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Populaire Trigonométrie >

2tan(2x)<= 3tan(x)

Solution

2 tan (2 x) \leq 3 tan (x)

Solution

\frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn or \frac{3 π}{4} + πn < x \leq π + πn

La notation des intervalles

(\frac{π}{4} + πn, \frac{π}{2} + πn) \cup (\frac{3 π}{4} + πn, π + πn]

Décimale

0.78539 \dots + πn < x < 1.57079 \dots + πn or 2.35619 \dots + πn < x \leq 3.14159 \dots + πn

étapes des solutions

2 tan (2 x) \leq 3 tan (x)

Déplacer

3 tan (x)

vers la gauche

2 tan (2 x) \leq 3 tan (x)

Soustraire

3 tan (x)

des deux côtés

2 tan (2 x) - 3 tan (x) \leq 3 tan (x) - 3 tan (x)

2 tan (2 x) - 3 tan (x) \leq 0

2 tan (2 x) - 3 tan (x) \leq 0

Périodicité de

2 tan (2 x) - 3 tan (x) : π

La périodicité composée de la somme des fonctions périodiques est le plus petit commun multiple des périodes

2 tan (2 x), 3 tan (x)

Périodicité de

2 tan (2 x) : \frac{π}{2}

Périodicité de

a \cdot tan (b x + c) + d = \frac{p e ˊ riodicit e ˊ de tan ( x )}{∣ b ∣}

La périodicité de

tan (x)

est

π

= \frac{π}{∣ 2 ∣}

Simplifier

= \frac{π}{2}

Périodicité de

3 tan (x) : π

Périodicité de

a \cdot tan (b x + c) + d = \frac{p e ˊ riodicit e ˊ de tan ( x )}{∣ b ∣}

La périodicité de

tan (x)

est

π

= \frac{π}{∣ 1 ∣}

Simplifier

= π

Combiner des périodes :

\frac{π}{2}, π

= π

Exprimer avec sinus, cosinus

2 tan (2 x) - 3 tan (x) \leq 0

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

2 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 3 tan (x) \leq 0

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

2 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} \leq 0

2 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} \leq 0

Simplifier

2 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{2 sin ( 2 x ) cos ( x ) - 3 sin ( x ) cos ( 2 x )}{cos ( 2 x ) cos ( x )}

2 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Multiplier

2 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} : \frac{2 sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

2 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( 2 x ) \cdot 2}{cos ( 2 x )}

= \frac{2 sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Multiplier

3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{3 sin ( x )}{cos ( x )}

3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( x ) \cdot 3}{cos ( x )}

= \frac{2 sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - \frac{3 sin ( x )}{cos ( x )}

Plus petit commun multiple de

cos (2 x), cos (x) : cos (2 x) cos (x)

cos (2 x), cos (x)

Plus petit commun multiple (PPCM)

Calculer une expression composée de facteurs qui apparaissent soit dans

cos (2 x)

ou dans

cos (x)

= cos (2 x) cos (x)

Ajuster des fractions sur la base du PPCM

Multiplier chaque numérateur par le même montant nécessaire pour multiplier son

dénominateur correspondant pour le mettre au PPCM

cos (2 x) cos (x)

Pour

\frac{sin ( 2 x ) \cdot 2}{cos ( 2 x )} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

cos (x)

\frac{sin ( 2 x ) \cdot 2}{cos ( 2 x )} = \frac{sin ( 2 x ) \cdot 2 cos ( x )}{cos ( 2 x ) cos ( x )}

Pour

\frac{sin ( x ) \cdot 3}{cos ( x )} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

cos (2 x)

\frac{sin ( x ) \cdot 3}{cos ( x )} = \frac{sin ( x ) \cdot 3 cos ( 2 x )}{cos ( x ) cos ( 2 x )}

= \frac{sin ( 2 x ) \cdot 2 cos ( x )}{cos ( 2 x ) cos ( x )} - \frac{sin ( x ) \cdot 3 cos ( 2 x )}{cos ( x ) cos ( 2 x )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( 2 x ) \cdot 2 cos ( x ) - sin ( x ) \cdot 3 cos ( 2 x )}{cos ( 2 x ) cos ( x )}

\frac{2 sin ( 2 x ) cos ( x ) - 3 sin ( x ) cos ( 2 x )}{cos ( 2 x ) cos ( x )} \leq 0

Trouver les points zéros et les points non définis de

\frac{2 sin ( 2 x ) cos ( x ) - 3 sin ( x ) cos ( 2 x )}{cos ( 2 x ) cos ( x )}

pour

0 \leq x < π

Pour trouver les points zéros, définir l'inégalité à zéro

\frac{2 sin ( 2 x ) cos ( x ) - 3 sin ( x ) cos ( 2 x )}{cos ( 2 x ) cos ( x )} = 0

