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cosh(θ)= 7/3 \land θ<0,sinh(θ)

Solución

cosh (θ) = \frac{7}{3} and θ < 0, sinh (θ)

Solución

θ = ln (\frac{7 - 2 10}{3})

Notación decimal

θ = - 1.49099 \dots

Pasos de solución

cosh (θ) = \frac{7}{3} and θ < 0

cosh (θ) = \frac{7}{3} : θ = ln (\frac{7 + 2 10}{3}), θ = ln (\frac{7 - 2 10}{3})

cosh (θ) = \frac{7}{3}

Re-escribir usando identidades trigonométricas

cosh (θ) = \frac{7}{3}

Utilizar la identidad hiperbólica:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{θ} + e ^{- θ}}{2} = \frac{7}{3}

\frac{e ^{θ} + e ^{- θ}}{2} = \frac{7}{3}

\frac{e ^{θ} + e ^{- θ}}{2} = \frac{7}{3} : θ = ln (\frac{7 + 2 10}{3}), θ = ln (\frac{7 - 2 10}{3})

\frac{e ^{θ} + e ^{- θ}}{2} = \frac{7}{3}

Utilizar multiplicación cruzada (regla de tres): Si

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

entonces

a \cdot d = b \cdot c

(e^{θ} + e^{- θ}) \cdot 3 = 2 \cdot 7

Simplificar

(e^{θ} + e^{- θ}) \cdot 3 = 14

Aplicar las leyes de los exponentes

(e^{θ} + e^{- θ}) \cdot 3 = 14

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- θ} = (e^{θ})^{- 1}

(e^{θ} + (e^{θ})^{- 1}) \cdot 3 = 14

(e^{θ} + (e^{θ})^{- 1}) \cdot 3 = 14

Re escribir la ecuación con

e^{θ} = u

(u + (u)^{- 1}) \cdot 3 = 14

Resolver

(u + u^{- 1}) \cdot 3 = 14 : u = \frac{7 + 2 10}{3}, u = \frac{7 - 2 10}{3}

(u + u^{- 1}) \cdot 3 = 14

Simplificar

(u + \frac{1}{u}) \cdot 3 = 14

Simplificar

(u + \frac{1}{u}) \cdot 3 : 3 (u + \frac{1}{u})

(u + \frac{1}{u}) \cdot 3

Aplicar regla conmutativa:

(u + \frac{1}{u}) \cdot 3 = 3 (u + \frac{1}{u})

3 (u + \frac{1}{u})

3 (u + \frac{1}{u}) = 14

Desarrollar

3 (u + \frac{1}{u}) : 3 u + \frac{3}{u}

3 (u + \frac{1}{u})

Poner los parentesis utilizando:

a (b + c) = ab + a c

a = 3, b = u, c = \frac{1}{u}

= 3 u + 3 \cdot \frac{1}{u}

3 \cdot \frac{1}{u} = \frac{3}{u}

3 \cdot \frac{1}{u}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 3}{u}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 3 = 3

= \frac{3}{u}

= 3 u + \frac{3}{u}

3 u + \frac{3}{u} = 14

Multiplicar ambos lados por

u

3 u + \frac{3}{u} = 14

Multiplicar ambos lados por

u

3 uu + \frac{3}{u} u = 14 u

Simplificar

3 uu + \frac{3}{u} u = 14 u

Simplificar

3 uu : 3 u^{2}

3 uu

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= 3 u^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= 3 u^{2}

Simplificar

\frac{3}{u} u : 3

\frac{3}{u} u

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 u}{u}

Eliminar los terminos comunes:

u

= 3

3 u^{2} + 3 = 14 u

3 u^{2} + 3 = 14 u

3 u^{2} + 3 = 14 u

Resolver

3 u^{2} + 3 = 14 u : u = \frac{7 + 2 10}{3}, u = \frac{7 - 2 10}{3}

3 u^{2} + 3 = 14 u

Mover

14 u

al lado izquierdo

3 u^{2} + 3 = 14 u

Restar

14 u

de ambos lados

3 u^{2} + 3 - 14 u = 14 u - 14 u

Simplificar

3 u^{2} + 3 - 14 u = 0

3 u^{2} + 3 - 14 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

3 u^{2} - 14 u + 3 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

3 u^{2} - 14 u + 3 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 3, b = - 14, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 14 ) \pm ( - 14 ) ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3}{2 \cdot 3}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 14 ) \pm ( - 14 ) ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3}{2 \cdot 3}

(- 14)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 410

(- 14)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 14)^{2} = 1 4^{2}

= 1 4^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 3 \cdot 3 = 36

= 1 4^{2} - 36

1 4^{2} = 196

= 196 - 36

Restar:

