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Popular >

sec^2(θ)tan(θ)>= 2tan(θ)

Solución

sec^{2} (θ) tan (θ) \geq 2 tan (θ)

Solución

\frac{π}{4} + πn \leq θ < \frac{π}{2} + πn or \frac{3 π}{4} + πn \leq θ \leq π + πn

Notación de intervalos

[\frac{π}{4} + πn, \frac{π}{2} + πn) \cup [\frac{3 π}{4} + πn, π + πn]

Notación decimal

0.78539 \dots + πn \leq θ < 1.57079 \dots + πn or 2.35619 \dots + πn \leq θ \leq 3.14159 \dots + πn

Pasos de solución

sec^{2} (θ) tan (θ) \geq 2 tan (θ)

Mover

2 tan (θ)

al lado izquierdo

sec^{2} (θ) tan (θ) \geq 2 tan (θ)

Restar

2 tan (θ)

de ambos lados

sec^{2} (θ) tan (θ) - 2 tan (θ) \geq 2 tan (θ) - 2 tan (θ)

sec^{2} (θ) tan (θ) - 2 tan (θ) \geq 0

sec^{2} (θ) tan (θ) - 2 tan (θ) \geq 0

Periodicidad de

sec^{2} (θ) tan (θ) - 2 tan (θ) : π

La periodicidad combinada de la suma de funciones periódicas es el mínimo común múltiplo de los períodos

sec^{2} (θ) tan (θ), 2 tan (θ)

Periodicidad de

sec^{2} (θ) tan (θ) : π

sec^{2} (θ) tan (θ)

esta compuesta de las siguientes funciones y periodos:

sec (θ)

con periodicidad de

2 π

La periodicidad compuesta es:

π

Periodicidad de

2 tan (θ) : π

La periodicidad de

a \cdot : t an (b x + c) + d = \frac{periodicidad de tan ( x )}{∣ b ∣}

La periodicidad de

: t an (x)

π

= \frac{π}{∣ 1 ∣}

Simplificar

= π

Combinar períodos:

π, π

= π

Expresar con seno, coseno

sec^{2} (θ) tan (θ) - 2 tan (θ) \geq 0

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2} tan (θ) - 2 tan (θ) \geq 0

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2} \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - 2 \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} \geq 0

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2} \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - 2 \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} \geq 0

Simplificar

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2} \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - 2 \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{sin ( θ ) - 2 cos ^{2} ( θ ) sin ( θ )}{cos ^{3} ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2} \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - 2 \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2} \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} = \frac{sin ( θ )}{cos ^{3} ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2} \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( θ ) ( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{cos ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( θ )}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{\frac{1}{c o s ^{2} ( θ )} sin ( θ )}{cos ( θ )}

Multiplicar

sin (θ) \frac{1}{cos ^{2} ( θ )} : \frac{sin ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

sin (θ) \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Multiplicar:

1 \cdot sin (θ) = sin (θ)

= \frac{sin ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{\frac{s i n ( θ )}{c o s ^{2} ( θ )}}{cos ( θ )}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{sin ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) cos ( θ )}

cos^{2} (θ) cos (θ) = cos^{3} (θ)

cos^{2} (θ) cos (θ)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos^{2} (θ) cos (θ) = cos^{2 + 1} (θ)

= cos^{2 + 1} (θ)

Sumar:

2 + 1 = 3

= cos^{3} (θ)

= \frac{sin ( θ )}{cos ^{3} ( θ )}

2 \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} = \frac{2 sin ( θ )}{cos ( θ )}

2 \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( θ ) \cdot 2}{cos ( θ )}

= \frac{sin ( θ )}{cos ^{3} ( θ )} - \frac{2 sin ( θ )}{cos ( θ )}

Mínimo común múltiplo de

cos^{3} (θ), cos (θ) : cos^{3} (θ)

cos^{3} (θ), cos (θ)

Mínimo común múltiplo (MCM)

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan tanto en

cos^{3} (θ)

cos (θ)

= cos^{3} (θ)

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{sin ( θ ) \cdot 2}{cos ( θ )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

cos^{2} (θ)

\frac{sin ( θ ) \cdot 2}{cos ( θ )} = \frac{sin ( θ ) \cdot 2 cos ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) cos ^{2} ( θ )} = \frac{sin ( θ ) \cdot 2 cos ^{2} ( θ )}{cos ^{3} ( θ )}

