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Popular Trigonometría >

sec^2(x)<= tan^2(x)+sec(x)

Solución

sec^{2} (x) \leq tan^{2} (x) + sec (x)

Solución

2 πn \leq x < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn < x \leq 2 π + 2 πn

Notación de intervalos

[2 πn, \frac{π}{2} + 2 πn) \cup (\frac{3 π}{2} + 2 πn, 2 π + 2 πn]

Decimal

2 πn \leq x < 1.57079 \dots + 2 πn or 4.71238 \dots + 2 πn < x \leq 6.28318 \dots + 2 πn

Pasos de solución

sec^{2} (x) \leq tan^{2} (x) + sec (x)

Restar

tan^{2} (x) + sec (x)

de ambos lados

sec^{2} (x) - (tan^{2} (x) + sec (x)) \leq tan^{2} (x) + sec (x) - (tan^{2} (x) + sec (x))

sec^{2} (x) - (tan^{2} (x) + sec (x)) \leq 0

Periodicidad de

sec^{2} (x) - (tan^{2} (x) + sec (x)) : 2 π

La periodicidad combinada de la suma de funciones periódicas es el mínimo común múltiplo de los períodos

sec^{2} (x), (tan^{2} (x) + sec (x))

Periodicidad de

sec^{2} (x) : π

Periodicidad de

sec^{n} (x) = \frac{Periodicidad de sec ( x )}{2},

si n es par

Periodicidad de

sec (x) : 2 π

La periodicidad de

sec (x)

2 π

= 2 π

\frac{2 π}{2}

Simplificar

π

Periodicidad de

(tan^{2} (x) + sec (x)) : 2 π

(tan^{2} (x) + sec (x))

esta compuesta de las siguientes funciones y periodos:

sec (x)

con periodicidad de

2 π

La periodicidad compuesta es:

2 π

Combinar períodos:

π, 2 π

= 2 π

Expresar con seno, coseno

sec^{2} (x) - (tan^{2} (x) + sec (x)) \leq 0

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} - (tan^{2} (x) + \frac{1}{cos ( x )}) \leq 0

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} - ((\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} + \frac{1}{cos ( x )}) \leq 0

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} - ((\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} + \frac{1}{cos ( x )}) \leq 0

Simplificar

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} - ((\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} + \frac{1}{cos ( x )}) : \frac{1 - sin ^{2} ( x ) - cos ( x )}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} - ((\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} + \frac{1}{cos ( x )})

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

- ((\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} + \frac{1}{cos ( x )}) = - \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ( x )}{cos ^{2} ( x )}

- ((\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} + \frac{1}{cos ( x )})

Aplicar las leyes de los exponentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= - (\frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + \frac{1}{cos ( x )})

Simplificar

\frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + \frac{1}{cos ( x )}

en una fracción:

\frac{sin ^{2} ( x ) + cos ( x )}{cos ^{2} ( x )}

\frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + \frac{1}{cos ( x )}

Mínimo común múltiplo de

cos^{2} (x), cos (x) : cos^{2} (x)

cos^{2} (x), cos (x)

Mínimo común múltiplo (MCM)

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan tanto en

cos^{2} (x)

cos (x)

= cos^{2} (x)

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{1}{cos ( x )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

cos (x)

\frac{1}{cos ( x )} = \frac{1 \cdot cos ( x )}{cos ( x ) cos ( x )} = \frac{cos ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + \frac{cos ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= - \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )} - \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - ( sin ^{2} ( x ) + cos ( x ) )}{cos ^{2} ( x )}

- (sin^{2} (x) + cos (x)) : - sin^{2} (x) - cos (x)

- (sin^{2} (x) + cos (x))

Poner los parentesis

= - (sin^{2} (x)) - (cos (x))

Aplicar las reglas de los signos

+ (- a) = - a

= - sin^{2} (x) - cos (x)

= \frac{1 - sin ^{2} ( x ) - cos ( x )}{cos ^{2} ( x )}

\frac{1 - sin ^{2} ( x ) - cos ( x )}{cos ^{2} ( x )} \leq 0

Encontrar los ceros y puntos indefinidos de

\frac{1 - sin ^{2} ( x ) - cos ( x )}{cos ^{2} ( x )}

para

0 \leq x < 2 π

Para encontrar los ceros, transformar la desigualdad a 0

\frac{1 - sin ^{2} ( x ) - cos ( x )}{cos ^{2} ( x )} = 0

\frac{1 - sin ^{2} ( x ) - cos ( x )}{cos ^{2} ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π : x = 0

