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Popolare Trigonometria >

tan(x/2-pi/4)>= sqrt(3)

Soluzione

tan (\frac{x}{2} - \frac{π}{4}) \geq 3

Soluzione

\frac{7 π}{6} + 2 πn \leq x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

Notazione dell’intervallo

[\frac{7 π}{6} + 2 πn, \frac{3 π}{2} + 2 πn)

Decimale

3.66519 \dots + 2 πn \leq x < 4.71238 \dots + 2 πn

Fasi della soluzione

tan (\frac{x}{2} - \frac{π}{4}) \geq 3

tan (x) \geq a

allora

arctan (a) + πn \leq x < \frac{π}{2} + πn

arctan (3) + πn \leq (\frac{x}{2} - \frac{π}{4}) < \frac{π}{2} + πn

a \leq u < b

allora

a \leq u and u < b

arctan (3) + πn \leq \frac{x}{2} - \frac{π}{4} and \frac{x}{2} - \frac{π}{4} < \frac{π}{2} + πn

arctan (3) + πn \leq \frac{x}{2} - \frac{π}{4} : x \geq 2 πn + \frac{7 π}{6}

arctan (3) + πn \leq \frac{x}{2} - \frac{π}{4}

Scambia i lati

\frac{x}{2} - \frac{π}{4} \geq arctan (3) + πn

Semplificare

arctan (3) + πn : \frac{π}{3} + πn

arctan (3) + πn

Usare la seguente identità triviale:

arctan (3) = \frac{π}{3}

x 0 \frac{3}{3} 13 arctan (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} arctan (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ}

= \frac{π}{3} + πn

\frac{x}{2} - \frac{π}{4} \geq \frac{π}{3} + πn

Spostare

\frac{π}{4}

a destra dell'equazione

\frac{x}{2} - \frac{π}{4} \geq \frac{π}{3} + πn

Aggiungi

\frac{π}{4}

ad entrambi i lati

\frac{x}{2} - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} \geq \frac{π}{3} + πn + \frac{π}{4}

Semplificare

\frac{x}{2} - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} \geq \frac{π}{3} + πn + \frac{π}{4}

Semplificare

\frac{x}{2} - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} : \frac{x}{2}

\frac{x}{2} - \frac{π}{4} + \frac{π}{4}

Aggiungi elementi simili:

- \frac{π}{4} + \frac{π}{4} \geq 0

= \frac{x}{2}

Semplificare

\frac{π}{3} + πn + \frac{π}{4} : πn + \frac{7 π}{12}

\frac{π}{3} + πn + \frac{π}{4}

Raggruppa termini simili

= πn + \frac{π}{3} + \frac{π}{4}

Minimo Comune Multiplo di

3, 4 : 12

3, 4

Minimo Comune Multiplo (mcm)

Fattorizzazione prima di

3 : 3

3

3

è un numero primo, quindi non è possibile la sua fattorizzazione

= 3

Fattorizzazione prima di

4 : 2 \cdot 2

4

4

diviso per

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Moltiplica ogni fattore per il numero massimo di volte in cui si presenta in 3 o 4

= 3 \cdot 2 \cdot 2

Moltiplica i numeri:

3 \cdot 2 \cdot 2 = 12

= 12

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

12

Per

\frac{π}{3} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

4

\frac{π}{3} = \frac{π 4}{3 \cdot 4} = \frac{π 4}{12}

Per

\frac{π}{4} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

3

\frac{π}{4} = \frac{π 3}{4 \cdot 3} = \frac{π 3}{12}

= \frac{π 4}{12} + \frac{π 3}{12}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 4 + π 3}{12}

Aggiungi elementi simili:

4 π + 3 π = 7 π

= πn + \frac{7 π}{12}

\frac{x}{2} \geq πn + \frac{7 π}{12}

\frac{x}{2} \geq πn + \frac{7 π}{12}

\frac{x}{2} \geq πn + \frac{7 π}{12}

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{x}{2} \geq πn + \frac{7 π}{12}

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{2 x}{2} \geq 2 πn + 2 \cdot \frac{7 π}{12}

Semplificare

\frac{2 x}{2} \geq 2 πn + 2 \cdot \frac{7 π}{12}

Semplificare

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= x

Semplificare

2 πn + 2 \cdot \frac{7 π}{12} : 2 πn + \frac{7 π}{6}

2 πn + 2 \cdot \frac{7 π}{12}

2 \cdot \frac{7 π}{12} = \frac{7 π}{6}

2 \cdot \frac{7 π}{12}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{7 π 2}{12}

