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(2cos(2x)+1)(tan(x)-1)<= 0

Solución

(2 cos (2 x) + 1) (tan (x) - 1) \leq 0

Solución

πn \leq x \leq \frac{π}{4} + πn or \frac{π}{3} + πn \leq x < \frac{π}{2} + πn or \frac{2 π}{3} + πn \leq x \leq π + πn

Notación de intervalos

[πn, \frac{π}{4} + πn] \cup [\frac{π}{3} + πn, \frac{π}{2} + πn) \cup [\frac{2 π}{3} + πn, π + πn]

Notación decimal

πn \leq x \leq 0.78539 \dots + πn or 1.04719 \dots + πn \leq x < 1.57079 \dots + πn or 2.09439 \dots + πn \leq x \leq 3.14159 \dots + πn

Pasos de solución

(2 cos (2 x) + 1) (tan (x) - 1) \leq 0

Usar la siguiente identidad:

cos (2 x) = - 1 + 2 cos^{2} (x)

(- 1 + tan (x)) (1 + 2 (- 1 + 2 cos^{2} (x))) \leq 0

Simplificar

(- 1 + tan (x)) (1 + 2 (- 1 + 2 cos^{2} (x))) : (- 1 + tan (x)) (4 cos^{2} (x) - 1)

(- 1 + tan (x)) (1 + 2 (- 1 + 2 cos^{2} (x)))

Expandir

1 + 2 (- 1 + 2 cos^{2} (x)) : 4 cos^{2} (x) - 1

1 + 2 (- 1 + 2 cos^{2} (x))

Expandir

2 (- 1 + 2 cos^{2} (x)) : - 2 + 4 cos^{2} (x)

2 (- 1 + 2 cos^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b + c) = ab + a c

a = 2, b = - 1, c = 2 cos^{2} (x)

= 2 (- 1) + 2 \cdot 2 cos^{2} (x)

Aplicar las reglas de los signos

+ (- a) = - a

= - 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 cos^{2} (x)

Simplificar

- 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 cos^{2} (x) : - 2 + 4 cos^{2} (x)

- 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 cos^{2} (x)

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= - 2 + 2 \cdot 2 cos^{2} (x)

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= - 2 + 4 cos^{2} (x)

= - 2 + 4 cos^{2} (x)

= 1 - 2 + 4 cos^{2} (x)

Restar:

1 - 2 = - 1

= 4 cos^{2} (x) - 1

= (tan (x) - 1) (4 cos^{2} (x) - 1)

= (- 1 + tan (x)) (4 cos^{2} (x) - 1)

(- 1 + tan (x)) (4 cos^{2} (x) - 1) \leq 0

Periodicidad de

(- 1 + tan (x)) (4 cos^{2} (x) - 1) : π

(- 1 + tan (x)) (4 cos^{2} (x) - 1)

esta compuesta de las siguientes funciones y periodos:

tan (x)

con periodicidad de

π

La periodicidad compuesta es:

= π

Expresar con seno, coseno

(- 1 + tan (x)) (4 cos^{2} (x) - 1) \leq 0

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

(- 1 + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}) (4 cos^{2} (x) - 1) \leq 0

(- 1 + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}) (4 cos^{2} (x) - 1) \leq 0

Simplificar

(- 1 + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}) (4 cos^{2} (x) - 1) : \frac{( - cos ( x ) + sin ( x ) ) ( 4 cos ^{2} ( x ) - 1 )}{cos ( x )}

(- 1 + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}) (4 cos^{2} (x) - 1)

Simplificar

- 1 + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

en una fracción:

\frac{- cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )}

- 1 + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Convertir a fracción:

1 = \frac{1 cos ( x )}{cos ( x )}

= - \frac{1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )}

Multiplicar:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= \frac{- cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x ) - cos ( x )}{cos ( x )} (4 cos^{2} (x) - 1)

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( - cos ( x ) + sin ( x ) ) ( 4 cos ^{2} ( x ) - 1 )}{cos ( x )}

\frac{( - cos ( x ) + sin ( x ) ) ( 4 cos ^{2} ( x ) - 1 )}{cos ( x )} \leq 0

Encontrar los ceros y puntos indefinidos de

\frac{( - cos ( x ) + sin ( x ) ) ( 4 cos ^{2} ( x ) - 1 )}{cos ( x )}

para

0 \leq x < π

Para encontrar los ceros, transformar la desigualdad a 0

\frac{( - cos ( x ) + sin ( x ) ) ( 4 cos ^{2} ( x ) - 1 )}{cos ( x )} = 0

\frac{( - cos ( x ) + sin ( x ) ) ( 4 cos ^{2} ( x ) - 1 )}{cos ( x )} = 0, 0 \leq x < π : x = \frac{π}{4}, x = \frac{π}{3}, x = \frac{2 π}{3}

\frac{( - cos ( x ) + sin ( x ) ) ( 4 cos ^{2} ( x ) - 1 )}{cos ( x )} = 0, 0 \leq x < π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

