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Beliebt Trigonometrie >

2cos^3(3x)-cos(3x)<0

Lösung

2 cos^{3} (3 x) - cos (3 x) < 0

Lösung

\frac{π}{12} + \frac{2 π}{3} n < x < \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} n or \frac{π}{4} + \frac{2 π}{3} n < x < \frac{5 π}{12} + \frac{2 π}{3} n or \frac{π}{2} + \frac{2 π}{3} n < x < \frac{7 π}{12} + \frac{2 π}{3} n

Intervall-Notation

(\frac{π}{12} + \frac{2 π}{3} n, \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} n) \cup (\frac{π}{4} + \frac{2 π}{3} n, \frac{5 π}{12} + \frac{2 π}{3} n) \cup (\frac{π}{2} + \frac{2 π}{3} n, \frac{7 π}{12} + \frac{2 π}{3} n)

Dezimale

0.26179 \dots + \frac{2 π}{3} n < x < 0.52359 \dots + \frac{2 π}{3} n or 0.78539 \dots + \frac{2 π}{3} n < x < 1.30899 \dots + \frac{2 π}{3} n or 1.57079 \dots + \frac{2 π}{3} n < x < 1.83259 \dots + \frac{2 π}{3} n

Schritte zur Lösung

2 cos^{3} (3 x) - cos (3 x) < 0

Angenommen:

u = cos (3 x)

2 u^{3} - u < 0

2 u^{3} - u < 0 : u < - \frac{2}{2} or 0 < u < \frac{2}{2}

2 u^{3} - u < 0

Faktorisiere

2 u^{3} - u : u (2 u + 1) (2 u - 1)

2 u^{3} - u

Klammere gleiche Terme aus

u : u (2 u^{2} - 1)

2 u^{3} - u

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u^{2} u

= 2 u^{2} u - u

Klammere gleiche Terme aus

u

= u (2 u^{2} - 1)

= u (2 u^{2} - 1)

Faktorisiere

2 u^{2} - 1 : (2 u + 1) (2 u - 1)

2 u^{2} - 1

Schreibe

2 u^{2} - 1

um:

(2 u)^{2} - 1^{2}

2 u^{2} - 1

Wende Radikal Regel an:

a = (a)^{2}

2 = (2)^{2}

= (2)^{2} u^{2} - 1

Schreibe

1

um:

1^{2}

= (2)^{2} u^{2} - 1^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(2)^{2} u^{2} = (2 u)^{2}

= (2 u)^{2} - 1^{2}

= (2 u)^{2} - 1^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 u)^{2} - 1^{2} = (2 u + 1) (2 u - 1)

= (2 u + 1) (2 u - 1)

= u (2 u + 1) (2 u - 1)

u (2 u + 1) (2 u - 1) < 0

Identifiziere die Intervalle

Finde die Vorzeichen der Faktoren von

u (2 u + 1) (2 u - 1)

Finde die Vorzeichen von

u

u = 0

u < 0

u > 0

Finde die Vorzeichen von

2 u + 1

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{2}{2}

2 u + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

2 u = - 1

2 u = - 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u = - 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Vereinfache

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Vereinfache

\frac{2 u}{2} : u

\frac{2 u}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= u

Vereinfache

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Rationalisiere

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Wende Radikal Regel an:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

u = - \frac{2}{2}

u = - \frac{2}{2}

u = - \frac{2}{2}

2 u + 1 < 0 : u < - \frac{2}{2}

2 u + 1 < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u + 1 < 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

2 u + 1 - 1 < 0 - 1

Vereinfache

2 u < - 1

2 u < - 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u < - 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} < \frac{- 1}{2}

Vereinfache

\frac{2 u}{2} < \frac{- 1}{2}

Vereinfache

\frac{2 u}{2} : u

\frac{2 u}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= u

Vereinfache

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Rationalisiere

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Wende Radikal Regel an:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

u < - \frac{2}{2}

u < - \frac{2}{2}

u < - \frac{2}{2}

2 u + 1 > 0 : u > - \frac{2}{2}

2 u + 1 > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u + 1 > 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

2 u + 1 - 1 > 0 - 1

Vereinfache

2 u > - 1

2 u > - 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u > - 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} > \frac{- 1}{2}

Vereinfache

\frac{2 u}{2} > \frac{- 1}{2}

Vereinfache

\frac{2 u}{2} : u

\frac{2 u}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= u

Vereinfache

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Rationalisiere

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Wende Radikal Regel an:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

u > - \frac{2}{2}

u > - \frac{2}{2}

u > - \frac{2}{2}

Finde die Vorzeichen von

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{2}{2}

2 u - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

2 u = 1

2 u = 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u = 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Vereinfache