\frac{2 sin ( 2 x ) cos ( x ) - 3 sin ( x ) cos ( 2 x )}{cos ( 2 x ) cos ( x )} = 0, 0 \leq x < π : x = 0

\frac{2 sin ( 2 x ) cos ( x ) - 3 sin ( x ) cos ( 2 x )}{cos ( 2 x ) cos ( x )} = 0, 0 \leq x < π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

2 sin (2 x) cos (x) - 3 sin (x) cos (2 x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

2 cos (x) sin (2 x) - 3 cos (2 x) sin (x)

Utiliser l'identité d'angle double:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= 2 cos (x) \cdot 2 sin (x) cos (x) - 3 cos (2 x) sin (x)

2 cos (x) \cdot 2 sin (x) cos (x) = 4 cos^{2} (x) sin (x)

2 cos (x) \cdot 2 sin (x) cos (x)

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= 4 cos (x) sin (x) cos (x)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= 4 sin (x) cos^{1 + 1} (x)

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= 4 sin (x) cos^{2} (x)

= 4 cos^{2} (x) sin (x) - 3 cos (2 x) sin (x)

- 3 cos (2 x) sin (x) + 4 cos^{2} (x) sin (x) = 0

Factoriser

- 3 cos (2 x) sin (x) + 4 cos^{2} (x) sin (x) : sin (x) (- 3 cos (2 x) + 4 cos^{2} (x))

- 3 cos (2 x) sin (x) + 4 cos^{2} (x) sin (x)

Factoriser le terme commun

sin (x)

= sin (x) (- 3 cos (2 x) + 4 cos^{2} (x))

sin (x) (- 3 cos (2 x) + 4 cos^{2} (x)) = 0

En solutionnant chaque partie séparément

sin (x) = 0 or - 3 cos (2 x) + 4 cos^{2} (x) = 0

sin (x) = 0, 0 \leq x < π : x = 0

sin (x) = 0, 0 \leq x < π

Solutions générales pour

sin (x) = 0

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Résoudre

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Solutions pour la plage

0 \leq x < π

x = 0

- 3 cos (2 x) + 4 cos^{2} (x) = 0, 0 \leq x < π :

Aucune solution

- 3 cos (2 x) + 4 cos^{2} (x) = 0, 0 \leq x < π

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

- 3 cos (2 x) + 4 cos^{2} (x)

Utiliser l'identité d'angle double:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= - 3 (2 cos^{2} (x) - 1) + 4 cos^{2} (x)

Simplifier

- 3 (2 cos^{2} (x) - 1) + 4 cos^{2} (x) : - 2 cos^{2} (x) + 3

- 3 (2 cos^{2} (x) - 1) + 4 cos^{2} (x)

Développer

- 3 (2 cos^{2} (x) - 1) : - 6 cos^{2} (x) + 3

- 3 (2 cos^{2} (x) - 1)

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = - 3, b = 2 cos^{2} (x), c = 1

= - 3 \cdot 2 cos^{2} (x) - (- 3) \cdot 1

Appliquer les règles des moins et des plus

- (- a) = a

= - 3 \cdot 2 cos^{2} (x) + 3 \cdot 1

Simplifier

- 3 \cdot 2 cos^{2} (x) + 3 \cdot 1 : - 6 cos^{2} (x) + 3

- 3 \cdot 2 cos^{2} (x) + 3 \cdot 1

Multiplier les nombres :

3 \cdot 2 = 6

= - 6 cos^{2} (x) + 3 \cdot 1

Multiplier les nombres :

3 \cdot 1 = 3

= - 6 cos^{2} (x) + 3

= - 6 cos^{2} (x) + 3

= - 6 cos^{2} (x) + 3 + 4 cos^{2} (x)

Simplifier

- 6 cos^{2} (x) + 3 + 4 cos^{2} (x) : - 2 cos^{2} (x) + 3

- 6 cos^{2} (x) + 3 + 4 cos^{2} (x)

Grouper comme termes

= - 6 cos^{2} (x) + 4 cos^{2} (x) + 3

Additionner les éléments similaires :

- 6 cos^{2} (x) + 4 cos^{2} (x) = - 2 cos^{2} (x)

= - 2 cos^{2} (x) + 3

= - 2 cos^{2} (x) + 3

= - 2 cos^{2} (x) + 3

3 - 2 cos^{2} (x) = 0

Résoudre par substitution

3 - 2 cos^{2} (x) = 0

Soit :

cos (x) = u

3 - 2 u^{2} = 0

3 - 2 u^{2} = 0 : u = \frac{3}{2}, u = - \frac{3}{2}

3 - 2 u^{2} = 0

Déplacer

3

vers la droite

3 - 2 u^{2} = 0

Soustraire

3

des deux côtés

3 - 2 u^{2} - 3 = 0 - 3

Simplifier

- 2 u^{2} = - 3

- 2 u^{2} = - 3

Diviser les deux côtés par

- 2

- 2 u^{2} = - 3

Diviser les deux côtés par

- 2

\frac{- 2 u ^{2}}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}

Simplifier

u^{2} = \frac{3}{2}

u^{2} = \frac{3}{2}

Pour

x^{2} = f (a)

les solutions sont

x = f (a), - f (a)

u = \frac{3}{2}, u = - \frac{3}{2}

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) = \frac{3}{2}, cos (x) = - \frac{3}{2}

cos (x) = \frac{3}{2}, cos (x) = - \frac{3}{2}

cos (x) = \frac{3}{2}, 0 \leq x < π :