\frac{1 - sin ^{2} ( x ) - cos ( x )}{cos ^{2} ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

1 - sin^{2} (x) - cos (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

1 - cos (x) - sin^{2} (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= - cos (x) + cos^{2} (x)

- cos (x) + cos^{2} (x) = 0

Usando el método de sustitución

- cos (x) + cos^{2} (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

- u + u^{2} = 0

- u + u^{2} = 0 : u = 1, u = 0

- u + u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} - u = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

u^{2} - u = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 1, b = - 1, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0}{2 \cdot 1}

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0 = 1

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 1 \cdot 0 = 0

4 \cdot 1 \cdot 0

Aplicar la regla

0 \cdot a = 0

= 0

= 1 - 0

Restar:

1 - 0 = 1

= 1

Aplicar la regla

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 1}{2 \cdot 1}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 1}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 1}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 1 ) + 1}{2 \cdot 1} : 1

\frac{- ( - 1 ) + 1}{2 \cdot 1}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{1 + 1}{2 \cdot 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2}{2}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 1 ) - 1}{2 \cdot 1} : 0

\frac{- ( - 1 ) - 1}{2 \cdot 1}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{1 - 1}{2 \cdot 1}

Restar:

1 - 1 = 0

= \frac{0}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{0}{2}

Aplicar la regla

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = 1, u = 0

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = 1, cos (x) = 0

cos (x) = 1, cos (x) = 0

cos (x) = 1, 0 \leq x < 2 π : x = 0

cos (x) = 1, 0 \leq x < 2 π

Soluciones generales para

cos (x) = 1

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Resolver

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < 2 π

x = 0

cos (x) = 0, 0 \leq x < 2 π : x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

cos (x) = 0, 0 \leq x < 2 π

Soluciones generales para

cos (x) = 0

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < 2 π

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

Combinar toda las soluciones

x = 0, x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

Siendo que la ecuación esta indefinida para:

\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}

x = 0

Encontrar los puntos indefinidos:

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

Encontrar los ceros del denominador

cos^{2} (x) = 0

Aplicar la regla

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

cos (x) = 0

Soluciones generales para

cos (x) = 0

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < 2 π

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

0, \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}

Identificar los intervalos

0 < x < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}, \frac{3 π}{2} < x < 2 π

Resumir en una tabla:

1 - sin^{2} (x) - cos (x) cos^{2} (x) \frac{1 - s i n ^{2} ( x ) - c o s ( x )}{c o s ^{2} ( x )} x = 0 0 + 0 0 < x < \frac{π}{2} - + - x = \frac{π}{2} 00 Sin definir \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2} + + + x = \frac{3 π}{2} 00 Sin definir \frac{3 π}{2} < x < 2 π - + - x = 2 π 0 + 0

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

\leq 0

x = 0 or 0 < x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{2} < x < 2 π or x = 2 π

Mezclar intervalos sobrepuestos

0 \leq x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{2} < x < 2 π or x = 2 π

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

x = 0

0 < x < \frac{π}{2}

0 \leq x < \frac{π}{2}

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

0 \leq x < \frac{π}{2}

\frac{3 π}{2} < x < 2 π

0 \leq x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{2} < x < 2 π

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

0 \leq x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{2} < x < 2 π

x = 2 π

0 \leq x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{2} < x \leq 2 π

0 \leq x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{2} < x \leq 2 π

Utilizar la periodicidad de

sec^{2} (x) - (tan^{2} (x) + sec (x))

2 πn \leq x < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn < x \leq 2 π + 2 πn

Ejemplos populares

sin(x)-sqrt(3)cos(x)<= 0

sin (x) - 3 cos (x) \leq 0

(4cos^2(x)-3)/(sin(x)+cos(x)+5)<0

\frac{4 cos ^{2} ( x ) - 3}{sin ( x ) + cos ( x ) + 5} < 0

cos(t)>= 0

cos (t) \geq 0

-1+tan(x)<= 1

- 1 + tan (x) \leq 1

cos(x)(2sin(x)-1)<= 0,-pi<x<= pi

cos (x) (2 sin (x) - 1) \leq 0, - π < x \leq π