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(4cos^2(x)-3)/(sin(x)+cos(x)+5)<0

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Solution

sin(x)+cos(x)+54cos2(x)−3​<0

Solution

6π​+2πn<x<65π​+2πnor67π​+2πn<x<611π​+2πn
+2
La notation des intervalles
(6π​+2πn,65π​+2πn)∪(67π​+2πn,611π​+2πn)
Décimale
0.52359…+2πn<x<2.61799…+2πnor3.66519…+2πn<x<5.75958…+2πn
étapes des solutions
sin(x)+cos(x)+54cos2(x)−3​<0
Utiliser les identités suivantes: cos2(x)+sin2(x)=1Par conséquent cos2(x)=1−sin2(x)sin(x)+cos(x)+54(1−sin2(x))−3​<0
Simplifier sin(x)+cos(x)+54(1−sin2(x))−3​:sin(x)+cos(x)+5−4sin2(x)+1​
sin(x)+cos(x)+54(1−sin2(x))−3​
Développer 4(1−sin2(x))−3:−4sin2(x)+1
4(1−sin2(x))−3
Développer 4(1−sin2(x)):4−4sin2(x)
4(1−sin2(x))
Appliquer la loi de la distribution: a(b−c)=ab−aca=4,b=1,c=sin2(x)=4⋅1−4sin2(x)
Multiplier les nombres : 4⋅1=4=4−4sin2(x)
=4−4sin2(x)−3
Simplifier 4−4sin2(x)−3:−4sin2(x)+1
4−4sin2(x)−3
Grouper comme termes=−4sin2(x)+4−3
Additionner/Soustraire les nombres : 4−3=1=−4sin2(x)+1
=−4sin2(x)+1
=sin(x)+cos(x)+5−4sin2(x)+1​
sin(x)+cos(x)+5−4sin2(x)+1​<0
Périodicité de sin(x)+cos(x)+5−4sin2(x)+1​:2π
sin(x)+cos(x)+5−4sin2(x)+1​iest composée des fonctions et des périodes suivantes :sin(x)avec une périodicité de 2π
Le composant de périodicité est :=2π
Trouver les points zéros et les points non définis de sin(x)+cos(x)+5−4sin2(x)+1​pour 0≤x<2π
Pour trouver les points zéros, définir l'inégalité à zérosin(x)+cos(x)+5−4sin2(x)+1​=0
sin(x)+cos(x)+5−4sin2(x)+1​=0,0≤x<2π:x=6π​,x=65π​,x=67π​,x=611π​
sin(x)+cos(x)+5−4sin2(x)+1​=0,0≤x<2π
g(x)f(x)​=0⇒f(x)=0−4sin2(x)+1=0
Résoudre par substitution
−4sin2(x)+1=0
Soit : sin(x)=u−4u2+1=0
−4u2+1=0:u=21​,u=−21​
−4u2+1=0
Déplacer 1vers la droite
−4u2+1=0
Soustraire 1 des deux côtés−4u2+1−1=0−1
Simplifier−4u2=−1
−4u2=−1
Diviser les deux côtés par −4
−4u2=−1
Diviser les deux côtés par −4−4−4u2​=−4−1​
Simplifieru2=41​
u2=41​
Pour x2=f(a) les solutions sont x=f(a)​,−f(a)​
u=41​​,u=−41​​
41​​=21​
41​​
Appliquer la règle des radicaux : nba​​=nb​na​​, en supposant a≥0,b≥0=4​1​​
4​=2
4​
Factoriser le nombre : 4=22=22​
Appliquer la règle des radicaux: nan​=a22​=2=2
=21​​
Appliquer la règle 1​=1=21​
−41​​=−21​
−41​​
Simplifier 41​​:21​​
41​​
Appliquer la règle des radicaux : nba​​=nb​na​​, en supposant a≥0,b≥0=4​1​​
4​=2
4​
Factoriser le nombre : 4=22=22​
Appliquer la règle des radicaux: nan​=a22​=2=2
=21​​
=−21​​
Appliquer la règle 1​=1=−21​
u=21​,u=−21​
Remplacer u=sin(x)sin(x)=21​,sin(x)=−21​
sin(x)=21​,sin(x)=−21​
sin(x)=21​,0≤x<2π:x=6π​,x=65π​
sin(x)=21​,0≤x<2π
Solutions générales pour sin(x)=21​
Tableau de périodicité sin(x) avec un cycle 2πn :
