Решения
Калькулятор Интегралов (Первообразной Функции)Калькулятор ПроизводныхАлгебраический КалькуляторКалькулятор МатрицДополнительные инструменты...
Графика
Линейный графикЭкспоненциальный графикКвадратичный графикГрафик синусаДополнительные инструменты...
Калькуляторы
Калькулятор ИМТКалькулятор сложных процентовКалькулятор процентовКалькулятор ускоренияДополнительные инструменты...
Геометрия
Калькулятор теоремы ПифагораКалькулятор Площади ОкружностиКалькулятор равнобедренного треугольникаКалькулятор треугольниковДополнительные инструменты...
AI Chat
Инструменты
БлокнотыГруппыШпаргалкиРабочие листыУпражнятьсяПодтвердить
ru
English
Español
Português
Français
Deutsch
Italiano
Русский
中文(简体)
한국어
日本語
Tiếng Việt
עברית
العربية
Популярное Тригонометрия >

5-8cos(x)+4cos(2x)<0

  • Пре Алгебра
  • Алгебра
  • Пре Исчисление
  • Исчисление
  • Функции
  • Линейная алгебра
  • Тригонометрия
  • Статистика
  • Химия
  • Экономика
  • Преобразования

Решение

5−8cos(x)+4cos(2x)<0

Решение

arccos(42​+2​)+2πn<x<arccos(4−2​+2​)+2πnor−arccos(4−2​+2​)+2π+2πn<x<2π−arccos(42​+2​)+2πn
+2
Обозначение интервала
(arccos(42​+2​)+2πn,arccos(4−2​+2​)+2πn)∪(−arccos(4−2​+2​)+2π+2πn,2π−arccos(42​+2​)+2πn)
десятичными цифрами
0.54802…+2πn<x<1.42382…+2πnor4.85936…+2πn<x<5.73515…+2πn
Шаги решения
5−8cos(x)+4cos(2x)<0
Используйте следующую тождественность: cos(2x)=−1+2cos2(x)5+4(−1+2cos2(x))−8cos(x)<0
Упростить 5+4(−1+2cos2(x))−8cos(x):8cos2(x)−8cos(x)+1
5+4(−1+2cos2(x))−8cos(x)
Расширить 4(−1+2cos2(x)):−4+8cos2(x)
4(−1+2cos2(x))
Примените распределительный закон: a(b+c)=ab+aca=4,b=−1,c=2cos2(x)=4(−1)+4⋅2cos2(x)
Применение правил минус-плюс+(−a)=−a=−4⋅1+4⋅2cos2(x)
Упростить −4⋅1+4⋅2cos2(x):−4+8cos2(x)
−4⋅1+4⋅2cos2(x)
Перемножьте числа: 4⋅1=4=−4+4⋅2cos2(x)
Перемножьте числа: 4⋅2=8=−4+8cos2(x)
=−4+8cos2(x)
=5−4+8cos2(x)−8cos(x)
Вычтите числа: 5−4=1=8cos2(x)−8cos(x)+1
8cos2(x)−8cos(x)+1<0
Допустим: u=cos(x)8u2−8u+1<0
8u2−8u+1<0:−42​​+21​<u<42​​+21​
8u2−8u+1<0
Заполните квадрат 8u2−8u+1:8(u−21​)2−1
8u2−8u+1
Запишите 8u2−8u+1в виде: x2+2ax+a2Вынести за скобки 88(u2−u+81​)
2a=−1:a=−21​
2a=−1
Разделите обе стороны на 2
2a=−1
Разделите обе стороны на 222a​=2−1​
После упрощения получаемa=−21​
a=−21​
Добавьте и вычтите (−21​)28(u2−u+81​+(−21​)2−(−21​)2)
x2+2ax+a2=(x+a)2u2−1u+(−21​)2=(u−21​)28((u−21​)2+81​−(−21​)2)
После упрощения получаем8(u−21​)2−1
8(u−21​)2−1<0
Переместите 1вправо
8(u−21​)2−1<0
Добавьте 1 к обеим сторонам8(u−21​)2−1+1<0+1
После упрощения получаем8(u−21​)2<1
8(u−21​)2<1
Разделите обе стороны на 8
8(u−21​)2<1
Разделите обе стороны на 888(u−21​)2​<81​
После упрощения получаем(u−21​)2<81​
(u−21​)2<81​
Для un<a, если nчетно, то −na​<u<na​
−81​​<u−21​<81​​
Если a<u<b,то a<uandu<b−81​​<u−21​andu−21​<81​​
−81​​<u−21​:u>−42​​+21​
−81​​<u−21​
Поменяйте стороныu−21​>−81​​
Упростите −81​​:−22​1​
−81​​
Упростить 81​​:22​1​​
81​​
Применить радикальное правило: nba​​=nb​na​​,, предположив a≥0,b≥0=8​1​​
8​=22​
8​
Первичное разложение на множители8:23
8
8делится на 28=4⋅2=2⋅4
