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Populaire Trigonométrie >

(sin(x))/(cos(x))>= 2sin(x)*cos(x)

Solution

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} \geq 2 sin (x) \cdot cos (x)

Solution

\frac{π}{4} + πn \leq x < \frac{π}{2} + πn or \frac{3 π}{4} + πn \leq x \leq π + πn

La notation des intervalles

[\frac{π}{4} + πn, \frac{π}{2} + πn) \cup [\frac{3 π}{4} + πn, π + πn]

Décimale

0.78539 \dots + πn \leq x < 1.57079 \dots + πn or 2.35619 \dots + πn \leq x \leq 3.14159 \dots + πn

étapes des solutions

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} \geq 2 sin (x) cos (x)

Déplacer

2 sin (x) cos (x)

vers la gauche

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} \geq 2 sin (x) cos (x)

Soustraire

2 sin (x) cos (x)

des deux côtés

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 2 sin (x) cos (x) \geq 2 sin (x) cos (x) - 2 sin (x) cos (x)

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 2 sin (x) cos (x) \geq 0

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 2 sin (x) cos (x) \geq 0

Simplifier

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 2 sin (x) cos (x) : \frac{sin ( x ) - 2 cos ^{2} ( x ) sin ( x )}{cos ( x )}

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 2 sin (x) cos (x)

Convertir un élément en fraction:

2 sin (x) cos (x) = \frac{2 sin ( x ) cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{2 sin ( x ) cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( x ) - 2 sin ( x ) cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

sin (x) - 2 sin (x) cos (x) cos (x) = sin (x) - 2 cos^{2} (x) sin (x)

sin (x) - 2 sin (x) cos (x) cos (x)

2 sin (x) cos (x) cos (x) = 2 cos^{2} (x) sin (x)

2 sin (x) cos (x) cos (x)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= 2 sin (x) cos^{1 + 1} (x)

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= 2 sin (x) cos^{2} (x)

= sin (x) - 2 cos^{2} (x) sin (x)

= \frac{sin ( x ) - 2 cos ^{2} ( x ) sin ( x )}{cos ( x )}

\frac{sin ( x ) - 2 cos ^{2} ( x ) sin ( x )}{cos ( x )} \geq 0

Périodicité de

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 2 sin (x) cos (x) : π

La périodicité composée de la somme des fonctions périodiques est le plus petit commun multiple des périodes

\frac{sin ( x )}{cos ( x )}, 2 sin (x) cos (x)

Périodicité de

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} : π

\frac{sin ( x )}{cos ( x )}

iest composée des fonctions et des périodes suivantes :

sin (x)

avec une périodicité de

2 π

Le composant de périodicité est :

π

Périodicité de

2 sin (x) cos (x) : π

2 sin (x) cos (x)

iest composée des fonctions et des périodes suivantes :

sin (x)

avec une périodicité de

2 π

Le composant de périodicité est :

π

Combiner des périodes :

π, π

= π

Trouver les points zéros et les points non définis de

\frac{sin ( x ) - 2 cos ^{2} ( x ) sin ( x )}{cos ( x )}

pour

0 \leq x < π

Pour trouver les points zéros, définir l'inégalité à zéro

\frac{sin ( x ) - 2 cos ^{2} ( x ) sin ( x )}{cos ( x )} = 0

\frac{sin ( x ) - 2 cos ^{2} ( x ) sin ( x )}{cos ( x )} = 0, 0 \leq x < π : x = 0, x = \frac{3 π}{4}, x = \frac{π}{4}

\frac{sin ( x ) - 2 cos ^{2} ( x ) sin ( x )}{cos ( x )} = 0, 0 \leq x < π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

sin (x) - 2 cos^{2} (x) sin (x) = 0

Factoriser

sin (x) - 2 cos^{2} (x) sin (x) : - sin (x) (2 cos (x) + 1) (2 cos (x) - 1)

sin (x) - 2 cos^{2} (x) sin (x)

Factoriser le terme commun

- sin (x)

= - sin (x) (- 1 + 2 cos^{2} (x))

Factoriser

2 cos^{2} (x) - 1 : (2 cos (x) + 1) (2 cos (x) - 1)

2 cos^{2} (x) - 1

Récrire

2 cos^{2} (x) - 1

comme

(2 cos (x))^{2} - 1^{2}

2 cos^{2} (x) - 1

Appliquer la règle des radicaux:

a = (a)^{2}

2 = (2)^{2}

= (2)^{2} cos^{2} (x) - 1

Récrire

1

comme

1^{2}

= (2)^{2} cos^{2} (x) - 1^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(2)^{2} cos^{2} (x) = (2 cos (x))^{2}