x06π​4π​3π​2π​32π​43π​65π​​sin(x)021​22​​23​​123​​22​​21​​xπ67π​45π​34π​23π​35π​47π​611π​​sin(x)0−21​−22​​−23​​−1−23​​−22​​−21​​​
x=6π​+2πn,x=65π​+2πn
x=6π​+2πn,x=65π​+2πn
Solutions pour la plage 0≤x<2πx=6π​,x=65π​
sin(x)=−21​,0≤x<2π:x=67π​,x=611π​
sin(x)=−21​,0≤x<2π
Solutions générales pour sin(x)=−21​
Tableau de périodicité sin(x) avec un cycle 2πn :
x06π​4π​3π​2π​32π​43π​65π​​sin(x)021​22​​23​​123​​22​​21​​xπ67π​45π​34π​23π​35π​47π​611π​​sin(x)0−21​−22​​−23​​−1−23​​−22​​−21​​​
x=67π​+2πn,x=611π​+2πn
x=67π​+2πn,x=611π​+2πn
Solutions pour la plage 0≤x<2πx=67π​,x=611π​
Combiner toutes les solutionsx=6π​,x=65π​,x=67π​,x=611π​
Trouver les points non définis:Aucune solution
Trouver les zéros du dénominateursin(x)+cos(x)+5=0
Récrire en utilisant des identités trigonométriques
sin(x)+cos(x)+5
sin(x)+cos(x)=2​sin(x+4π​)
sin(x)+cos(x)
Récrire comme=2​(2​1​sin(x)+2​1​cos(x))
Utiliser l'identité triviale suivante : cos(4π​)=2​1​Utiliser l'identité triviale suivante : sin(4π​)=2​1​=2​(cos(4π​)sin(x)+sin(4π​)cos(x))
Utiliser l'identité de la somme de l'angle: sin(s+t)=sin(s)cos(t)+cos(s)sin(t)=2​sin(x+4π​)
=5+2​sin(x+4π​)
5+2​sin(x+4π​)=0
Déplacer 5vers la droite
5+2​sin(x+4π​)=0
Soustraire 5 des deux côtés5+2​sin(x+4π​)−5=0−5
Simplifier2​sin(x+4π​)=−5
2​sin(x+4π​)=−5
Diviser les deux côtés par 2​
2​sin(x+4π​)=−5
Diviser les deux côtés par 2​2​2​sin(x+4π​)​=2​−5​
Simplifier
2​2​sin(x+4π​)​=2​−5​
Simplifier 2​2​sin(x+4π​)​:sin(x+4π​)
2​2​sin(x+4π​)​
Annuler le facteur commun : 2​=sin(x+4π​)
Simplifier 2​−5​:−252​​
2​−5​
Appliquer la règle des fractions: b−a​=−ba​=−2​5​
Simplifier −2​5​:−252​​
−2​5​
Multiplier par le conjugué 2​2​​=−2​2​52​​
2​2​=2
2​2​
Appliquer la règle des radicaux: a​a​=a2​2​=2=2
=−252​​
=−252​​
sin(x+4π​)=−252​​
sin(x+4π​)=−252​​
sin(x+4π​)=−252​​
−1≤sin(x)≤1Aucunesolutionpourx∈R
6π​,65π​,67π​,611π​
Identifier les intervalles0<x<6π​,6π​<x<65π​,65π​<x<67π​,67π​<x<611π​,611π​<x<2π
Récapituler dans un tableau:−4sin2(x)+1sin(x)+cos(x)+5sin(x)+cos(x)+5−4sin2(x)+1​​x=0+++​0<x<6π​+++​x=6π​0+0​6π​<x<65π​−+−​x=65π​0+0​65π​<x<67π​+++​x=67π​0+0​67π​<x<611π​−+−​x=611π​0+0​611π​<x<2π+++​x=2π+++​​
Identifier les intervalles qui répondent à la conditions requise : <06π​<x<65π​or67π​<x<611π​
Appliquer la périodicité de sin(x)+cos(x)+5−4sin2(x)+1​6π​+2πn<x<65π​+2πnor67π​+2πn<x<611π​+2πn

Exemples populaires

cos(t)>= 0cos(t)≥0-1+tan(x)<= 1−1+tan(x)≤1cos(x)(2sin(x)-1)<= 0,-pi<x<= picos(x)(2sin(x)−1)≤0,−π<x≤πpi/(14)-1/7 arctan(x/7)<= 0.000214π​−71​arctan(7x​)≤0.0002-sin(2x-pi/(12))<= (sqrt(2))/2−sin(2x−12π​)≤22​​
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