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Beliebt Trigonometrie >

(4cos^2(x)-3)/(sin(x)+cos(x)+5)<0

Lösung

\frac{4 cos ^{2} ( x ) - 3}{sin ( x ) + cos ( x ) + 5} < 0

Lösung

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn or \frac{7 π}{6} + 2 πn < x < \frac{11 π}{6} + 2 πn

Intervall-Notation

(\frac{π}{6} + 2 πn, \frac{5 π}{6} + 2 πn) \cup (\frac{7 π}{6} + 2 πn, \frac{11 π}{6} + 2 πn)

Dezimale

0.52359 \dots + 2 πn < x < 2.61799 \dots + 2 πn or 3.66519 \dots + 2 πn < x < 5.75958 \dots + 2 πn

Schritte zur Lösung

\frac{4 cos ^{2} ( x ) - 3}{sin ( x ) + cos ( x ) + 5} < 0

Verwende die folgenden Identitäten:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Deshalb

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

\frac{4 ( 1 - sin ^{2} ( x ) ) - 3}{sin ( x ) + cos ( x ) + 5} < 0

Vereinfache

\frac{4 ( 1 - sin ^{2} ( x ) ) - 3}{sin ( x ) + cos ( x ) + 5} : \frac{- 4 sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ( x ) + cos ( x ) + 5}

\frac{4 ( 1 - sin ^{2} ( x ) ) - 3}{sin ( x ) + cos ( x ) + 5}

Multipliziere aus

4 (1 - sin^{2} (x)) - 3 : - 4 sin^{2} (x) + 1

4 (1 - sin^{2} (x)) - 3

Multipliziere aus

4 (1 - sin^{2} (x)) : 4 - 4 sin^{2} (x)

4 (1 - sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 4 \cdot 1 - 4 sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 sin^{2} (x)

= 4 - 4 sin^{2} (x) - 3

Vereinfache

4 - 4 sin^{2} (x) - 3 : - 4 sin^{2} (x) + 1

4 - 4 sin^{2} (x) - 3

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 4 sin^{2} (x) + 4 - 3

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

4 - 3 = 1

= - 4 sin^{2} (x) + 1

= - 4 sin^{2} (x) + 1

= \frac{- 4 sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ( x ) + cos ( x ) + 5}

\frac{- 4 sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ( x ) + cos ( x ) + 5} < 0

Periodizität von

\frac{- 4 sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ( x ) + cos ( x ) + 5} : 2 π

\frac{- 4 sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ( x ) + cos ( x ) + 5}

besteht aus den folgenden Funktionen und Perioden:

sin (x)

mit Periodizität von

2 π

Die zusammengesetzte Periodizität ist:

= 2 π

Finde die Nullstellen und undefinierten Punkte von

\frac{- 4 sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ( x ) + cos ( x ) + 5}

für

0 \leq x < 2 π

Um die Nullstellen zu finden, setze die Ungleichung auf Null

\frac{- 4 sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ( x ) + cos ( x ) + 5} = 0

\frac{- 4 sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ( x ) + cos ( x ) + 5} = 0, 0 \leq x < 2 π : x = \frac{π}{6}, x = \frac{5 π}{6}, x = \frac{7 π}{6}, x = \frac{11 π}{6}

\frac{- 4 sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ( x ) + cos ( x ) + 5} = 0, 0 \leq x < 2 π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- 4 sin^{2} (x) + 1 = 0

Löse mit Substitution

- 4 sin^{2} (x) + 1 = 0

Angenommen:

sin (x) = u

- 4 u^{2} + 1 = 0

- 4 u^{2} + 1 = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

- 4 u^{2} + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

- 4 u^{2} + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

- 4 u^{2} + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

- 4 u^{2} = - 1

- 4 u^{2} = - 1

Teile beide Seiten durch

- 4

- 4 u^{2} = - 1

Teile beide Seiten durch

- 4

\frac{- 4 u ^{2}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}

Vereinfache

u^{2} = \frac{1}{4}

u^{2} = \frac{1}{4}

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1}{4}, u = - \frac{1}{4}

\frac{1}{4} = \frac{1}{2}

\frac{1}{4}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{4}

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{1}{2}

Wende Regel an

1 = 1

= \frac{1}{2}

- \frac{1}{4} = - \frac{1}{2}

- \frac{1}{4}

Vereinfache

\frac{1}{4} : \frac{1}{2}

\frac{1}{4}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{4}

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{1}{2}

= - \frac{1}{2}

Wende Regel an

1 = 1

= - \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = \frac{1}{2}, sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x) = \frac{1}{2}, sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x) = \frac{1}{2}, 0 \leq x < 2 π : x = \frac{π}{6}, x = \frac{5 π}{6}

