English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

פּוֹפּוּלָרִי טריגונומטריה >

6sin^2(x)-5sin(x)+1<= 0

פתרון

6 sin^{2} (x) - 5 sin (x) + 1 \leq 0

פתרון

arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{6} + 2 πn or \frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

סימון מרווחים

[arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn, \frac{π}{6} + 2 πn] \cup [\frac{5 π}{6} + 2 πn, π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn]

עשרוני

0.33983 \dots + 2 πn \leq x \leq 0.52359 \dots + 2 πn or 2.61799 \dots + 2 πn \leq x \leq 2.80175 \dots + 2 πn

צעדי פתרון

6 sin^{2} (x) - 5 sin (x) + 1 \leq 0

u = sin (x) :

נניח ש

6 u^{2} - 5 u + 1 \leq 0

6 u^{2} - 5 u + 1 \leq 0 : \frac{1}{3} \leq u \leq \frac{1}{2}

6 u^{2} - 5 u + 1 \leq 0

6 u^{2} - 5 u + 1

פרק לגורמים את:

(3 u - 1) (2 u - 1)

6 u^{2} - 5 u + 1

חלק הביטוי לקבוצות

6 u^{2} - 5 u + 1

הגדרה

Factors of

6 : 1, 2, 3, 6

6

Divisors (Factors)

Find the Prime factors of

6 : 2, 3

6

6 = 3 \cdot 2, 2

מתחלק ב

6

= 2 \cdot 3

מורכב ממספרים ראשוניים בלבד, לכו פירוק נוסף אינו אפשרי

2, 3

= 2 \cdot 3

Add the prime factors:

2, 3

Add 1 and the number

6

itself

1, 6

6

המחלקים של

1, 2, 3, 6

Negative factors of

6 : - 1, - 2, - 3, - 6

Multiply the factors by

- 1

to get the negative factors

- 1, - 2, - 3, - 6

For every two factors such that

u * v = 6,

check if

u + v = - 5

Check

u = 1, v = 6 : u * v = 6, u + v = 7 \Rightarrow

לא נכוןCheck

u = 2, v = 3 : u * v = 6, u + v = 5 \Rightarrow

לא נכון

u = - 2, v = - 3

Group into

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(6 u^{2} - 2 u) + (- 3 u + 1)

= (6 u^{2} - 2 u) + (- 3 u + 1)

2 u (3 u - 1)

6 u^{2} - 2 u

2 u

הוצא את הגורם

6 u^{2} - 2 u

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

:הפעל את חוק החזקות

u^{2} = uu

= 6 uu - 2 u

2 \cdot 3

בתור

6

כתוב מחדש את

= 2 \cdot 3 uu - 2 u

2 u

הוצא את הגורם המשותף

= 2 u (3 u - 1)

- (3 u - 1)

- 3 u + 1

- 1

הוצא את הגורם

- 3 u + 1

- 1

הוצא את הגורם המשותף

= - (3 u - 1)

= 2 u (3 u - 1) - (3 u - 1)

3 u - 1

הוצא את הגורם המשותף

= (3 u - 1) (2 u - 1)

(3 u - 1) (2 u - 1) \leq 0

זהה את הטווחים השונים

(3 u - 1) (2 u - 1)