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Vereinfache

\frac{2 u}{2} : u

\frac{2 u}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= u

Vereinfache

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Wende Radikal Regel an:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

u = \frac{2}{2}

u = \frac{2}{2}

u = \frac{2}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{2}{2}

2 u - 1 < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u - 1 < 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

Vereinfache

2 u < 1

2 u < 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u < 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Vereinfache

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Vereinfache

\frac{2 u}{2} : u

\frac{2 u}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= u

Vereinfache

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Wende Radikal Regel an:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

u < \frac{2}{2}

u < \frac{2}{2}

u < \frac{2}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{2}{2}

2 u - 1 > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u - 1 > 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

Vereinfache

2 u > 1

2 u > 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u > 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Vereinfache

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Vereinfache

\frac{2 u}{2} : u

\frac{2 u}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= u

Vereinfache

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Wende Radikal Regel an:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

u > \frac{2}{2}

u > \frac{2}{2}

u > \frac{2}{2}

Fasse in einer Tabelle zusammen:

u 2 u + 1 2 u - 1 u (2 u + 1) (2 u - 1) u < - \frac{2}{2} - - - - u = - \frac{2}{2} - 0 - 0 - \frac{2}{2} < u < 0 - + - + u = 0 0 + - 0 0 < u < \frac{2}{2} + + - - u = \frac{2}{2} + + 00 u > \frac{2}{2} + + + +

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

< 0

u < - \frac{2}{2} or 0 < u < \frac{2}{2}

u < - \frac{2}{2} or 0 < u < \frac{2}{2}

u < - \frac{2}{2} or 0 < u < \frac{2}{2}

Setze in

u = cos (3 x)

ein

cos (3 x) < - \frac{2}{2} or 0 < cos (3 x) < \frac{2}{2}

cos (3 x) < - \frac{2}{2} : \frac{π}{4} + \frac{2 π}{3} n < x < \frac{5 π}{12} + \frac{2 π}{3} n

cos (3 x) < - \frac{2}{2}

Für

cos (x) < a

, wenn

- 1 < a \leq 1

dann

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (- \frac{2}{2}) + 2 πn < 3 x < 2 π - arccos (- \frac{2}{2}) + 2 πn

Wenn

a < u < b

dann

a < u and u < b

arccos (- \frac{2}{2}) + 2 πn < 3 x and 3 x < 2 π - arccos (- \frac{2}{2}) + 2 πn

arccos (- \frac{2}{2}) + 2 πn < 3 x : x > \frac{π}{4} + \frac{2 πn}{3}

arccos (- \frac{2}{2}) + 2 πn < 3 x

Tausche die Seiten

3 x > arccos (- \frac{2}{2}) + 2 πn

Vereinfache

arccos (- \frac{2}{2}) + 2 πn : \frac{3 π}{4} + 2 πn

arccos (- \frac{2}{2}) + 2 πn

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (- \frac{2}{2}) = \frac{3 π}{4}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{3 π}{4} + 2 πn

3 x > \frac{3 π}{4} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

3

3 x > \frac{3 π}{4} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 x}{3} > \frac{\frac{3 π}{4}}{3} + \frac{2 πn}{3}

Vereinfache

\frac{3 x}{3} > \frac{\frac{3 π}{4}}{3} + \frac{2 πn}{3}

Vereinfache

\frac{3 x}{3} : x

\frac{3 x}{3}

Teile die Zahlen:

\frac{3}{3} = 1

= x

Vereinfache

\frac{\frac{3 π}{4}}{3} + \frac{2 πn}{3} : \frac{π}{4} + \frac{2 πn}{3}

\frac{\frac{3 π}{4}}{3} + \frac{2 πn}{3}

\frac{\frac{3 π}{4}}{3} = \frac{π}{4}

\frac{\frac{3 π}{4}}{3}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3 π}{4 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 3 = 12

= \frac{3 π}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

3

= \frac{π}{4}

= \frac{π}{4} + \frac{2 πn}{3}

x > \frac{π}{4} + \frac{2 πn}{3}

x > \frac{π}{4} + \frac{2 πn}{3}

x > \frac{π}{4} + \frac{2 πn}{3}

3 x < 2 π - arccos (- \frac{2}{2}) + 2 πn : x < \frac{5 π}{12} + \frac{2 π}{3} n

3 x < 2 π - arccos (- \frac{2}{2}) + 2 πn

Vereinfache

2 π - arccos (- \frac{2}{2}) + 2 πn : 2 π - \frac{3 π}{4} + 2 πn

2 π - arccos (- \frac{2}{2}) + 2 πn

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (- \frac{2}{2}) = \frac{3 π}{4}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{3 π}{4} + 2 πn

