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Popular Trigonometria >

2sin(x)cos(x)>cos(x)

Solução

2 sin (x) cos (x) > cos (x)

Solução

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{5 π}{6} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

Notação de intervalo

(\frac{π}{6} + 2 πn, \frac{π}{2} + 2 πn) \cup (\frac{5 π}{6} + 2 πn, \frac{3 π}{2} + 2 πn)

Decimal

0.52359 \dots + 2 πn < x < 1.57079 \dots + 2 πn or 2.61799 \dots + 2 πn < x < 4.71238 \dots + 2 πn

Passos da solução

2 sin (x) cos (x) > cos (x)

Mova

cos (x)

para o lado esquerdo

2 sin (x) cos (x) > cos (x)

Subtrair

cos (x)

de ambos os lados

2 sin (x) cos (x) - cos (x) > cos (x) - cos (x)

2 sin (x) cos (x) - cos (x) > 0

2 sin (x) cos (x) - cos (x) > 0

Periodicidade de

2 sin (x) cos (x) - cos (x) : 2 π

A periodicidade composta da soma das funções periódicas é o menor multiplicador comum dos períodos

2 sin (x) cos (x), cos (x)

Periodicidade de

2 sin (x) cos (x) : π

2 sin (x) cos (x)

é composta pelas seguintes funções e períodos:

sin (x)

com periodicidade de

2 π

A periodicidade composta é:

π

Periodicidade de

cos (x) : 2 π

Periodicidade da

cos (x)

2 π

= 2 π

Juntar períodos:

π, 2 π

= 2 π

Fatorar

2 sin (x) cos (x) - cos (x) : cos (x) (2 sin (x) - 1)

2 sin (x) cos (x) - cos (x)

Fatorar o termo comum

cos (x)

= cos (x) (2 sin (x) - 1)

cos (x) (2 sin (x) - 1) > 0

Para encontrar os zeros, defina a desigualdade como zero

cos (x) (2 sin (x) - 1) = 0

Resolver

cos (x) (2 sin (x) - 1) = 0

para

0 \leq x < 2 π

cos (x) (2 sin (x) - 1) = 0

Resolver cada parte separadamente

cos (x) = 0 : x = \frac{π}{2} or x = \frac{3 π}{2}

cos (x) = 0, 0 \leq x < 2 π

Soluções gerais para

cos (x) = 0

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Soluções para o intervalo

0 \leq x < 2 π

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

2 sin (x) - 1 = 0 : x = \frac{π}{6} or x = \frac{5 π}{6}

2 sin (x) - 1 = 0, 0 \leq x < 2 π

Mova

1

para o lado direito

2 sin (x) - 1 = 0

Adicionar

1

a ambos os lados

2 sin (x) - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

2 sin (x) = 1

2 sin (x) = 1

Dividir ambos os lados por

2

2 sin (x) = 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 sin ( x )}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x) = \frac{1}{2}

Soluções gerais para

sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Soluções para o intervalo

0 \leq x < 2 π

x = \frac{π}{6}, x = \frac{5 π}{6}

Combinar toda as soluções

\frac{π}{6} or \frac{π}{2} or \frac{5 π}{6} or \frac{3 π}{2}

Os tervalos entre os zeros

0 < x < \frac{π}{6}, \frac{π}{6} < x < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{6}, \frac{5 π}{6} < x < \frac{3 π}{2}, \frac{3 π}{2} < x < 2 π

Resumir em uma tabela:

cos (x) 2 sin (x) - 1 cos (x) (2 sin (x) - 1) x = 0 + - - 0 < x < \frac{π}{6} + - - x = \frac{π}{6} + 00 \frac{π}{6} < x < \frac{π}{2} + + + x = \frac{π}{2} 0 + 0 \frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{6} - + - x = \frac{5 π}{6} - 00 \frac{5 π}{6} < x < \frac{3 π}{2} - - + x = \frac{3 π}{2} 0 - 0 \frac{3 π}{2} < x < 2 π + - - x = 2 π + - -

Identifique os intervalos que satisfaçam à condição necessária:

> 0

\frac{π}{6} < x < \frac{π}{2} or \frac{5 π}{6} < x < \frac{3 π}{2}

Utilizar a periodicidade de

2 sin (x) cos (x) - cos (x)

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{5 π}{6} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

Exemplos populares

tan(θ)<= sqrt(3)

tan (θ) \leq 3

1-4(cos(x)sin(x/2))>= 0

1 - 4 (cos (x) sin (\frac{x}{2})) \geq 0

-1<= arccos(x^2)

- 1 \leq arccos (x^{2})

2sin(5x)<= sqrt(2)

2 sin (5 x) \leq 2

(2cos(x)-sqrt(3))>0

(2 cos (x) - 3) > 0