(- cos (x) + sin (x)) (4 cos^{2} (x) - 1) = 0

Resolver cada parte por separado

- cos (x) + sin (x) = 0 or 4 cos^{2} (x) - 1 = 0

- cos (x) + sin (x) = 0, 0 \leq x < π : x = \frac{π}{4}

- cos (x) + sin (x) = 0, 0 \leq x < π

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- cos (x) + sin (x) = 0

Dividir ambos lados entre

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{- cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Simplificar

- 1 + \frac{sin ( x )}{cos ( x )} = 0

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

- 1 + tan (x) = 0

- 1 + tan (x) = 0

Mover

1

al lado derecho

- 1 + tan (x) = 0

Sumar

1

a ambos lados

- 1 + tan (x) + 1 = 0 + 1

Simplificar

tan (x) = 1

tan (x) = 1

Soluciones generales para

tan (x) = 1

tan (x)

tabla de valores periódicos con

πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < π

x = \frac{π}{4}

4 cos^{2} (x) - 1 = 0, 0 \leq x < π : x = \frac{π}{3}, x = \frac{2 π}{3}

4 cos^{2} (x) - 1 = 0, 0 \leq x < π

Usando el método de sustitución

4 cos^{2} (x) - 1 = 0

Sea:

cos (x) = u

4 u^{2} - 1 = 0

4 u^{2} - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

4 u^{2} - 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

4 u^{2} - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

4 u^{2} - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

4 u^{2} = 1

4 u^{2} = 1

Dividir ambos lados entre

4

4 u^{2} = 1

Dividir ambos lados entre

4

\frac{4 u ^{2}}{4} = \frac{1}{4}

Simplificar

u^{2} = \frac{1}{4}

u^{2} = \frac{1}{4}

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1}{4}, u = - \frac{1}{4}

\frac{1}{4} = \frac{1}{2}

\frac{1}{4}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{4}

4 = 2

4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2

= \frac{1}{2}

Aplicar la regla

1 = 1

= \frac{1}{2}

- \frac{1}{4} = - \frac{1}{2}

- \frac{1}{4}

Simplificar

\frac{1}{4} : \frac{1}{2}

\frac{1}{4}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{4}

4 = 2

4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2

= \frac{1}{2}

= - \frac{1}{2}

Aplicar la regla

1 = 1

= - \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = \frac{1}{2}, cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x) = \frac{1}{2}, cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x) = \frac{1}{2}, 0 \leq x < π : x = \frac{π}{3}

cos (x) = \frac{1}{2}, 0 \leq x < π

Soluciones generales para

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < π

x = \frac{π}{3}

cos (x) = - \frac{1}{2}, 0 \leq x < π : x = \frac{2 π}{3}

cos (x) = - \frac{1}{2}, 0 \leq x < π

Soluciones generales para

cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < π

x = \frac{2 π}{3}

Combinar toda las soluciones

x = \frac{π}{3}, x = \frac{2 π}{3}

Combinar toda las soluciones

x = \frac{π}{4}, x = \frac{π}{3}, x = \frac{2 π}{3}

Encontrar los puntos indefinidos:

x = \frac{π}{2}

Encontrar los ceros del denominador

cos (x) = 0

Soluciones generales para

cos (x) = 0

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < π

x = \frac{π}{2}

\frac{π}{4}, \frac{π}{3}, \frac{π}{2}, \frac{2 π}{3}

Identificar los intervalos

0 < x < \frac{π}{4}, \frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}, \frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < x < \frac{2 π}{3}, \frac{2 π}{3} < x < π

Resumir en una tabla:

- cos (x) + sin (x) 4 cos^{2} (x) - 1 cos (x) \frac{( - c o s ( x ) + s i n ( x ) ) ( 4 c o s ^{2} ( x ) - 1 )}{c o s ( x )} x = 0 - + + - 0 < x < \frac{π}{4} - + + - x = \frac{π}{4} 0 + + 0 \frac{π}{4} < x < \frac{π}{3} + + + + x = \frac{π}{3} + 0 + 0 \frac{π}{3} < x < \frac{π}{2} + - + - x = \frac{π}{2} + - 0 Sin definir \frac{π}{2} < x < \frac{2 π}{3} + - - + x = \frac{2 π}{3} + 0 - 0 \frac{2 π}{3} < x < π + + - - x = π + + - -

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

\leq 0

x = 0 or 0 < x < \frac{π}{4} or x = \frac{π}{4} or x = \frac{π}{3} or \frac{π}{3} < x < \frac{π}{2} or x = \frac{2 π}{3} or \frac{2 π}{3} < x < π or x = π

Mezclar intervalos sobrepuestos

0 \leq x \leq \frac{π}{4} or \frac{π}{3} \leq x < \frac{π}{2} or \frac{2 π}{3} \leq x < π or x = π