3 x < 2 π - \frac{3 π}{4} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

3

3 x < 2 π - \frac{3 π}{4} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 x}{3} < \frac{2 π}{3} - \frac{\frac{3 π}{4}}{3} + \frac{2 πn}{3}

Vereinfache

\frac{3 x}{3} < \frac{2 π}{3} - \frac{\frac{3 π}{4}}{3} + \frac{2 πn}{3}

Vereinfache

\frac{3 x}{3} : x

\frac{3 x}{3}

Teile die Zahlen:

\frac{3}{3} = 1

= x

Vereinfache

\frac{2 π}{3} - \frac{\frac{3 π}{4}}{3} + \frac{2 πn}{3} : \frac{2 π}{3} - \frac{π}{4} + \frac{2 πn}{3}

\frac{2 π}{3} - \frac{\frac{3 π}{4}}{3} + \frac{2 πn}{3}

\frac{\frac{3 π}{4}}{3} = \frac{π}{4}

\frac{\frac{3 π}{4}}{3}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3 π}{4 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 3 = 12

= \frac{3 π}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

3

= \frac{π}{4}

= \frac{2 π}{3} - \frac{π}{4} + \frac{2 πn}{3}

x < \frac{2 π}{3} - \frac{π}{4} + \frac{2 πn}{3}

x < \frac{2 π}{3} - \frac{π}{4} + \frac{2 πn}{3}

Vereinfache

\frac{2 π}{3} - \frac{π}{4} : \frac{5 π}{12}

\frac{2 π}{3} - \frac{π}{4}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

3, 4 : 12

3, 4

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

3 : 3

3

3

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 3

Primfaktorzerlegung von

4 : 2 \cdot 2

4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

3

oder

4

vorkommt

= 3 \cdot 2 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 2 \cdot 2 = 12

= 12

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

12

Für

\frac{2 π}{3} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

4

\frac{2 π}{3} = \frac{2 π 4}{3 \cdot 4} = \frac{8 π}{12}

Für

\frac{π}{4} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

3

\frac{π}{4} = \frac{π 3}{4 \cdot 3} = \frac{π 3}{12}

= \frac{8 π}{12} - \frac{π 3}{12}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{8 π - π 3}{12}

Addiere gleiche Elemente:

8 π - 3 π = 5 π

= \frac{5 π}{12}

x < \frac{5 π}{12} + \frac{2 π}{3} n

x < \frac{5 π}{12} + \frac{2 π}{3} n

Kombiniere die Bereiche

x > \frac{π}{4} + \frac{2 πn}{3} and x < \frac{5 π}{12} + \frac{2 π}{3} n

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

\frac{π}{4} + \frac{2 π}{3} n < x < \frac{5 π}{12} + \frac{2 π}{3} n

0 < cos (3 x) < \frac{2}{2} : \frac{π}{12} + \frac{2 π}{3} n < x < \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} n or \frac{π}{2} + \frac{2 π}{3} n < x < \frac{7 π}{12} + \frac{2 π}{3} n

0 < cos (3 x) < \frac{2}{2}

Wenn

a < u < b

dann

a < u and u < b

0 < cos (3 x) and cos (3 x) < \frac{2}{2}

0 < cos (3 x) : - \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} n < x < \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} n

0 < cos (3 x)

Tausche die Seiten

cos (3 x) > 0

Für

cos (x) > a

, wenn

- 1 \leq a < 1

dann

- arccos (a) + 2 πn < x < arccos (a) + 2 πn

- arccos (0) + 2 πn < 3 x < arccos (0) + 2 πn

Wenn

a < u < b

dann

a < u and u < b

- arccos (0) + 2 πn < 3 x and 3 x < arccos (0) + 2 πn

- arccos (0) + 2 πn < 3 x : x > - \frac{π}{6} + \frac{2 πn}{3}

- arccos (0) + 2 πn < 3 x

Tausche die Seiten

3 x > - arccos (0) + 2 πn

Vereinfache

- arccos (0) + 2 πn : - \frac{π}{2} + 2 πn

- arccos (0) + 2 πn

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{π}{2} + 2 πn

3 x > - \frac{π}{2} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

3

3 x > - \frac{π}{2} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 x}{3} > - \frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{2 πn}{3}