:חשב את הסימן לכל אחד מהגורמים עבור

3 u - 1

:חשב את הסימן עבור

3 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{3}

3 u - 1 = 0

לצד ימין

1

העבר

3 u - 1 = 0

לשני האגפים

1

הוסף

3 u - 1 + 1 = 0 + 1

פשט

3 u = 1

3 u = 1

3

חלק את שני האגפים ב

3 u = 1

3

חלק את שני האגפים ב

\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}

פשט

u = \frac{1}{3}

u = \frac{1}{3}

3 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{3}

3 u - 1 < 0

לצד ימין

1

העבר

3 u - 1 < 0

לשני האגפים

1

הוסף

3 u - 1 + 1 < 0 + 1

פשט

3 u < 1

3 u < 1

3

חלק את שני האגפים ב

3 u < 1

3

חלק את שני האגפים ב

\frac{3 u}{3} < \frac{1}{3}

פשט

u < \frac{1}{3}

u < \frac{1}{3}

3 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{3}

3 u - 1 > 0

לצד ימין

1

העבר

3 u - 1 > 0

לשני האגפים

1

הוסף

3 u - 1 + 1 > 0 + 1

פשט

3 u > 1

3 u > 1

3

חלק את שני האגפים ב

3 u > 1

3

חלק את שני האגפים ב

\frac{3 u}{3} > \frac{1}{3}

פשט

u > \frac{1}{3}

u > \frac{1}{3}

2 u - 1

:חשב את הסימן עבור

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

לצד ימין

1

העבר

2 u - 1 = 0

לשני האגפים

1

הוסף

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

פשט

2 u = 1

2 u = 1

2

חלק את שני האגפים ב

2 u = 1

2

חלק את שני האגפים ב

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

פשט

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

לצד ימין

1

העבר

2 u - 1 < 0

לשני האגפים

1

הוסף

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

פשט

2 u < 1

2 u < 1

2

חלק את שני האגפים ב

2 u < 1

2

חלק את שני האגפים ב

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

פשט

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

לצד ימין

1

העבר

2 u - 1 > 0

לשני האגפים

1

הוסף

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

פשט

2 u > 1

2 u > 1

2

חלק את שני האגפים ב

2 u > 1

2

חלק את שני האגפים ב

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

פשט

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

סכם בטבלה

3 u - 1 2 u - 1 (3 u - 1) (2 u - 1) u < \frac{1}{3} - - + u = \frac{1}{3} 0 - 0 \frac{1}{3} < u < \frac{1}{2} + - - u = \frac{1}{2} + 00 u > \frac{1}{2} + + +

\leq 0 :

בחירת הטווחים המקיימים את התנאי

u = \frac{1}{3} or \frac{1}{3} < u < \frac{1}{2} or u = \frac{1}{2}

מזג טווחים חופפים

\frac{1}{3} \leq u < \frac{1}{2} or u = \frac{1}{2}

האיחוד של שני טווחים הוא סט המספרים אשר נמצאים באחד הטווחים

u = \frac{1}{3}

או

\frac{1}{3} < u < \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq u < \frac{1}{2}

האיחוד של שני טווחים הוא סט המספרים אשר נמצאים באחד הטווחים

\frac{1}{3} \leq u < \frac{1}{2}

או

u = \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq u \leq \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq u \leq \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq u \leq \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq u \leq \frac{1}{2}

u = sin (x)

החלף בחזרה

\frac{1}{3} \leq sin (x) \leq \frac{1}{2}

a \leq u and u \leq b

אז

a \leq u \leq b

אם

\frac{1}{3} \leq sin (x) and sin (x) \leq \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq sin (x) : arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

\frac{1}{3} \leq sin (x)

הפוך את האגפים

sin (x) \geq \frac{1}{3}

For

sin (x) \geq a

, if

- 1 < a < 1

then

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

sin (x) \leq \frac{1}{2} : - \frac{7 π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{6} + 2 πn

sin (x) \leq \frac{1}{2}

For

sin (x) \leq a

, if

- 1 < a < 1

then

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{1}{2})

פשט את:

- \frac{7 π}{6}

- π - arcsin (\frac{1}{2})

השתמש בזהות הבסיסית הבאה:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - \frac{π}{6}

פשט

- π - \frac{π}{6}

π = \frac{π 6}{6}

:המר את המספרים לשברים

= - \frac{π 6}{6} - \frac{π}{6}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:מאחר והמכנים שווים, חבר את המונים

= \frac{- π 6 - π}{6}

- 6 π - π = - 7 π :

חבר איברים דומים

= \frac{- 7 π}{6}

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

: השתמש בתכונת השברים הבאה

= - \frac{7 π}{6}

= - \frac{7 π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

פשט את:

\frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

השתמש בזהות הבסיסית הבאה:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

- \frac{7 π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{6} + 2 πn

אחד את הטווחים

arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn and - \frac{7 π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{6} + 2 πn

מזג טווחים חופפים

arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{6} + 2 πn or \frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

דוגמאות פופולריות

2sin(2x)+(1/2)>= 0

2 sin (2 x) + (\frac{1}{2}) \geq 0

2cos(2x)-1>= 0

2 cos (2 x) - 1 \geq 0

-cos(x)>=-sin(2x)

- cos (x) \geq - sin (2 x)

tan(x)>7

tan (x) > 7

cos(x)<-1/2 ,0<= x<= 2pi

cos (x) < - \frac{1}{2}, 0 \leq x \leq 2 π