sin (x) = \frac{1}{2}, 0 \leq x < 2 π

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq x < 2 π

x = \frac{π}{6}, x = \frac{5 π}{6}

sin (x) = - \frac{1}{2}, 0 \leq x < 2 π : x = \frac{7 π}{6}, x = \frac{11 π}{6}

sin (x) = - \frac{1}{2}, 0 \leq x < 2 π

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq x < 2 π

x = \frac{7 π}{6}, x = \frac{11 π}{6}

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{6}, x = \frac{5 π}{6}, x = \frac{7 π}{6}, x = \frac{11 π}{6}

Finde die unbestimmten Punkte:

Keine Lösung

Finde die Nullstellen des Nenners

sin (x) + cos (x) + 5 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (x) + cos (x) + 5

sin (x) + cos (x) = 2 sin (x + \frac{π}{4})

sin (x) + cos (x)

Schreibe um

= 2 (\frac{1}{2} sin (x) + \frac{1}{2} cos (x))

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

= 2 (cos (\frac{π}{4}) sin (x) + sin (\frac{π}{4}) cos (x))

Benutze die Identität der Winkelsumme:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= 2 sin (x + \frac{π}{4})

= 5 + 2 sin (x + \frac{π}{4})

5 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) = 0

Verschiebe

5

auf die rechte Seite

5 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) = 0

Subtrahiere

5

von beiden Seiten

5 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) - 5 = 0 - 5

Vereinfache

2 sin (x + \frac{π}{4}) = - 5

2 sin (x + \frac{π}{4}) = - 5

Teile beide Seiten durch

2

2 sin (x + \frac{π}{4}) = - 5

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2} = \frac{- 5}{2}

Vereinfache

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2} = \frac{- 5}{2}

Vereinfache

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2} : sin (x + \frac{π}{4})

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= sin (x + \frac{π}{4})

Vereinfache

\frac{- 5}{2} : - \frac{5 2}{2}

\frac{- 5}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{5}{2}

Rationalisiere

- \frac{5}{2} : - \frac{5 2}{2}

- \frac{5}{2}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{2}{2}

= - \frac{5 2}{2 2}

22 = 2

22

Wende Radikal Regel an:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{5 2}{2}

= - \frac{5 2}{2}

sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{5 2}{2}

sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{5 2}{2}

sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{5 2}{2}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6}

Identifiziere die Intervalle

0 < x < \frac{π}{6}, \frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}, \frac{5 π}{6} < x < \frac{7 π}{6}, \frac{7 π}{6} < x < \frac{11 π}{6}, \frac{11 π}{6} < x < 2 π

Fasse in einer Tabelle zusammen:

- 4 sin^{2} (x) + 1 sin (x) + cos (x) + 5 \frac{- 4 s i n ^{2} ( x ) + 1}{s i n ( x ) + c o s ( x ) + 5} x = 0 + + + 0 < x < \frac{π}{6} + + + x = \frac{π}{6} 0 + 0 \frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6} - + - x = \frac{5 π}{6} 0 + 0 \frac{5 π}{6} < x < \frac{7 π}{6} + + + x = \frac{7 π}{6} 0 + 0 \frac{7 π}{6} < x < \frac{11 π}{6} - + - x = \frac{11 π}{6} 0 + 0 \frac{11 π}{6} < x < 2 π + + + x = 2 π + + +

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

< 0

\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6} or \frac{7 π}{6} < x < \frac{11 π}{6}

Verwende die Periodizität von

\frac{- 4 sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ( x ) + cos ( x ) + 5}

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn or \frac{7 π}{6} + 2 πn < x < \frac{11 π}{6} + 2 πn

Beliebte Beispiele

cos(t)>= 0

cos (t) \geq 0

-1+tan(x)<= 1

- 1 + tan (x) \leq 1

cos(x)(2sin(x)-1)<= 0,-pi<x<= pi

cos (x) (2 sin (x) - 1) \leq 0, - π < x \leq π

pi/(14)-1/7 arctan(x/7)<= 0.0002

\frac{π}{14} - \frac{1}{7} arctan (\frac{x}{7}) \leq 0.0002

-sin(2x-pi/(12))<= (sqrt(2))/2

- sin (2 x - \frac{π}{12}) \leq \frac{2}{2}