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Popular Trigonometria >

(2cos(x)-sqrt(2))/(sin(2x))<= 0

Solução

\frac{2 cos ( x ) - 2}{sin ( 2 x )} \leq 0

Solução

\frac{π}{4} + 2 πn \leq x < \frac{π}{2} + 2 πn or π + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn or \frac{7 π}{4} + 2 πn \leq x < 2 π + 2 πn

Notação de intervalo

[\frac{π}{4} + 2 πn, \frac{π}{2} + 2 πn) \cup (π + 2 πn, \frac{3 π}{2} + 2 πn) \cup [\frac{7 π}{4} + 2 πn, 2 π + 2 πn)

Decimal

0.78539 \dots + 2 πn \leq x < 1.57079 \dots + 2 πn or 3.14159 \dots + 2 πn < x < 4.71238 \dots + 2 πn or 5.49778 \dots + 2 πn \leq x < 6.28318 \dots + 2 πn

Passos da solução

\frac{2 cos ( x ) - 2}{sin ( 2 x )} \leq 0

Usar a seguinte identidade:

sin (2 x) = 2 cos (x) sin (x)

\frac{- 2 + 2 cos ( x )}{2 cos ( x ) sin ( x )} \leq 0

Periodicidade de

\frac{- 2 + 2 cos ( x )}{2 cos ( x ) sin ( x )} : 2 π

\frac{- 2 + 2 cos ( x )}{2 cos ( x ) sin ( x )}

é composta pelas seguintes funções e períodos:

cos (x)

com periodicidade de

2 π

A periodicidade composta é:

= 2 π

Encontre os zeros e pontos indefinidos de

\frac{- 2 + 2 cos ( x )}{2 cos ( x ) sin ( x )}

para

0 \leq x < 2 π

Para encontrar os zeros, defina a desigualdade como zero

\frac{- 2 + 2 cos ( x )}{2 cos ( x ) sin ( x )} = 0

\frac{- 2 + 2 cos ( x )}{2 cos ( x ) sin ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π : x = \frac{π}{4}, x = \frac{7 π}{4}

\frac{- 2 + 2 cos ( x )}{2 cos ( x ) sin ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- 2 + 2 cos (x) = 0

Mova

2

para o lado direito

- 2 + 2 cos (x) = 0

Adicionar

2

a ambos os lados

- 2 + 2 cos (x) + 2 = 0 + 2

Simplificar

2 cos (x) = 2

2 cos (x) = 2

Dividir ambos os lados por

2

2 cos (x) = 2

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 cos ( x )}{2} = \frac{2}{2}

Simplificar

cos (x) = \frac{2}{2}

cos (x) = \frac{2}{2}

Soluções gerais para

cos (x) = \frac{2}{2}

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Soluções para o intervalo

0 \leq x < 2 π

x = \frac{π}{4}, x = \frac{7 π}{4}

Encontre os pontos indefinidos:

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}, x = 0, x = π

Encontre os zeros do denominador

2 cos (x) sin (x) = 0

Resolver cada parte separadamente

cos (x) = 0 or sin (x) = 0

cos (x) = 0, 0 \leq x < 2 π : x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

cos (x) = 0, 0 \leq x < 2 π

Soluções gerais para

cos (x) = 0

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Soluções para o intervalo

0 \leq x < 2 π

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

sin (x) = 0, 0 \leq x < 2 π : x = 0, x = π

sin (x) = 0, 0 \leq x < 2 π

Soluções gerais para

sin (x) = 0

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Resolver

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Soluções para o intervalo

0 \leq x < 2 π

x = 0, x = π

Combinar toda as soluções

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}, x = 0, x = π

0, \frac{π}{4}, \frac{π}{2}, π, \frac{3 π}{2}, \frac{7 π}{4}

Identifique os intervalos

0 < x < \frac{π}{4}, \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < x < π, π < x < \frac{3 π}{2}, \frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{4}, \frac{7 π}{4} < x < 2 π

Resumir em uma tabela:

- 2 + 2 cos (x) cos (x) sin (x) \frac{- 2 + 2 c o s ( x )}{2 c o s ( x ) s i n ( x )} x = 0 + + 0 Indefinido 0 < x < \frac{π}{4} + + + + x = \frac{π}{4} 0 + + 0 \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2} - + + - x = \frac{π}{2} - 0 + Indefinido \frac{π}{2} < x < π - - + + x = π - - 0 Indefinido π < x < \frac{3 π}{2} - - - - x = \frac{3 π}{2} - 0 - Indefinido \frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{4} - + - + x = \frac{7 π}{4} 0 + - 0 \frac{7 π}{4} < x < 2 π + + - - x = 2 π + + 0 Indefinido

Identifique os intervalos que satisfaçam à condição necessária:

\leq 0

x = \frac{π}{4} or \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2} or π < x < \frac{3 π}{2} or x = \frac{7 π}{4} or \frac{7 π}{4} < x < 2 π

Junte intervalos que se sobrepoem

\frac{π}{4} \leq x < \frac{π}{2} or π < x < \frac{3 π}{2} or x = \frac{7 π}{4} or \frac{7 π}{4} < x < 2 π

A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos

x = \frac{π}{4}

\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}

\frac{π}{4} \leq x < \frac{π}{2}

A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos

\frac{π}{4} \leq x < \frac{π}{2}

π < x < \frac{3 π}{2}

\frac{π}{4} \leq x < \frac{π}{2} or π < x < \frac{3 π}{2}

A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos

\frac{π}{4} \leq x < \frac{π}{2} or π < x < \frac{3 π}{2}

x = \frac{7 π}{4}

\frac{π}{4} \leq x < \frac{π}{2} or π < x < \frac{3 π}{2} or x = \frac{7 π}{4}

A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos

\frac{π}{4} \leq x < \frac{π}{2} or π < x < \frac{3 π}{2} or x = \frac{7 π}{4}

\frac{7 π}{4} < x < 2 π

\frac{π}{4} \leq x < \frac{π}{2} or π < x < \frac{3 π}{2} or \frac{7 π}{4} \leq x < 2 π

\frac{π}{4} \leq x < \frac{π}{2} or π < x < \frac{3 π}{2} or \frac{7 π}{4} \leq x < 2 π

Utilizar a periodicidade de

\frac{- 2 + 2 cos ( x )}{2 cos ( x ) sin ( x )}

\frac{π}{4} + 2 πn \leq x < \frac{π}{2} + 2 πn or π + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn or \frac{7 π}{4} + 2 πn \leq x < 2 π + 2 πn

Exemplos populares

((4*cos^2(x)-3))/((sin(x)+cos(x)+5))<0

\frac{( 4 \cdot cos ^{2} ( x ) - 3 )}{( sin ( x ) + cos ( x ) + 5 )} < 0

1/2 <= sin(x),cos(x)<= (sqrt(2))/2

\frac{1}{2} \leq sin (x), cos (x) \leq \frac{2}{2}

sin(θ)<= pi/6

sin (θ) \leq \frac{π}{6}

tan(x)>= sin(x)

tan (x) \geq sin (x)

1<= tan(x)

1 \leq tan (x)