Aucune solution

cos (x) = \frac{3}{2}, 0 \leq x < π

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Aucune solution

cos (x) = - \frac{3}{2}, 0 \leq x < π :

Aucune solution

cos (x) = - \frac{3}{2}, 0 \leq x < π

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Aucune solution

Combiner toutes les solutions

Aucune solution

Combiner toutes les solutions

x = 0

Trouver les points non définis:

x = \frac{π}{4}, x = \frac{3 π}{4}, x = \frac{π}{2}

Trouver les zéros du dénominateur

cos (2 x) cos (x) = 0

En solutionnant chaque partie séparément

cos (2 x) = 0 or cos (x) = 0

cos (2 x) = 0, 0 \leq x < π : x = \frac{π}{4}, x = \frac{3 π}{4}

cos (2 x) = 0, 0 \leq x < π

Solutions générales pour

cos (2 x) = 0

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn, 2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn, 2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Résoudre

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn : x = \frac{π}{4} + πn

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn

Diviser les deux côtés par

2

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplifier

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplifier

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplifier

\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{π}{4} + πn

\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{2}}{2} = \frac{π}{4}

\frac{\frac{π}{2}}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{π}{4}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

Résoudre

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn : x = \frac{3 π}{4} + πn

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Diviser les deux côtés par

2

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplifier

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplifier

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplifier

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{3 π}{4} + πn

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} = \frac{3 π}{4}

\frac{\frac{3 π}{2}}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3 π}{2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{3 π}{4}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn, x = \frac{3 π}{4} + πn

Solutions pour la plage

0 \leq x < π

x = \frac{π}{4}, x = \frac{3 π}{4}

cos (x) = 0, 0 \leq x < π : x = \frac{π}{2}

cos (x) = 0, 0 \leq x < π

Solutions générales pour

cos (x) = 0

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Solutions pour la plage

0 \leq x < π

x = \frac{π}{2}

Combiner toutes les solutions

x = \frac{π}{4}, x = \frac{3 π}{4}, x = \frac{π}{2}

0, \frac{π}{4}, \frac{π}{2}, \frac{3 π}{4}

Identifier les intervalles

0 < x < \frac{π}{4}, \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{4} < x < π

Récapituler dans un tableau:

2 sin (2 x) cos (x) - 3 sin (x) cos (2 x) cos (2 x) cos (x) \frac{2 s i n ( 2 x ) c o s ( x ) - 3 s i n ( x ) c o s ( 2 x )}{c o s ( 2 x ) c o s ( x )} x = 0 0 + + 0 0 < x < \frac{π}{4} + + + + x = \frac{π}{4} + 0 + Ind \overset{e}{ˊ} fini \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2} + - + - x = \frac{π}{2} + - 0 Ind \overset{e}{ˊ} fini \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4} + - - + x = \frac{3 π}{4} + 0 - Ind \overset{e}{ˊ} fini \frac{3 π}{4} < x < π + + - - x = π 0 + - 0

Identifier les intervalles qui répondent à la conditions requise :

\leq 0

x = 0 or \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{4} < x < π or x = π

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

x = 0 or \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{4} < x < π or x = π

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

x = 0

\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}

x = 0 or \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

x = 0 or \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}

\frac{3 π}{4} < x < π

x = 0 or \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{4} < x < π

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

x = 0 or \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{4} < x < π

x = π

x = 0 or \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{4} < x \leq π

x = 0 or \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{4} < x \leq π

Appliquer la périodicité de

2 tan (2 x) - 3 tan (x)

\frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn or \frac{3 π}{4} + πn < x \leq π + πn

Exemples populaires

1/((sin(x))^2)< 4/3 ,0<x< pi/(15)

\frac{1}{( sin ( x ) ) ^{2}} < \frac{4}{3}, 0 < x < \frac{π}{15}

cos^2(x)<sin^2(x)

cos^{2} (x) < sin^{2} (x)

sin(x-45)> 1/2 sqrt(3),0<= x<= 360

sin (x - 4 5^{\circ}) > \frac{1}{2} 3, 0^{\circ} \leq x \leq 36 0^{\circ}

2sin^2(x)>-1

2 sin^{2} (x) > - 1

sin(θ)+cos(θ)+1>0

sin (θ) + cos (θ) + 1 > 0