Vereinfache

\frac{3 x}{3} > - \frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{2 πn}{3}

Vereinfache

\frac{3 x}{3} : x

\frac{3 x}{3}

Teile die Zahlen:

\frac{3}{3} = 1

= x

Vereinfache

- \frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{2 πn}{3} : - \frac{π}{6} + \frac{2 πn}{3}

- \frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{2 πn}{3}

\frac{\frac{π}{2}}{3} = \frac{π}{6}

\frac{\frac{π}{2}}{3}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6} + \frac{2 πn}{3}

x > - \frac{π}{6} + \frac{2 πn}{3}

x > - \frac{π}{6} + \frac{2 πn}{3}

x > - \frac{π}{6} + \frac{2 πn}{3}

3 x < arccos (0) + 2 πn : x < \frac{π}{6} + \frac{2 πn}{3}

3 x < arccos (0) + 2 πn

Vereinfache

arccos (0) + 2 πn : \frac{π}{2} + 2 πn

arccos (0) + 2 πn

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{2} + 2 πn

3 x < \frac{π}{2} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

3

3 x < \frac{π}{2} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 x}{3} < \frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{2 πn}{3}

Vereinfache

\frac{3 x}{3} < \frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{2 πn}{3}

Vereinfache

\frac{3 x}{3} : x

\frac{3 x}{3}

Teile die Zahlen:

\frac{3}{3} = 1

= x

Vereinfache

\frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{2 πn}{3} : \frac{π}{6} + \frac{2 πn}{3}

\frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{2 πn}{3}

\frac{\frac{π}{2}}{3} = \frac{π}{6}

\frac{\frac{π}{2}}{3}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{π}{6}

= \frac{π}{6} + \frac{2 πn}{3}

x < \frac{π}{6} + \frac{2 πn}{3}

x < \frac{π}{6} + \frac{2 πn}{3}

x < \frac{π}{6} + \frac{2 πn}{3}

Kombiniere die Bereiche

x > - \frac{π}{6} + \frac{2 πn}{3} and x < \frac{π}{6} + \frac{2 πn}{3}

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

- \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} n < x < \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} n

cos (3 x) < \frac{2}{2} : \frac{π}{12} + \frac{2 π}{3} n < x < \frac{7 π}{12} + \frac{2 π}{3} n

cos (3 x) < \frac{2}{2}

Für

cos (x) < a

, wenn

- 1 < a \leq 1

dann

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (\frac{2}{2}) + 2 πn < 3 x < 2 π - arccos (\frac{2}{2}) + 2 πn

Wenn

a < u < b

dann

a < u and u < b

arccos (\frac{2}{2}) + 2 πn < 3 x and 3 x < 2 π - arccos (\frac{2}{2}) + 2 πn

arccos (\frac{2}{2}) + 2 πn < 3 x : x > \frac{π}{12} + \frac{2 πn}{3}

arccos (\frac{2}{2}) + 2 πn < 3 x

Tausche die Seiten

3 x > arccos (\frac{2}{2}) + 2 πn

Vereinfache

arccos (\frac{2}{2}) + 2 πn : \frac{π}{4} + 2 πn

arccos (\frac{2}{2}) + 2 πn

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{4} + 2 πn

3 x > \frac{π}{4} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

3

3 x > \frac{π}{4} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 x}{3} > \frac{\frac{π}{4}}{3} + \frac{2 πn}{3}

Vereinfache

\frac{3 x}{3} > \frac{\frac{π}{4}}{3} + \frac{2 πn}{3}

Vereinfache

\frac{3 x}{3} : x

\frac{3 x}{3}

Teile die Zahlen:

\frac{3}{3} = 1

= x

Vereinfache

\frac{\frac{π}{4}}{3} + \frac{2 πn}{3} : \frac{π}{12} + \frac{2 πn}{3}

\frac{\frac{π}{4}}{3} + \frac{2 πn}{3}

\frac{\frac{π}{4}}{3} = \frac{π}{12}

\frac{\frac{π}{4}}{3}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{4 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 3 = 12