= \frac{sin ( θ )}{cos ^{3} ( θ )} - \frac{sin ( θ ) \cdot 2 cos ^{2} ( θ )}{cos ^{3} ( θ )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( θ ) - sin ( θ ) \cdot 2 cos ^{2} ( θ )}{cos ^{3} ( θ )}

\frac{sin ( θ ) - 2 cos ^{2} ( θ ) sin ( θ )}{cos ^{3} ( θ )} \geq 0

Encontrar los ceros y puntos indefinidos de

\frac{sin ( θ ) - 2 cos ^{2} ( θ ) sin ( θ )}{cos ^{3} ( θ )}

para

0 \leq θ < π

Para encontrar los ceros, transformar la desigualdad a 0

\frac{sin ( θ ) - 2 cos ^{2} ( θ ) sin ( θ )}{cos ^{3} ( θ )} = 0

\frac{sin ( θ ) - 2 cos ^{2} ( θ ) sin ( θ )}{cos ^{3} ( θ )} = 0, 0 \leq θ < π : θ = 0, θ = \frac{3 π}{4}, θ = \frac{π}{4}

\frac{sin ( θ ) - 2 cos ^{2} ( θ ) sin ( θ )}{cos ^{3} ( θ )} = 0, 0 \leq θ < π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

sin (θ) - 2 cos^{2} (θ) sin (θ) = 0

Factorizar

sin (θ) - 2 cos^{2} (θ) sin (θ) : - sin (θ) (2 cos (θ) + 1) (2 cos (θ) - 1)

sin (θ) - 2 cos^{2} (θ) sin (θ)

Factorizar el termino común

- sin (θ)

= - sin (θ) (- 1 + 2 cos^{2} (θ))

Factorizar

2 cos^{2} (θ) - 1 : (2 cos (θ) + 1) (2 cos (θ) - 1)

2 cos^{2} (θ) - 1

Reescribir

2 cos^{2} (θ) - 1

como

(2 cos (θ))^{2} - 1^{2}

2 cos^{2} (θ) - 1

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = (a)^{2}

2 = (2)^{2}

= (2)^{2} cos^{2} (θ) - 1

Reescribir

1

como

1^{2}

= (2)^{2} cos^{2} (θ) - 1^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(2)^{2} cos^{2} (θ) = (2 cos (θ))^{2}

= (2 cos (θ))^{2} - 1^{2}

= (2 cos (θ))^{2} - 1^{2}

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 cos (θ))^{2} - 1^{2} = (2 cos (θ) + 1) (2 cos (θ) - 1)

= (2 cos (θ) + 1) (2 cos (θ) - 1)

= - sin (θ) (2 cos (θ) + 1) (2 cos (θ) - 1)

- sin (θ) (2 cos (θ) + 1) (2 cos (θ) - 1) = 0

Resolver cada parte por separado

sin (θ) = 0 or 2 cos (θ) + 1 = 0 or 2 cos (θ) - 1 = 0

sin (θ) = 0, 0 \leq θ < π : θ = 0

sin (θ) = 0, 0 \leq θ < π

Soluciones generales para

sin (θ) = 0

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

Resolver

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq θ < π

θ = 0

2 cos (θ) + 1 = 0, 0 \leq θ < π : θ = \frac{3 π}{4}

2 cos (θ) + 1 = 0, 0 \leq θ < π

Mover

1

al lado derecho

2 cos (θ) + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

2 cos (θ) + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

2 cos (θ) = - 1

2 cos (θ) = - 1

Dividir ambos lados entre

2

2 cos (θ) = - 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 cos ( θ )}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplificar

\frac{2 cos ( θ )}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplificar

\frac{2 cos ( θ )}{2} : cos (θ)

\frac{2 cos ( θ )}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= cos (θ)

Simplificar

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Racionalizar

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multiplicar por el conjugado

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Aplicar las leyes de los exponentes:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

cos (θ) = - \frac{2}{2}

cos (θ) = - \frac{2}{2}

cos (θ) = - \frac{2}{2}

Soluciones generales para

cos (θ) = - \frac{2}{2}

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn

θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq θ < π

θ = \frac{3 π}{4}

2 cos (θ) - 1 = 0, 0 \leq θ < π : θ = \frac{π}{4}

2 cos (θ) - 1 = 0, 0 \leq θ < π

Mover

1

al lado derecho

2 cos (θ) - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

2 cos (θ) - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

2 cos (θ) = 1

2 cos (θ) = 1

Dividir ambos lados entre

2

2 cos (θ) = 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 cos ( θ )}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

