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人気のある三角関数 >

(cos(x)-1)(cos(x)+1/2)>= 0

解

(cos (x) - 1) (cos (x) + \frac{1}{2}) \geq 0

解

\frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{4 π}{3} + 2 πn

+2

区間表記

[\frac{2 π}{3} + 2 πn, \frac{4 π}{3} + 2 πn]

十進法表記

2.09439 \dots + 2 πn \leq x \leq 4.18879 \dots + 2 πn

解答ステップ

(cos (x) - 1) (cos (x) + \frac{1}{2}) \geq 0

仮定:

u = cos (x)

(u - 1) (u + \frac{1}{2}) \geq 0

(u - 1) (u + \frac{1}{2}) \geq 0 : u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 1

(u - 1) (u + \frac{1}{2}) \geq 0

標準的な形式で書き換える

(u - 1) (u + \frac{1}{2}) \geq 0

拡張

(u - 1) (u + \frac{1}{2}) : u^{2} - \frac{1}{2} u - \frac{1}{2}

(u - 1) (u + \frac{1}{2})

FOIL メソッドを適用する:

(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d

a = u, b = - 1, c = u, d = \frac{1}{2}

= uu + u \frac{1}{2} + (- 1) u + (- 1) \frac{1}{2}

マイナス・プラスの規則を適用する

+ (- a) = - a

= uu + \frac{1}{2} u - 1 \cdot u - 1 \cdot \frac{1}{2}

簡素化

uu + \frac{1}{2} u - 1 \cdot u - 1 \cdot \frac{1}{2} : u^{2} - \frac{1}{2} u - \frac{1}{2}

uu + \frac{1}{2} u - 1 \cdot u - 1 \cdot \frac{1}{2}

類似した元を足す:

\frac{1}{2} u - 1 \cdot u = - \frac{1}{2} u

\frac{1}{2} u - 1 \cdot u

共通項をくくり出す

u

= u (\frac{1}{2} - 1)

\frac{1}{2} - 1 = - \frac{1}{2}

\frac{1}{2} - 1

元を分数に変換する:

1 = \frac{1 \cdot 2}{2}

= \frac{1}{2} - \frac{1 \cdot 2}{2}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}

1 - 1 \cdot 2 = - 1

1 - 1 \cdot 2

数を乗じる:

1 \cdot 2 = 2

= 1 - 2

数を引く:

1 - 2 = - 1

= - 1

= \frac{- 1}{2}

分数の規則を適用する:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

= - \frac{1}{2} u

= uu - \frac{1}{2} u - 1 \cdot \frac{1}{2}

uu = u^{2}

uu

指数の規則を適用する:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= u^{1 + 1}

数を足す:

1 + 1 = 2

= u^{2}

1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

1 \cdot \frac{1}{2}

乗算:

1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= \frac{1}{2}

= u^{2} - \frac{1}{2} u - \frac{1}{2}

= u^{2} - \frac{1}{2} u - \frac{1}{2}

u^{2} - \frac{1}{2} u - \frac{1}{2} \geq 0

以下で両辺を乗じる:

2

u^{2} \cdot 2 - \frac{1}{2} u \cdot 2 - \frac{1}{2} \cdot 2 \geq 0 \cdot 2

2 u^{2} - u - 1 \geq 0

2 u^{2} - u - 1 \geq 0

因数

2 u^{2} - u - 1 : (2 u + 1) (u - 1)

2 u^{2} - u - 1

式をグループに分ける

2 u^{2} - u - 1

定義

以下の因数:

2 : 1, 2

2

除数 (因数)

以下の素因数を求める:

2 : 2

2

2

は素数なので, 因数分解できない

= 2

1 を加える

1

以下の因数:

2

1, 2

以下の負の因数:

2 : - 1, - 2

因数に

- 1

を乗じて負の因数を得る

- 1, - 2

u * v = - 2

などの各 2 因数で以下をチェックする:

u + v = - 1

以下をチェックする:

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

真以下をチェックする:

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

偽

u = 1, v = - 2

以下に分ける:

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} + u) + (- 2 u - 1)

= (2 u^{2} + u) + (- 2 u - 1)

u

を

2 u^{2} + u : u (2 u + 1)

からくくり出す

2 u^{2} + u

指数の規則を適用する:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu + u

共通項をくくり出す

u

= u (2 u + 1)

- 1

を

- 2 u - 1 : - (2 u + 1)

からくくり出す

- 2 u - 1

共通項をくくり出す

- 1

= - (2 u + 1)

= u (2 u + 1) - (2 u + 1)

共通項をくくり出す

2 u + 1

= (2 u + 1) (u - 1)

(2 u + 1) (u - 1) \geq 0

区間を特定する

以下の因数の符号を求める:

(2 u + 1) (u - 1)

以下の符号を求める:

2 u + 1

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

1

を右側に移動します

2 u + 1 = 0

両辺から

1

を引く

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

簡素化

2 u = - 1

2 u = - 1

以下で両辺を割る

2

2 u = - 1

以下で両辺を割る

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

簡素化

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0 : u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0

1

を右側に移動します

2 u + 1 < 0

両辺から

1

を引く

2 u + 1 - 1 < 0 - 1

簡素化

2 u < - 1

2 u < - 1

以下で両辺を割る

2

2 u < - 1

以下で両辺を割る

2

\frac{2 u}{2} < \frac{- 1}{2}

簡素化

u < - \frac{1}{2}

u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0 : u > - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0

1

を右側に移動します

2 u + 1 > 0

両辺から

1

を引く

2 u + 1 - 1 > 0 - 1

簡素化

2 u > - 1

2 u > - 1

以下で両辺を割る

2

2 u > - 1

以下で両辺を割る

2

\frac{2 u}{2} > \frac{- 1}{2}

簡素化

u > - \frac{1}{2}

u > - \frac{1}{2}

以下の符号を求める:

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

1

を右側に移動します

u - 1 = 0

両辺に

1

を足す

u - 1 + 1 = 0 + 1

簡素化

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

1

を右側に移動します

u - 1 < 0

両辺に

1

を足す

u - 1 + 1 < 0 + 1

簡素化

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

1

を右側に移動します

u - 1 > 0

両辺に

1

を足す

u - 1 + 1 > 0 + 1

簡素化

u > 1

u > 1

表で要約する:

2 u + 1 u - 1 (2 u + 1) (u - 1) u < - \frac{1}{2} - - + u = - \frac{1}{2} 0 - 0 - \frac{1}{2} < u < 1 + - - u = 1 + 00 u > 1 + + +

必要条件を満たす区間を特定する:

\geq 0

u < - \frac{1}{2} or u = - \frac{1}{2} or u = 1 or u > 1

重複している区間をマージする

u \leq - \frac{1}{2} or u = 1 or u > 1

2つの区間の和集合は, 区間

u < - \frac{1}{2}

または

のいずれかの数の集合である

u = - \frac{1}{2}

u \leq - \frac{1}{2}

2つの区間の和集合は, 区間

u \leq - \frac{1}{2}

または

のいずれかの数の集合である

u = 1

u \leq - \frac{1}{2} or u = 1

2つの区間の和集合は, 区間

u \leq - \frac{1}{2} or u = 1

または

のいずれかの数の集合である

u > 1

u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 1

u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 1

u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 1

u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 1

代用を戻す

u = cos (x)

cos (x) \leq - \frac{1}{2} or cos (x) \geq 1

cos (x) \leq - \frac{1}{2} : \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) \leq - \frac{1}{2}

cos (x) \leq a

では,

- 1 < a < 1

の場合は

arccos (a) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

簡素化

arccos (- \frac{1}{2}) : \frac{2 π}{3}

arccos (- \frac{1}{2})

次の自明恒等式を使用する:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{2 π}{3}

簡素化

2 π - arccos (- \frac{1}{2}) : \frac{4 π}{3}

2 π - arccos (- \frac{1}{2})

次の自明恒等式を使用する:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{2 π}{3}

簡素化

2 π - \frac{2 π}{3}

元を分数に変換する:

2 π = \frac{2 π 3}{3}

= \frac{2 π 3}{3} - \frac{2 π}{3}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 3 - 2 π}{3}

2 π 3 - 2 π = 4 π

2 π 3 - 2 π

数を乗じる:

2 \cdot 3 = 6

= 6 π - 2 π

類似した元を足す:

6 π - 2 π = 4 π

= 4 π

= \frac{4 π}{3}

= \frac{4 π}{3}

\frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) \geq 1 :

以下の解はない:

x \in R

cos (x) \geq 1

cos (x) \geq a

では,

- 1 < a < 1

の場合は

- arccos (a) + 2 πn \leq x \leq arccos (a) + 2 πn

- arccos (1) + 2 πn \leq x \leq arccos (1) + 2 πn

簡素化

- arccos (1) : 0

- arccos (1)

次の自明恒等式を使用する:

arccos (1) = 0

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - 0

= 0

簡素化

arccos (1) : 0

arccos (1)

次の自明恒等式を使用する:

arccos (1) = 0

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 0

0 + 2 πn \leq x \leq 0 + 2 πn

簡素化

以下の解はない : x \in R

区間を組み合わせる

\frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{4 π}{3} + 2 πn or すべて偽 x \in R

重複している区間をマージする

\frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{4 π}{3} + 2 πn

人気の例

tan (x) < \frac{π}{2}

cos (x - 1) \geq 0

sin(θ)<0,sec(θ)>0

sin (θ) < 0, sec (θ) > 0

-pi/(12)sin^2(pi/(12)t)<0

- \frac{π}{12} sin^{2} (\frac{π}{12} t) < 0

12 cos (2 x) > 0