= \frac{π}{12}

= \frac{π}{12} + \frac{2 πn}{3}

x > \frac{π}{12} + \frac{2 πn}{3}

x > \frac{π}{12} + \frac{2 πn}{3}

x > \frac{π}{12} + \frac{2 πn}{3}

3 x < 2 π - arccos (\frac{2}{2}) + 2 πn : x < \frac{7 π}{12} + \frac{2 π}{3} n

3 x < 2 π - arccos (\frac{2}{2}) + 2 πn

Vereinfache

2 π - arccos (\frac{2}{2}) + 2 πn : 2 π - \frac{π}{4} + 2 πn

2 π - arccos (\frac{2}{2}) + 2 πn

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{π}{4} + 2 πn

3 x < 2 π - \frac{π}{4} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

3

3 x < 2 π - \frac{π}{4} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 x}{3} < \frac{2 π}{3} - \frac{\frac{π}{4}}{3} + \frac{2 πn}{3}

Vereinfache

\frac{3 x}{3} < \frac{2 π}{3} - \frac{\frac{π}{4}}{3} + \frac{2 πn}{3}

Vereinfache

\frac{3 x}{3} : x

\frac{3 x}{3}

Teile die Zahlen:

\frac{3}{3} = 1

= x

Vereinfache

\frac{2 π}{3} - \frac{\frac{π}{4}}{3} + \frac{2 πn}{3} : \frac{2 π}{3} - \frac{π}{12} + \frac{2 πn}{3}

\frac{2 π}{3} - \frac{\frac{π}{4}}{3} + \frac{2 πn}{3}

\frac{\frac{π}{4}}{3} = \frac{π}{12}

\frac{\frac{π}{4}}{3}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{4 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 3 = 12

= \frac{π}{12}

= \frac{2 π}{3} - \frac{π}{12} + \frac{2 πn}{3}

x < \frac{2 π}{3} - \frac{π}{12} + \frac{2 πn}{3}

x < \frac{2 π}{3} - \frac{π}{12} + \frac{2 πn}{3}

Vereinfache

\frac{2 π}{3} - \frac{π}{12} : \frac{7 π}{12}

\frac{2 π}{3} - \frac{π}{12}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

3, 12 : 12

3, 12

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

3 : 3

3

3

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 3

Primfaktorzerlegung von

12 : 2 \cdot 2 \cdot 3

12

12

ist durch

212 = 6 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

3

oder

12

vorkommt

= 3 \cdot 2 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 2 \cdot 2 = 12

= 12

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

12

Für

\frac{2 π}{3} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

4

\frac{2 π}{3} = \frac{2 π 4}{3 \cdot 4} = \frac{8 π}{12}

= \frac{8 π}{12} - \frac{π}{12}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{8 π - π}{12}

Addiere gleiche Elemente:

8 π - π = 7 π

= \frac{7 π}{12}

x < \frac{7 π}{12} + \frac{2 π}{3} n

x < \frac{7 π}{12} + \frac{2 π}{3} n

Kombiniere die Bereiche

x > \frac{π}{12} + \frac{2 πn}{3} and x < \frac{7 π}{12} + \frac{2 π}{3} n

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

\frac{π}{12} + \frac{2 π}{3} n < x < \frac{7 π}{12} + \frac{2 π}{3} n

Kombiniere die Bereiche

- \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} n < x < \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} n and \frac{π}{12} + \frac{2 π}{3} n < x < \frac{7 π}{12} + \frac{2 π}{3} n

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

\frac{π}{12} + \frac{2 π}{3} n < x < \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} n or \frac{π}{2} + \frac{2 π}{3} n < x < \frac{7 π}{12} + \frac{2 π}{3} n

Kombiniere die Bereiche

\frac{π}{4} + \frac{2 π}{3} n < x < \frac{5 π}{12} + \frac{2 π}{3} n or (\frac{π}{12} + \frac{2 π}{3} n < x < \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} n or \frac{π}{2} + \frac{2 π}{3} n < x < \frac{7 π}{12} + \frac{2 π}{3} n)

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

\frac{π}{12} + \frac{2 π}{3} n < x < \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} n or \frac{π}{4} + \frac{2 π}{3} n < x < \frac{5 π}{12} + \frac{2 π}{3} n or \frac{π}{2} + \frac{2 π}{3} n < x < \frac{7 π}{12} + \frac{2 π}{3} n

Beliebte Beispiele

0<= sin(pix)

0 \leq sin (π x)

2cos^2(x)+sin(x)>2

2 cos^{2} (x) + sin (x) > 2

0.5<= sin(30t)

0.5 \leq sin (30 t)

sin(x)-sqrt(3)cos(x)>sqrt(2)

sin (x) - 3 cos (x) > 2

cos(x)<1+sin(x)

cos (x) < 1 + sin (x)