\frac{2 cos ( θ )}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

\frac{2 cos ( θ )}{2} : cos (θ)

\frac{2 cos ( θ )}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= cos (θ)

Simplificar

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Multiplicar por el conjugado

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Aplicar las leyes de los exponentes:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

cos (θ) = \frac{2}{2}

cos (θ) = \frac{2}{2}

cos (θ) = \frac{2}{2}

Soluciones generales para

cos (θ) = \frac{2}{2}

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq θ < π

θ = \frac{π}{4}

Combinar toda las soluciones

θ = 0, θ = \frac{3 π}{4}, θ = \frac{π}{4}

Encontrar los puntos indefinidos:

θ = \frac{π}{2}

Encontrar los ceros del denominador

cos^{3} (θ) = 0

Aplicar la regla

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

cos (θ) = 0

Soluciones generales para

cos (θ) = 0

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq θ < π

θ = \frac{π}{2}

0, \frac{π}{4}, \frac{π}{2}, \frac{3 π}{4}

Identificar los intervalos

0 < θ < \frac{π}{4}, \frac{π}{4} < θ < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{4} < θ < π

Resumir en una tabla:

sin (θ) - 2 cos^{2} (θ) sin (θ) cos^{3} (θ) \frac{s i n ( θ ) - 2 c o s ^{2} ( θ ) s i n ( θ )}{c o s ^{3} ( θ )} θ = 0 0 + 0 0 < θ < \frac{π}{4} - + - θ = \frac{π}{4} 0 + 0 \frac{π}{4} < θ < \frac{π}{2} + + + θ = \frac{π}{2} + 0 Sin definir \frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{4} + - - θ = \frac{3 π}{4} 0 - 0 \frac{3 π}{4} < θ < π - - + θ = π 0 - 0

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

\geq 0

θ = 0 or θ = \frac{π}{4} or \frac{π}{4} < θ < \frac{π}{2} or θ = \frac{3 π}{4} or \frac{3 π}{4} < θ < π or θ = π

Mezclar intervalos sobrepuestos

θ = 0 or \frac{π}{4} \leq θ < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{4} \leq θ < π or θ = π

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

θ = 0

θ = \frac{π}{4}

θ = 0 or θ = \frac{π}{4}

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

θ = 0 or θ = \frac{π}{4}

\frac{π}{4} < θ < \frac{π}{2}

θ = 0 or \frac{π}{4} \leq θ < \frac{π}{2}

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

θ = 0 or \frac{π}{4} \leq θ < \frac{π}{2}

θ = \frac{3 π}{4}

θ = 0 or \frac{π}{4} \leq θ < \frac{π}{2} or θ = \frac{3 π}{4}

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

θ = 0 or \frac{π}{4} \leq θ < \frac{π}{2} or θ = \frac{3 π}{4}

\frac{3 π}{4} < θ < π

θ = 0 or \frac{π}{4} \leq θ < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{4} \leq θ < π

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

θ = 0 or \frac{π}{4} \leq θ < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{4} \leq θ < π

θ = π

θ = 0 or \frac{π}{4} \leq θ < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{4} \leq θ \leq π

θ = 0 or \frac{π}{4} \leq θ < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{4} \leq θ \leq π

Utilizar la periodicidad de

sec^{2} (θ) tan (θ) - 2 tan (θ)

\frac{π}{4} + πn \leq θ < \frac{π}{2} + πn or \frac{3 π}{4} + πn \leq θ \leq π + πn

Ejemplos populares

solvefor c,sin(xcos(2x))<= 1 resolver para

c, sin (x cos (2 x)) \leq 1

cos(5x)cos(x/4)-sin(5x)sin(x/4)>=-(sqrt(2))/2

cos (5 x) cos (\frac{x}{4}) - sin (5 x) sin (\frac{x}{4}) \geq - \frac{2}{2}

2sin(x/2)-1>= 0

2 sin (\frac{x}{2}) - 1 \geq 0

sin(2x-(3pi)/2)<= 0

sin (2 x - \frac{3 π}{2}) \leq 0

tan(-3x)<1

tan (- 3 x) < 1