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1/(sin(2x))< 1/(sin(x))

Solución

\frac{1}{sin ( 2 x )} < \frac{1}{sin ( x )}

Solución

2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{π}{2} + 2 πn < x < π + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < \frac{5 π}{3} + 2 πn

Notación de intervalos

(2 πn, \frac{π}{3} + 2 πn) \cup (\frac{π}{2} + 2 πn, π + 2 πn) \cup (\frac{3 π}{2} + 2 πn, \frac{5 π}{3} + 2 πn)

Notación decimal

2 πn < x < 1.04719 \dots + 2 πn or 1.57079 \dots + 2 πn < x < 3.14159 \dots + 2 πn or 4.71238 \dots + 2 πn < x < 5.23598 \dots + 2 πn

Pasos de solución

\frac{1}{sin ( 2 x )} < \frac{1}{sin ( x )}

Mover

\frac{1}{sin ( x )}

al lado izquierdo

\frac{1}{sin ( 2 x )} < \frac{1}{sin ( x )}

Restar

\frac{1}{sin ( x )}

de ambos lados

\frac{1}{sin ( 2 x )} - \frac{1}{sin ( x )} < \frac{1}{sin ( x )} - \frac{1}{sin ( x )}

\frac{1}{sin ( 2 x )} - \frac{1}{sin ( x )} < 0

\frac{1}{sin ( 2 x )} - \frac{1}{sin ( x )} < 0

Usar la siguiente identidad:

sin (2 x) = 2 cos (x) sin (x)

\frac{1}{2 cos ( x ) sin ( x )} - \frac{1}{sin ( x )} < 0

Simplificar

\frac{1}{2 cos ( x ) sin ( x )} - \frac{1}{sin ( x )} : \frac{1 - 2 cos ( x )}{2 cos ( x ) sin ( x )}

\frac{1}{2 cos ( x ) sin ( x )} - \frac{1}{sin ( x )}

Mínimo común múltiplo de

2 cos (x) sin (x), sin (x) : 2 cos (x) sin (x)

2 cos (x) sin (x), sin (x)

Mínimo común múltiplo (MCM)

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan tanto en

2 cos (x) sin (x)

sin (x)

= 2 cos (x) sin (x)

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{1}{sin ( x )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

2 cos (x)

\frac{1}{sin ( x )} = \frac{1 \cdot 2 cos ( x )}{sin ( x ) \cdot 2 cos ( x )} = \frac{2 cos ( x )}{2 cos ( x ) sin ( x )}

= \frac{1}{2 cos ( x ) sin ( x )} - \frac{2 cos ( x )}{2 cos ( x ) sin ( x )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - 2 cos ( x )}{2 cos ( x ) sin ( x )}

\frac{1 - 2 cos ( x )}{2 cos ( x ) sin ( x )} < 0

Periodicidad de

\frac{1}{2 cos ( x ) sin ( x )} - \frac{1}{sin ( x )} : 2 π

La periodicidad combinada de la suma de funciones periódicas es el mínimo común múltiplo de los períodos

\frac{1}{2 cos ( x ) sin ( x )}, \frac{1}{sin ( x )}

Periodicidad de

\frac{1}{2 cos ( x ) sin ( x )} : π

\frac{1}{2 cos ( x ) sin ( x )}

esta compuesta de las siguientes funciones y periodos:

cos (x)

con periodicidad de

2 π

La periodicidad compuesta es:

π

Periodicidad de

\frac{1}{sin ( x )} : 2 π

La periodicidad de

a \cdot : s in (b x + c) + d = \frac{periodicidad de sin ( x )}{∣ b ∣}

La periodicidad de

: s in (x)

2 π

= \frac{2 π}{∣ 1 ∣}

Simplificar

= 2 π

Combinar períodos:

π, 2 π

= 2 π

Encontrar los ceros y puntos indefinidos de

\frac{1 - 2 cos ( x )}{2 cos ( x ) sin ( x )}

para

0 \leq x < 2 π

Para encontrar los ceros, transformar la desigualdad a 0

\frac{1 - 2 cos ( x )}{2 cos ( x ) sin ( x )} = 0

\frac{1 - 2 cos ( x )}{2 cos ( x ) sin ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π : x = \frac{π}{3}, x = \frac{5 π}{3}

\frac{1 - 2 cos ( x )}{2 cos ( x ) sin ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

1 - 2 cos (x) = 0

Mover

1

al lado derecho

1 - 2 cos (x) = 0

Restar

1

de ambos lados

1 - 2 cos (x) - 1 = 0 - 1

Simplificar

- 2 cos (x) = - 1

- 2 cos (x) = - 1

Dividir ambos lados entre

- 2

- 2 cos (x) = - 1

Dividir ambos lados entre

- 2

\frac{- 2 cos ( x )}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}

Simplificar

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = \frac{1}{2}

Soluciones generales para

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < 2 π

x = \frac{π}{3}, x = \frac{5 π}{3}

Encontrar los puntos indefinidos:

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}, x = 0, x = π

Encontrar los ceros del denominador

2 cos (x) sin (x) = 0

Resolver cada parte por separado

cos (x) = 0 or sin (x) = 0

cos (x) = 0, 0 \leq x < 2 π : x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

cos (x) = 0, 0 \leq x < 2 π

Soluciones generales para

cos (x) = 0

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < 2 π

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

sin (x) = 0, 0 \leq x < 2 π : x = 0, x = π

sin (x) = 0, 0 \leq x < 2 π

Soluciones generales para

sin (x) = 0

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Resolver

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < 2 π

x = 0, x = π

Combinar toda las soluciones

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}, x = 0, x = π

0, \frac{π}{3}, \frac{π}{2}, π, \frac{3 π}{2}, \frac{5 π}{3}

Identificar los intervalos

0 < x < \frac{π}{3}, \frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < x < π, π < x < \frac{3 π}{2}, \frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}, \frac{5 π}{3} < x < 2 π

Resumir en una tabla:

1 - 2 cos (x) cos (x) sin (x) \frac{1 - 2 c o s ( x )}{2 c o s ( x ) s i n ( x )} x = 0 - + 0 Sin definir 0 < x < \frac{π}{3} - + + - x = \frac{π}{3} 0 + + 0 \frac{π}{3} < x < \frac{π}{2} + + + + x = \frac{π}{2} + 0 + Sin definir \frac{π}{2} < x < π + - + - x = π + - 0 Sin definir π < x < \frac{3 π}{2} + - - + x = \frac{3 π}{2} + 0 - Sin definir \frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3} + + - - x = \frac{5 π}{3} 0 + - 0 \frac{5 π}{3} < x < 2 π - + - + x = 2 π - + 0 Sin definir

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

< 0

0 < x < \frac{π}{3} or \frac{π}{2} < x < π or \frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}

Utilizar la periodicidad de

\frac{1}{2 cos ( x ) sin ( x )} - \frac{1}{sin ( x )}

2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{π}{2} + 2 πn < x < π + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < \frac{5 π}{3} + 2 πn

Ejemplos populares

1-4sin^2(x)>0

1 - 4 sin^{2} (x) > 0

tan(x)>=-sqrt(3)

tan (x) \geq - 3

cos(θ)>0,sin(θ)<0

cos (θ) > 0, sin (θ) < 0

tan(x)> 1/(sqrt(3))

tan (x) > \frac{1}{3}

tan(2x)>1

tan (2 x) > 1