de

2 : 2

2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 2

Agregar 1

1

Divisores de

2

1, 2

Factores negativos de

2 : - 1, - 2

Multiplicar los números por

- 1

para obtener divisores negativos

- 1, - 2

Por cada dos factores tales que

u * v = - 2,

revisar si

u + v = 1

Revisar

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

FalsoRevisar

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

Verdadero

u = 2, v = - 1

Agrupar en

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

= (2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

Factorizar

u

2 u^{2} - u

u (2 u - 1)

2 u^{2} - u

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - u

Factorizar el termino común

u

= u (2 u - 1)

= u (2 u - 1) + (2 u - 1)

Factorizar el termino común

2 u - 1

= (2 u - 1) (u + 1)

(2 u - 1) (u + 1) \geq 0

Identificar los intervalos

Encontrar los signos de los factores de

(2 u - 1) (u + 1)

Encontrar los signos de

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

2 u - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

2 u = 1

2 u = 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u = 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

Desplace

1

a la derecha

2 u - 1 < 0

Sumar

1

a ambos lados

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

Simplificar

2 u < 1

2 u < 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u < 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Simplificar

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

Desplace

1

a la derecha

2 u - 1 > 0

Sumar

1

a ambos lados

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

Simplificar

2 u > 1

2 u > 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u > 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Simplificar

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

Encontrar los signos de

u + 1

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

u + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

Desplace

1

a la derecha

u + 1 < 0

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - 1 < 0 - 1

Simplificar

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

Desplace

1

a la derecha

u + 1 > 0

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - 1 > 0 - 1

Simplificar

u > - 1

u > - 1

Resumir en una tabla:

2 u - 1 u + 1 (2 u - 1) (u + 1) u < - 1 - - + u = - 1 - 00 - 1 < u < \frac{1}{2} - + - u = \frac{1}{2} 0 + 0 u > \frac{1}{2} + + +

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

\geq 0

u < - 1 or u = - 1 or u = \frac{1}{2} or u > \frac{1}{2}

Mezclar intervalos sobrepuestos

u \leq - 1 or u = \frac{1}{2} or u > \frac{1}{2}

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

u < - 1

u = - 1

u \leq - 1

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

u \leq - 1

u = \frac{1}{2}

u \leq - 1 or u = \frac{1}{2}

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

u \leq - 1 or u = \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

u \leq - 1 or u \geq \frac{1}{2}

u \leq - 1 or u \geq \frac{1}{2}

u \leq - 1 or u \geq \frac{1}{2}

u \leq - 1 or u \geq \frac{1}{2}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) \leq - 1 or cos (x) \geq \frac{1}{2}

cos (x) \leq - 1 : x = π + 2 πn

cos (x) \leq - 1

Para

cos (x) \leq a

, si

- 1 < a < 1

entonces

arccos (a) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (- 1) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (- 1) + 2 πn

Simplificar

arccos (- 1) : π

arccos (- 1)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (- 1) = π

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= π

Simplificar

2 π - arccos (- 1) : π

2 π - arccos (- 1)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (- 1) = π

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - π

Sumar elementos similares:

2 π - π = π

= π

π + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

Simplificar

x = π + 2 πn

cos (x) \geq \frac{1}{2} : - \frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

cos (x) \geq \frac{1}{2}

Para

cos (x) \geq a

, si

- 1 < a < 1

entonces

- arccos (a) + 2 πn \leq x \leq arccos (a) + 2 πn

- arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

Simplificar

- arccos (\frac{1}{2}) : - \frac{π}{3}

- arccos (\frac{1}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{π}{3}

Simplificar

arccos (\frac{1}{2}) : \frac{π}{3}

arccos (\frac{1}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

- \frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

Combinar los rangos

x = π + 2 πn or - \frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

Mezclar intervalos sobrepuestos

- \frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or x = π + 2 πn

Ejemplos populares

5sin(x)<3

5 sin (x) < 3

tan(x)+sqrt(3)<= 0

tan (x) + 3 \leq 0

sqrt(3)cos(x)-sin(x)>= 1

3 cos (x) - sin (x) \geq 1

cos^2(x)-5cos(x)*2.25>= 0

cos^{2} (x) - 5 cos (x) \cdot 2.25 \geq 0

-pi/(12)sin^2(pi/(12)t)>0

- \frac{π}{12} sin^{2} (\frac{π}{12} t) > 0