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Beliebt Trigonometrie >

cos^2(x)+sin(x)+1>= 0

Lösung

cos^{2} (x) + sin (x) + 1 \geq 0

Lösung

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Intervall-Notation

(- \infty, \infty)

Schritte zur Lösung

cos^{2} (x) + sin (x) + 1 \geq 0

Verwende die folgenden Identitäten:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Deshalb

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) + sin (x) + 1 \geq 0

Vereinfache

sin (x) - sin^{2} (x) + 2 \geq 0

Angenommen:

u = sin (x)

u - u^{2} + 2 \geq 0

u - u^{2} + 2 \geq 0 : - 1 \leq u \leq 2

u - u^{2} + 2 \geq 0

Faktorisiere

u - u^{2} + 2 : - (u + 1) (u - 2)

u - u^{2} + 2

Klammere gleiche Terme aus

- 1

= - (u^{2} - u - 2)

Faktorisiere

u^{2} - u - 2 : (u + 1) (u - 2)

u^{2} - u - 2

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c

= u^{2} - u - 2

Zerlege die Ausdrücke in Gruppen

u^{2} - u - 2

Definition

Faktoren von

2 : 1, 2

2

Teiler (Faktoren)

Finde die Primfaktoren von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Addiere 1

1

Die Faktoren von

2

1, 2

Negative Faktoren von

2 : - 1, - 2

Multipliziere die Faktoren mit

- 1

um die negativen Faktoren zu erhalten

- 1, - 2

Für alle zwei Faktoren gilt

u * v = - 2,

prüfe, ob

u + v = - 1

Prüfe

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

WahrPrüfe

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

Falsch

u = 1, v = - 2

Gruppiere

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(u^{2} + u) + (- 2 u - 2)

= (u^{2} + u) + (- 2 u - 2)

Klammere

u

aus

u^{2} + u

aus

: u (u + 1)

u^{2} + u

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= uu + u

Klammere gleiche Terme aus

u

= u (u + 1)

Klammere

- 2

aus

- 2 u - 2

aus

: - 2 (u + 1)

- 2 u - 2

Klammere gleiche Terme aus

- 2

= - 2 (u + 1)

= u (u + 1) - 2 (u + 1)

Klammere gleiche Terme aus

u + 1

= (u + 1) (u - 2)

= - (u + 1) (u - 2)

- (u + 1) (u - 2) \geq 0

Multipliziere beide Seiten mit

- 1

(drehe die Ungleichung um)

(- (u + 1) (u - 2)) (- 1) \leq 0 \cdot (- 1)

Vereinfache

(u + 1) (u - 2) \leq 0

Identifiziere die Intervalle

Finde die Vorzeichen der Faktoren von

(u + 1) (u - 2)

Finde die Vorzeichen von

u + 1

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u + 1 < 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u + 1 - 1 < 0 - 1

Vereinfache

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u + 1 > 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u + 1 - 1 > 0 - 1

Vereinfache

u > - 1

u > - 1

Finde die Vorzeichen von

u - 2

u - 2 = 0 : u = 2

u - 2 = 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

u - 2 = 0

Füge

2

zu beiden Seiten hinzu

u - 2 + 2 = 0 + 2

Vereinfache

u = 2

u = 2

u - 2 < 0 : u < 2

u - 2 < 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

u - 2 < 0

Füge

2

zu beiden Seiten hinzu

u - 2 + 2 < 0 + 2

Vereinfache

u < 2

u < 2

u - 2 > 0 : u > 2

u - 2 > 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

u - 2 > 0

Füge

2

zu beiden Seiten hinzu

u - 2 + 2 > 0 + 2

Vereinfache

u > 2

u > 2

Fasse in einer Tabelle zusammen:

u + 1 u - 2 (u + 1) (u - 2) u < - 1 - - + u = - 1 0 - 0 - 1 < u < 2 + - - u = 2 + 00 u > 2 + + +

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

\leq 0

u = - 1 or - 1 < u < 2 or u = 2

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

- 1 \leq u < 2 or u = 2

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

u = - 1

oder

- 1 < u < 2

- 1 \leq u < 2

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

- 1 \leq u < 2

oder

u = 2

- 1 \leq u \leq 2

- 1 \leq u \leq 2

- 1 \leq u \leq 2

- 1 \leq u \leq 2

Setze in

u = sin (x)

ein

- 1 \leq sin (x) \leq 2

Wenn

a \leq u \leq b

dann

a \leq u and u \leq b

- 1 \leq sin (x) and sin (x) \leq 2

- 1 \leq sin (x) :

Wahr für alle

x \in R

- 1 \leq sin (x)

Tausche die Seiten

sin (x) \geq - 1

Bereich von

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definition Funktionsbereich

The range of the basic

sin

function is

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \geq - 1 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Angenommen

y = sin (x)

Kombiniere die Bereiche

y \geq - 1 and - 1 \leq y \leq 1

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

y \geq - 1 and - 1 \leq y \leq 1

Die Schnittmenge zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in beiden Intervallen liegen

y \geq - 1

und

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R

sin (x) \leq 2 :

Wahr für alle

x \in R

sin (x) \leq 2

Bereich von

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definition Funktionsbereich

The range of the basic

sin

function is

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \leq 2 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Angenommen

y = sin (x)

Kombiniere die Bereiche

y \leq 2 and - 1 \leq y \leq 1

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

y \leq 2 and - 1 \leq y \leq 1

Die Schnittmenge zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in beiden Intervallen liegen

y \leq 2

und

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Kombiniere die Bereiche

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R and Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R and Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Die Schnittmenge zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in beiden Intervallen liegen

Wahr für alle

x \in R

und

Wahr für alle

x \in R

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Beliebte Beispiele

sin(3x)-(sqrt(2))/2 >= 0

sin (3 x) - \frac{2}{2} \geq 0

cos(2x)<cos(4x)

cos (2 x) < cos (4 x)

(sin(x))/(4cos^2(x)-1)<0

\frac{sin ( x )}{4 cos ^{2} ( x ) - 1} < 0

(arctan(x))>0

(arctan (x)) > 0

tan(θ)<0,sin(θ)>0

tan (θ) < 0, sin (θ) > 0