Moltiplica i numeri:

7 \cdot 2 = 14

= \frac{14 π}{12}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{7 π}{6}

= 2 πn + \frac{7 π}{6}

x \geq 2 πn + \frac{7 π}{6}

x \geq 2 πn + \frac{7 π}{6}

x \geq 2 πn + \frac{7 π}{6}

\frac{x}{2} - \frac{π}{4} < \frac{π}{2} + πn : x < 2 πn + \frac{3 π}{2}

\frac{x}{2} - \frac{π}{4} < \frac{π}{2} + πn

Spostare

\frac{π}{4}

a destra dell'equazione

\frac{x}{2} - \frac{π}{4} < \frac{π}{2} + πn

Aggiungi

\frac{π}{4}

ad entrambi i lati

\frac{x}{2} - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} < \frac{π}{2} + πn + \frac{π}{4}

Semplificare

\frac{x}{2} - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} < \frac{π}{2} + πn + \frac{π}{4}

Semplificare

\frac{x}{2} - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} : \frac{x}{2}

\frac{x}{2} - \frac{π}{4} + \frac{π}{4}

Aggiungi elementi simili:

- \frac{π}{4} + \frac{π}{4} < 0

= \frac{x}{2}

Semplificare

\frac{π}{2} + πn + \frac{π}{4} : πn + \frac{3 π}{4}

\frac{π}{2} + πn + \frac{π}{4}

Raggruppa termini simili

= πn + \frac{π}{2} + \frac{π}{4}

Minimo Comune Multiplo di

2, 4 : 4

2, 4

Minimo Comune Multiplo (mcm)

Fattorizzazione prima di

2 : 2

2

2

è un numero primo, quindi non è possibile la sua fattorizzazione

= 2

Fattorizzazione prima di

4 : 2 \cdot 2

4

4

diviso per

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Moltiplica ogni fattore per il numero massimo di volte in cui si presenta in 2 o 4

= 2 \cdot 2

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= 4

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

4

Per

\frac{π}{2} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

2

\frac{π}{2} = \frac{π 2}{2 \cdot 2} = \frac{π 2}{4}

= \frac{π 2}{4} + \frac{π}{4}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 2 + π}{4}

Aggiungi elementi simili:

2 π + π = 3 π

= πn + \frac{3 π}{4}

\frac{x}{2} < πn + \frac{3 π}{4}

\frac{x}{2} < πn + \frac{3 π}{4}

\frac{x}{2} < πn + \frac{3 π}{4}

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{x}{2} < πn + \frac{3 π}{4}

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{2 x}{2} < 2 πn + 2 \cdot \frac{3 π}{4}

Semplificare

\frac{2 x}{2} < 2 πn + 2 \cdot \frac{3 π}{4}

Semplificare

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= x

Semplificare

2 πn + 2 \cdot \frac{3 π}{4} : 2 πn + \frac{3 π}{2}

2 πn + 2 \cdot \frac{3 π}{4}

2 \cdot \frac{3 π}{4} = \frac{3 π}{2}

2 \cdot \frac{3 π}{4}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 π 2}{4}

Moltiplica i numeri:

3 \cdot 2 = 6

= \frac{6 π}{4}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{3 π}{2}

= 2 πn + \frac{3 π}{2}

x < 2 πn + \frac{3 π}{2}

x < 2 πn + \frac{3 π}{2}

x < 2 πn + \frac{3 π}{2}

Combina gli intervalli

x \geq 2 πn + \frac{7 π}{6} and x < 2 πn + \frac{3 π}{2}

Unire gli intervalli sovrapposti

\frac{7 π}{6} + 2 πn \leq x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

Esempi popolari

sin(x)+1/2 >0,0pi<= x<= 2pi

sin (x) + \frac{1}{2} > 0, 0 π \leq x \leq 2 π

cos(x)(2sin(x)+1)>= 0

cos (x) (2 sin (x) + 1) \geq 0

cot^2(x)>= 3

cot^{2} (x) \geq 3

sin^2(2x)>= 1/4

sin^{2} (2 x) \geq \frac{1}{4}

-1/2 <= cos(2x)

- \frac{1}{2} \leq cos (2 x)