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Popular Trigonometría >

sin(x)> 1/(sin(x))

Solución

sin (x) > \frac{1}{sin ( x )}

Solución

π + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

Notación de intervalos

(π + 2 πn, \frac{3 π}{2} + 2 πn) \cup (\frac{3 π}{2} + 2 πn, 2 π + 2 πn)

Decimal

3.14159 \dots + 2 πn < x < 4.71238 \dots + 2 πn or 4.71238 \dots + 2 πn < x < 6.28318 \dots + 2 πn

Pasos de solución

sin (x) > \frac{1}{sin ( x )}

Sea:

u = sin (x)

u > \frac{1}{u}

u > \frac{1}{u} : - 1 < u < 0 or u > 1

u > \frac{1}{u}

Reescribir en la forma estándar

u > \frac{1}{u}

Restar

\frac{1}{u}

de ambos lados

u - \frac{1}{u} > \frac{1}{u} - \frac{1}{u}

Simplificar

u - \frac{1}{u} > 0

Simplificar

u - \frac{1}{u} : \frac{u ^{2} - 1}{u}

u - \frac{1}{u}

Convertir a fracción:

u = \frac{uu}{u}

= \frac{uu}{u} - \frac{1}{u}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{uu - 1}{u}

uu - 1 = u^{2} - 1

uu - 1

uu = u^{2}

uu

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= u^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= u^{2}

= u^{2} - 1

= \frac{u ^{2} - 1}{u}

\frac{u ^{2} - 1}{u} > 0

\frac{u ^{2} - 1}{u} > 0

Factorizar

\frac{u ^{2} - 1}{u} : \frac{( u + 1 ) ( u - 1 )}{u}

\frac{u ^{2} - 1}{u}

Factorizar

u^{2} - 1 : (u + 1) (u - 1)

u^{2} - 1

Reescribir

1

como

1^{2}

= u^{2} - 1^{2}

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

u^{2} - 1^{2} = (u + 1) (u - 1)

= (u + 1) (u - 1)

= \frac{( u + 1 ) ( u - 1 )}{u}

\frac{( u + 1 ) ( u - 1 )}{u} > 0

Identificar los intervalos

Encontrar los signos de los factores de

\frac{( u + 1 ) ( u - 1 )}{u}

Encontrar los signos de

u + 1

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

u + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

Desplace

1

a la derecha

u + 1 < 0

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - 1 < 0 - 1

Simplificar

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

Desplace

1

a la derecha

u + 1 > 0

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - 1 > 0 - 1

Simplificar

u > - 1

u > - 1

Encontrar los signos de

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

u - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

Desplace

1

a la derecha

u - 1 < 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 < 0 + 1

Simplificar

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

Desplace

1

a la derecha

u - 1 > 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 > 0 + 1

Simplificar

u > 1

u > 1

Encontrar los signos de

u

u = 0

u < 0

u > 0

Encontrar puntos de singularidad

Encontrar los ceros del denominador

u : u = 0

Resumir en una tabla:

u + 1 u - 1 u \frac{( u + 1 ) ( u - 1 )}{u} u < - 1 - - - - u = - 1 0 - - 0 - 1 < u < 0 + - - + u = 0 + - 0 Sin definir 0 < u < 1 + - + - u = 1 + 0 + 0 u > 1 + + + +

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

> 0

- 1 < u < 0 or u > 1

- 1 < u < 0 or u > 1

- 1 < u < 0 or u > 1

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

- 1 < sin (x) < 0 or sin (x) > 1

- 1 < sin (x) < 0 : π + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

- 1 < sin (x) < 0

a < u < b

entonces

a < u and u < b

- 1 < sin (x) and sin (x) < 0

- 1 < sin (x) : - \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

- 1 < sin (x)

Intercambiar lados

sin (x) > - 1

Para

sin (x) > a

, si

- 1 \leq a < 1

entonces

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (- 1) + 2 πn < x < π - arcsin (- 1) + 2 πn

Simplificar

arcsin (- 1) : - \frac{π}{2}

arcsin (- 1)

Utilizar la siguiente propiedad:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- 1) = - arcsin (1)

= - arcsin (1)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

arcsin (1)

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

= - \frac{π}{2}

Simplificar

π - arcsin (- 1) : \frac{3 π}{2}

π - arcsin (- 1)

arcsin (- 1) = - \frac{π}{2}

arcsin (- 1)

Utilizar la siguiente propiedad:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- 1) = - arcsin (1)

= - arcsin (1)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

arcsin (1)

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

= - \frac{π}{2}

= π - (- \frac{π}{2})

Simplificar

π - (- \frac{π}{2})

Aplicar la regla

- (- a) = a

= π + \frac{π}{2}

Convertir a fracción:

π = \frac{π 2}{2}

= \frac{π 2}{2} + \frac{π}{2}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 2 + π}{2}

Sumar elementos similares:

2 π + π = 3 π

= \frac{3 π}{2}

= \frac{3 π}{2}

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) < 0 : - π + 2 πn < x < 2 πn

sin (x) < 0

Para

sin (x) < a

, si

- 1 < a \leq 1

entonces

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (0) + 2 πn < x < arcsin (0) + 2 πn

Simplificar

- π - arcsin (0) : - π

- π - arcsin (0)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - 0

- π - 0 = - π

= - π

Simplificar

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

- π + 2 πn < x < 0 + 2 πn

Simplificar

- π + 2 πn < x < 2 πn

Combinar los rangos

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn and - π + 2 πn < x < 2 πn

Mezclar intervalos sobrepuestos

π + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

sin (x) > 1 :

Falso para todo

x \in R

sin (x) > 1

Rango de

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definición de rango de función

El rango de la función basica

sin

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) > 1 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 :

Falso

Sea

y

sin (x)

Combinar los rangos

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

Mezclar intervalos sobrepuestos

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

La intersección de dos intervalos, es el conjunto de numérico común a los dos intervalos

y > 1

- 1 \leq y \leq 1

Falso para todo y \in R

Falso para todo y \in R

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para x \in R

Falso para todo x \in R

Combinar los rangos

(π + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn) or Falso para todo x \in R

Mezclar intervalos sobrepuestos

π + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

Ejemplos populares

<=-1tan(x/2-pi/3)<= sqrt(3)

\leq - 1 tan (\frac{x}{2} - \frac{π}{3}) \leq 3

2sin(x)cos(x)>= (sqrt(3))/2

2 sin (x) cos (x) \geq \frac{3}{2}

(sin(2θ))/2 <= 0.451

\frac{sin ( 2 θ )}{2} \leq 0.451

cot((3pi+x)/2)<= 1

cot (\frac{3 π + x}{2}) \leq 1

cos(2x+30)> 1/2 ,0<= x<= 180

cos (2 x + 3 0^{\circ}) > \frac{1}{2}, 0 \leq x \leq 18 0^{\circ}