= (2 cos (x))^{2} - 1^{2}

= (2 cos (x))^{2} - 1^{2}

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 cos (x))^{2} - 1^{2} = (2 cos (x) + 1) (2 cos (x) - 1)

= (2 cos (x) + 1) (2 cos (x) - 1)

= - sin (x) (2 cos (x) + 1) (2 cos (x) - 1)

- sin (x) (2 cos (x) + 1) (2 cos (x) - 1) = 0

En solutionnant chaque partie séparément

sin (x) = 0 or 2 cos (x) + 1 = 0 or 2 cos (x) - 1 = 0

sin (x) = 0, 0 \leq x < π : x = 0

sin (x) = 0, 0 \leq x < π

Solutions générales pour

sin (x) = 0

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Résoudre

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Solutions pour la plage

0 \leq x < π

x = 0

2 cos (x) + 1 = 0, 0 \leq x < π : x = \frac{3 π}{4}

2 cos (x) + 1 = 0, 0 \leq x < π

Déplacer

1

vers la droite

2 cos (x) + 1 = 0

Soustraire

1

des deux côtés

2 cos (x) + 1 - 1 = 0 - 1

Simplifier

2 cos (x) = - 1

2 cos (x) = - 1

Diviser les deux côtés par

2

2 cos (x) = - 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 cos ( x )}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplifier

\frac{2 cos ( x )}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplifier

\frac{2 cos ( x )}{2} : cos (x)

\frac{2 cos ( x )}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= cos (x)

Simplifier

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Simplifier

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multiplier par le conjugué

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Appliquer la règle des radicaux:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

cos (x) = - \frac{2}{2}

cos (x) = - \frac{2}{2}

cos (x) = - \frac{2}{2}

Solutions générales pour

cos (x) = - \frac{2}{2}

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{3 π}{4} + 2 πn, x = \frac{5 π}{4} + 2 πn

x = \frac{3 π}{4} + 2 πn, x = \frac{5 π}{4} + 2 πn

Solutions pour la plage

0 \leq x < π

x = \frac{3 π}{4}

2 cos (x) - 1 = 0, 0 \leq x < π : x = \frac{π}{4}

2 cos (x) - 1 = 0, 0 \leq x < π

Déplacer

1

vers la droite

2 cos (x) - 1 = 0

Ajouter

1

aux deux côtés

2 cos (x) - 1 + 1 = 0 + 1

Simplifier

2 cos (x) = 1

2 cos (x) = 1

Diviser les deux côtés par

2

2 cos (x) = 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 cos ( x )}{2} = \frac{1}{2}

Simplifier

\frac{2 cos ( x )}{2} = \frac{1}{2}

Simplifier

\frac{2 cos ( x )}{2} : cos (x)

\frac{2 cos ( x )}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= cos (x)

Simplifier

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Multiplier par le conjugué

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Appliquer la règle des radicaux:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

cos (x) = \frac{2}{2}

cos (x) = \frac{2}{2}

cos (x) = \frac{2}{2}

Solutions générales pour

cos (x) = \frac{2}{2}

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Solutions pour la plage

0 \leq x < π

x = \frac{π}{4}

Combiner toutes les solutions

x = 0, x = \frac{3 π}{4}, x = \frac{π}{4}

Trouver les points non définis:

x = \frac{π}{2}

Trouver les zéros du dénominateur

cos (x) = 0

Solutions générales pour

cos (x) = 0

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Solutions pour la plage

0 \leq x < π

x = \frac{π}{2}

0, \frac{π}{4}, \frac{π}{2}, \frac{3 π}{4}

Identifier les intervalles

0 < x < \frac{π}{4}, \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{4} < x < π

Récapituler dans un tableau:

sin (x) - 2 cos^{2} (x) sin (x) cos (x) \frac{s i n ( x ) - 2 c o s ^{2} ( x ) s i n ( x )}{c o s ( x )} x = 0 0 + 0 0 < x < \frac{π}{4} - + - x = \frac{π}{4} 0 + 0 \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2} + + + x = \frac{π}{2} + 0 Ind \overset{e}{ˊ} fini \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4} + - - x = \frac{3 π}{4} 0 - 0 \frac{3 π}{4} < x < π - - + x = π 0 - 0

Identifier les intervalles qui répondent à la conditions requise :

\geq 0

x = 0 or x = \frac{π}{4} or \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2} or x = \frac{3 π}{4} or \frac{3 π}{4} < x < π or x = π

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

x = 0 or \frac{π}{4} \leq x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{4} \leq x < π or x = π