4делится на 24=2⋅2=2⋅2⋅2
2 является простым числом, поэтому дальнейшее разложение на множители невозможно=2⋅2⋅2
=23
=23​
Примените правило возведения в степень: ab+c=ab⋅ac=22⋅2​
Примените правило радикалов: nab​=na​nb​=2​22​
Примените правило радикалов: nan​=a22​=2=22​
=22​1​​
=−22​1​​
Примените правило 1​=1=−22​1​
u−21​>−22​1​
Переместите 21​вправо
u−21​>−22​1​
Добавьте 21​ к обеим сторонамu−21​+21​>−22​1​+21​
После упрощения получаем
u−21​+21​>−22​1​+21​
Упростите u−21​+21​:u
u−21​+21​
Добавьте похожие элементы: −21​+21​>0
=u
Упростите −22​1​+21​:−42​​+21​
−22​1​+21​
22​1​=42​​
22​1​
Умножить на сопряженное 2​2​​=22​2​1⋅2​​
1⋅2​=2​
22​2​=4
22​2​
Примените правило возведения в степень: ab⋅ac=ab+c22​2​=2⋅221​⋅221​=21+21​+21​=21+21​+21​
Добавьте похожие элементы: 21​+21​=2⋅21​=21+2⋅21​
2⋅21​=1
2⋅21​
Умножьте дроби: a⋅cb​=ca⋅b​=21⋅2​
Отмените общий множитель: 2=1
=21+1
Добавьте числа: 1+1=2=22
22=4=4
=42​​
=−42​​+21​
u>−42​​+21​
u>−42​​+21​
u>−42​​+21​
u−21​<81​​:u<42​​+21​
u−21​<81​​
Упростите 81​​:22​1​
81​​
Применить радикальное правило: nba​​=nb​na​​,, предположив a≥0,b≥0=8​1​​
8​=22​
8​
Первичное разложение на множители8:23
8
8делится на 28=4⋅2=2⋅4
4делится на 24=2⋅2=2⋅2⋅2
2 является простым числом, поэтому дальнейшее разложение на множители невозможно=2⋅2⋅2
=23
=23​
Примените правило возведения в степень: ab+c=ab⋅ac=22⋅2​
Примените правило радикалов: nab​=na​nb​=2​22​
Примените правило радикалов: nan​=a22​=2=22​
=22​1​​
Примените правило 1​=1=22​1​
u−21​<22​1​
Переместите 21​вправо
u−21​<22​1​
Добавьте 21​ к обеим сторонамu−21​+21​<22​1​+21​
После упрощения получаем
u−21​+21​<22​1​+21​
Упростите u−21​+21​:u
u−21​+21​
Добавьте похожие элементы: −21​+21​<0
=u
Упростите 22​1​+21​:42​​+21​
22​1​+21​
22​1​=42​​
22​1​
Умножить на сопряженное 2​2​​=22​2​1⋅2​​
1⋅2​=2​
22​2​=4
22​2​
Примените правило возведения в степень: ab⋅ac=ab+c22​2​=2⋅221​⋅221​=21+21​+21​=21+21​+21​
Добавьте похожие элементы: 21​+21​=2⋅21​=21+2⋅21​
2⋅21​=1
2⋅21​
Умножьте дроби: a⋅cb​=ca⋅b​=21⋅2​
Отмените общий множитель: 2=1
=21+1
Добавьте числа: 1+1=2=22
22=4=4
=42​​
=42​​+21​
u<42​​+21​
u<42​​+21​
u<42​​+21​
Объедините интервалыu>−42​​+21​andu<42​​+21​
Объединить Перекрывающиеся Интервалы
u>−42​​+21​andu<42​​+21​
Пересечение двух интервалов - это набор чисел, которые находятся в обоих интервалах
u>−42​​+21​иu<42​​+21​
−42​​+21​<u<42​​+21​
−42​​+21​<u<42​​+21​
−42​​+21​<u<42​​+21​
Делаем обратную замену u=cos(x)−42​​+21​<cos(x)<42​​+21​
Если a<u<b,то a<uandu<b−42​​+21​<cos(x)andcos(x)<42​​+21​
−42​​+21​<cos(x):−arccos(4−2​+2​)+2πn<x<arccos(4−2​+2​)+2πn
−42​​+21​<cos(x)
Поменяйте стороныcos(x)>−42​​+21​
Для cos(x)>a, если −1≤a<1, то−arccos(a)+2πn<x<arccos(a)+2πn−arccos(−42​​+21​)+2πn<x<arccos(−42​​+21​)+2πn
Упростите −arccos(−42​​+21​):−arccos(4−2​+2​)
−arccos(−42​​+21​)
Присоединить −42​​+21​к одной дроби:22​−1+2​​
−42​​+21​
Наименьший Общий Множитель 4,2:4
4,2
Наименьший Общий Множитель (НОМ)
Первичное разложение на множители4:2⋅2
4
4делится на 24=2⋅2=2⋅2
