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sin(θ)<(sin(θ))/(cos(θ))

Solución

sin (θ) < \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Solución

2 πn < θ < \frac{π}{2} + 2 πn or π + 2 πn < θ < \frac{3 π}{2} + 2 πn

Notación de intervalos

(2 πn, \frac{π}{2} + 2 πn) \cup (π + 2 πn, \frac{3 π}{2} + 2 πn)

Notación decimal

2 πn < θ < 1.57079 \dots + 2 πn or 3.14159 \dots + 2 πn < θ < 4.71238 \dots + 2 πn

Pasos de solución

sin (θ) < \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Mover

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

al lado izquierdo

sin (θ) < \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Restar

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

de ambos lados

sin (θ) - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} < \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

sin (θ) - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} < 0

sin (θ) - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} < 0

Usar la siguiente identidad:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

sin (θ) - tan (θ) < 0

Periodicidad de

sin (θ) - tan (θ) : 2 π

La periodicidad combinada de la suma de funciones periódicas es el mínimo común múltiplo de los períodos

sin (θ), tan (θ)

Periodicidad de

sin (θ) : 2 π

La periodicidad de

: s in (x)

2 π

= 2 π

Periodicidad de

tan (θ) : π

La periodicidad de

: t an (x)

π

= π

Combinar períodos:

2 π, π

= 2 π

Expresar con seno, coseno

sin (θ) - tan (θ) < 0

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

sin (θ) - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} < 0

sin (θ) - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} < 0

Simplificar

sin (θ) - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{sin ( θ ) cos ( θ ) - sin ( θ )}{cos ( θ )}

sin (θ) - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Convertir a fracción:

sin (θ) = \frac{sin ( θ ) cos ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{sin ( θ ) cos ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( θ ) cos ( θ ) - sin ( θ )}{cos ( θ )}

\frac{sin ( θ ) cos ( θ ) - sin ( θ )}{cos ( θ )} < 0

Encontrar los ceros y puntos indefinidos de

\frac{sin ( θ ) cos ( θ ) - sin ( θ )}{cos ( θ )}

para

0 \leq θ < 2 π

Para encontrar los ceros, transformar la desigualdad a 0

\frac{sin ( θ ) cos ( θ ) - sin ( θ )}{cos ( θ )} = 0

\frac{sin ( θ ) cos ( θ ) - sin ( θ )}{cos ( θ )} = 0, 0 \leq θ < 2 π : θ = 0, θ = π

\frac{sin ( θ ) cos ( θ ) - sin ( θ )}{cos ( θ )} = 0, 0 \leq θ < 2 π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

sin (θ) cos (θ) - sin (θ) = 0

Factorizar

sin (θ) cos (θ) - sin (θ) : sin (θ) (cos (θ) - 1)

sin (θ) cos (θ) - sin (θ)

Factorizar el termino común

sin (θ)

= sin (θ) (cos (θ) - 1)

sin (θ) (cos (θ) - 1) = 0

Resolver cada parte por separado

sin (θ) = 0 or cos (θ) - 1 = 0

sin (θ) = 0, 0 \leq θ < 2 π : θ = 0, θ = π

sin (θ) = 0, 0 \leq θ < 2 π

Soluciones generales para

sin (θ) = 0

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

Resolver

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq θ < 2 π

θ = 0, θ = π

cos (θ) - 1 = 0, 0 \leq θ < 2 π : θ = 0

cos (θ) - 1 = 0, 0 \leq θ < 2 π

Mover

1

al lado derecho

cos (θ) - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

cos (θ) - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

cos (θ) = 1

cos (θ) = 1

Soluciones generales para

cos (θ) = 1

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = 0 + 2 πn

θ = 0 + 2 πn

Resolver

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq θ < 2 π

θ = 0

Combinar toda las soluciones

θ = 0, θ = π

Encontrar los puntos indefinidos:

θ = \frac{π}{2}, θ = \frac{3 π}{2}

Encontrar los ceros del denominador

cos (θ) = 0

Soluciones generales para

cos (θ) = 0

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq θ < 2 π

θ = \frac{π}{2}, θ = \frac{3 π}{2}

0, \frac{π}{2}, π, \frac{3 π}{2}

Identificar los intervalos

0 < θ < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < θ < π, π < θ < \frac{3 π}{2}, \frac{3 π}{2} < θ < 2 π

Resumir en una tabla:

sin (θ) cos (θ) - sin (θ) cos (θ) \frac{s i n ( θ ) c o s ( θ ) - s i n ( θ )}{c o s ( θ )} θ = 0 0 + 0 0 < θ < \frac{π}{2} - + - θ = \frac{π}{2} - 0 Sin definir \frac{π}{2} < θ < π - - + θ = π 0 - 0 π < θ < \frac{3 π}{2} + - - θ = \frac{3 π}{2} + 0 Sin definir \frac{3 π}{2} < θ < 2 π + + + θ = 2 π 0 + 0

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

< 0

0 < θ < \frac{π}{2} or π < θ < \frac{3 π}{2}

Utilizar la periodicidad de

sin (θ) - tan (θ)

2 πn < θ < \frac{π}{2} + 2 πn or π + 2 πn < θ < \frac{3 π}{2} + 2 πn

Ejemplos populares

sqrt(2)-2cos(a)>= 0

2 - 2 cos (a) \geq 0

sin(x)cos(x)>0

sin (x) cos (x) > 0

5sin^2(t)cos(t)>0

5 sin^{2} (t) cos (t) > 0

(2cos(2x)+1)(tan(x)-1)<= 0

(2 cos (2 x) + 1) (tan (x) - 1) \leq 0

cos(x)+sin(x)>0

cos (x) + sin (x) > 0