Первичное разложение на множители2:2
2
2 является простым числом, поэтому разложение на множители невозможно=2
Умножьте каждый фактор наибольшее количество раз, которое он встречается в 4 или 2=2⋅2
Перемножьте числа: 2⋅2=4=4
Отрегулируйте дроби на основе Наименьшего Общего Кратного (НОК)
Умножьте каждый числитель на такое же число, необходимое для умножения его
соответствующего знаменателя, чтобы превратить его в НОК 4
Для 21​:умножить знаменатель и числитель на 221​=2⋅21⋅2​=42​
=−42​​+42​
Так как знаменатели равны, сложите дроби: ca​±cb​=ca±b​=4−2​+2​
коэффициент −2​+2:2​(−1+2​)
−2​+2
2=2​2​=−2​+2​2​
Убрать общее значение 2​=2​(−1+2​)
=42​(−1+2​)​
коэффициент 4:22
Найдите множитель 4=22
=222​(2​−1)​
Упраздните 222​(−1+2​)​:223​−1+2​​
222​(−1+2​)​
Примените правило радикалов: na​=an1​2​=221​=22221​(2​−1)​
Примените правило возведения в степень: xbxa​=xb−a1​22221​​=22−21​1​=22−21​−1+2​​
Вычтите числа: 2−21​=23​=223​−1+2​​
=223​−1+2​​
223​=22​
223​
223​=21+21​=21+21​
Примените правило возведения в степень: xa+b=xaxb=21⋅221​
Уточнить=22​
=22​−1+2​​
=−arccos(22​2​−1​)
=−arccos(42−2​​)
Упростите arccos(−42​​+21​):arccos(4−2​+2​)
arccos(−42​​+21​)
Присоединить −42​​+21​к одной дроби:22​−1+2​​
−42​​+21​
Наименьший Общий Множитель 4,2:4
4,2
Наименьший Общий Множитель (НОМ)
Первичное разложение на множители4:2⋅2
4
4делится на 24=2⋅2=2⋅2
Первичное разложение на множители2:2
2
2 является простым числом, поэтому разложение на множители невозможно=2
Умножьте каждый фактор наибольшее количество раз, которое он встречается в 4 или 2=2⋅2
Перемножьте числа: 2⋅2=4=4
Отрегулируйте дроби на основе Наименьшего Общего Кратного (НОК)
Умножьте каждый числитель на такое же число, необходимое для умножения его
соответствующего знаменателя, чтобы превратить его в НОК 4
Для 21​:умножить знаменатель и числитель на 221​=2⋅21⋅2​=42​
=−42​​+42​
Так как знаменатели равны, сложите дроби: ca​±cb​=ca±b​=4−2​+2​
коэффициент −2​+2:2​(−1+2​)
−2​+2
2=2​2​=−2​+2​2​
Убрать общее значение 2​=2​(−1+2​)
=42​(−1+2​)​
коэффициент 4:22
Найдите множитель 4=22
=222​(2​−1)​
Упраздните 222​(−1+2​)​:223​−1+2​​
222​(−1+2​)​
Примените правило радикалов: na​=an1​2​=221​=22221​(2​−1)​
Примените правило возведения в степень: xbxa​=xb−a1​22221​​=22−21​1​=22−21​−1+2​​
Вычтите числа: 2−21​=23​=223​−1+2​​
=223​−1+2​​
223​=22​
223​
223​=21+21​=21+21​
Примените правило возведения в степень: xa+b=xaxb=21⋅221​
Уточнить=22​
=22​−1+2​​
=arccos(22​−1+2​​)
=arccos(4−2​+2​)
−arccos(4−2​+2​)+2πn<x<arccos(4−2​+2​)+2πn
cos(x)<42​​+21​:arccos(42​+2​)+2πn<x<2π−arccos(42​+2​)+2πn
cos(x)<42​​+21​
Для cos(x)<a, если −1<a≤1, тоarccos(a)+2πn<x<2π−arccos(a)+2πnarccos(42​​+21​)+2πn<x<2π−arccos(42​​+21​)+2πn
Упростите arccos(42​​+21​):arccos(42​+2​)
arccos(42​​+21​)
Присоединить 42​​+21​к одной дроби:22​1+2​​
42​​+21​
Наименьший Общий Множитель 4,2:4
4,2
Наименьший Общий Множитель (НОМ)
Первичное разложение на множители4:2⋅2
4
4делится на 24=2⋅2=2⋅2
Первичное разложение на множители2:2
2
2 является простым числом, поэтому разложение на множители невозможно=2
Умножьте каждый фактор наибольшее количество раз, которое он встречается в 4 или 2=2⋅2
Перемножьте числа: 2⋅2=4=4
Отрегулируйте дроби на основе Наименьшего Общего Кратного (НОК)
Умножьте каждый числитель на такое же число, необходимое для умножения его
соответствующего знаменателя, чтобы превратить его в НОК 4
Для 21​:умножить знаменатель и числитель на 221​=2⋅21⋅2​=42​
=42​​+42​
Так как знаменатели равны, сложите дроби: ca​±cb​=ca±b​=42​+2​
коэффициент 2​+2:2​(1+2​)
2​+2
2=2​2​=2​+2​2​
Убрать общее значение 2​=2​(1+2​)
=42​(1+2​)​
коэффициент 4:22
Найдите множитель 4=22
=222​(1+2​)​
Упраздните 222​(1+2​)​:223​1+2​​
222​(1+2​)​
Примените правило радикалов: na​=an1​2​=221​=22221​(1+2​)​
Примените правило возведения в степень: xbxa​=xb−a1​22221​​=22−21​1​=22−21​1+2​​
Вычтите числа: 2−21​=23​=223​1+2​​
=223​1+2​​
223​=22​
223​
223​=21+21​=21+21​
Примените правило возведения в степень: xa+b=xaxb=21⋅221​
Уточнить=22​
=22​1+2​​
=arccos(22​1+2​​)
=arccos(42​+2​)
Упростите 2π−arccos(42​​+21​):2π−arccos(42​+2​)
2π−arccos(42​​+21​)
Присоединить 42​​+21​к одной дроби:42​+2​
42​​+21​
Наименьший Общий Множитель 4,2:4
4,2
Наименьший Общий Множитель (НОМ)
Первичное разложение на множители4:2⋅2
4
4делится на 24=2⋅2=2⋅2
Первичное разложение на множители2:2
2
2 является простым числом, поэтому разложение на множители невозможно=2
Умножьте каждый фактор наибольшее количество раз, которое он встречается в 4 или 2=2⋅2
Перемножьте числа: 2⋅2=4=4
Отрегулируйте дроби на основе Наименьшего Общего Кратного (НОК)
Умножьте каждый числитель на такое же число, необходимое для умножения его
соответствующего знаменателя, чтобы превратить его в НОК 4
Для 21​:умножить знаменатель и числитель на 221​=2⋅21⋅2​=42​
=42​​+42​
Так как знаменатели равны, сложите дроби: ca​±cb​=ca±b​=42​+2​
=2π−arccos(42+2​​)
arccos(42​+2​)+2πn<x<2π−arccos(42​+2​)+2πn
Объедините интервалы−arccos(4−2​+2​)+2πn<x<arccos(4−2​+2​)+2πnandarccos(42​+2​)+2πn<x<2π−arccos(42​+2​)+2πn
Объединить Перекрывающиеся Интервалыarccos(42​+2​)+2πn<x<arccos(4−2​+2​)+2πnor−arccos(4−2​+2​)+2π+2πn<x<2π−arccos(42​+2​)+2πn

Популярные примеры

sin(a)<0sin(a)<0sin^{(2)}(x)<= ((1))/((2))sin(2)(x)≤(2)(1)​cos^2(x)-1/4 <= 0cos2(x)−41​≤0-sin(θ)+cos(θ)-sqrt(10)<0−sin(θ)+cos(θ)−10​<0cos(x)+sqrt(3)sin(x)>= sqrt(2)cos(x)+3​sin(x)≥2​
Инструменты для обученияИИ Решатель ЗадачAI ChatРабочие листыУпражнятьсяШпаргалкиКалькуляторыГрафический калькуляторКалькулятор по ГеометрииПроверить решение
ПриложенияПриложение Symbolab (Android)Графический калькулятор (Android)Упражняться (Android)Приложение Symbolab (iOS)Графический калькулятор (iOS)Упражняться (iOS)Расширение для Chrome
КомпанияО SymbolabБлогПомощь
ЮридическийКонфиденциальностьService TermsПолитика использованияНастройки файлов cookieНе продавать и не передавать мои личные данныеАвторское право, Правила сообщества, Структуры данных и алгоритмы (DSA) & другие Юридические ресурсыЮридический центр Learneo
Соцсети
Symbolab, a Learneo, Inc. business
© Learneo, Inc. 2024