196 - 36 = 160

= 160

Descomposición en factores primos de

160 : 2^{5} \cdot 5

160

160

divida por

2160 = 80 \cdot 2

= 2 \cdot 80

80

divida por

280 = 40 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 40

40

divida por

240 = 20 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 20

20

divida por

220 = 10 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 10

10

divida por

210 = 5 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5

2, 5

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5

= 2^{5} \cdot 5

= 2^{5} \cdot 5

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{4} \cdot 2 \cdot 5

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 2^{4} 2 \cdot 5

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 2 \cdot 5

Simplificar

= 410

u_{1, 2} = \frac{- ( - 14 ) \pm 4 10}{2 \cdot 3}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 14 ) + 4 10}{2 \cdot 3}, u_{2} = \frac{- ( - 14 ) - 4 10}{2 \cdot 3}

u = \frac{- ( - 14 ) + 4 10}{2 \cdot 3} : \frac{7 + 2 10}{3}

\frac{- ( - 14 ) + 4 10}{2 \cdot 3}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{14 + 4 10}{2 \cdot 3}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{14 + 4 10}{6}

Factorizar

14 + 410 : 2 (7 + 210)

14 + 410

Reescribir como

= 2 \cdot 7 + 2 \cdot 210

Factorizar el termino común

2

= 2 (7 + 210)

= \frac{2 ( 7 + 2 10 )}{6}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{7 + 2 10}{3}

u = \frac{- ( - 14 ) - 4 10}{2 \cdot 3} : \frac{7 - 2 10}{3}

\frac{- ( - 14 ) - 4 10}{2 \cdot 3}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{14 - 4 10}{2 \cdot 3}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{14 - 4 10}{6}

Factorizar

14 - 410 : 2 (7 - 210)

14 - 410

Reescribir como

= 2 \cdot 7 - 2 \cdot 210

Factorizar el termino común

2

= 2 (7 - 210)

= \frac{2 ( 7 - 2 10 )}{6}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{7 - 2 10}{3}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{7 + 2 10}{3}, u = \frac{7 - 2 10}{3}

u = \frac{7 + 2 10}{3}, u = \frac{7 - 2 10}{3}

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

u = 0

Tomar el(los) denominador(es) de

(u + u^{- 1}) 3

y comparar con cero

u = 0

Los siguientes puntos no están definidos

u = 0

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

u = \frac{7 + 2 10}{3}, u = \frac{7 - 2 10}{3}

u = \frac{7 + 2 10}{3}, u = \frac{7 - 2 10}{3}

Sustituir hacia atrás la

u = e^{θ},

resolver para

θ

Resolver

e^{θ} = \frac{7 + 2 10}{3} : θ = ln (\frac{7 + 2 10}{3})

e^{θ} = \frac{7 + 2 10}{3}

Aplicar las leyes de los exponentes

e^{θ} = \frac{7 + 2 10}{3}

f (x) = g (x)

, entonces

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{θ}) = ln (\frac{7 + 2 10}{3})

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{θ}) = θ

θ = ln (\frac{7 + 2 10}{3})

θ = ln (\frac{7 + 2 10}{3})

Resolver

e^{θ} = \frac{7 - 2 10}{3} : θ = ln (\frac{7 - 2 10}{3})

e^{θ} = \frac{7 - 2 10}{3}

Aplicar las leyes de los exponentes

e^{θ} = \frac{7 - 2 10}{3}

f (x) = g (x)

, entonces

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{θ}) = ln (\frac{7 - 2 10}{3})

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{θ}) = θ

θ = ln (\frac{7 - 2 10}{3})

θ = ln (\frac{7 - 2 10}{3})

θ = ln (\frac{7 + 2 10}{3}), θ = ln (\frac{7 - 2 10}{3})

θ = ln (\frac{7 + 2 10}{3}), θ = ln (\frac{7 - 2 10}{3})

Combinar los rangos

(θ = ln (\frac{7 - 2 10}{3}) or θ = ln (\frac{7 + 2 10}{3})) and θ < 0

Mezclar intervalos sobrepuestos

θ = ln (\frac{7 - 2 10}{3}) or θ = ln (\frac{7 + 2 10}{3}) and θ < 0

La intersección de dos intervalos, es el conjunto de numérico común a los dos intervalos

θ = ln (\frac{7 - 2 10}{3}) or θ = ln (\frac{7 + 2 10}{3})

θ < 0

θ = ln (\frac{7 - 2 10}{3})

θ = ln (\frac{7 - 2 10}{3})

Ejemplos populares

cos(x)<= sin^2(x)<= (sqrt(3))/2 sin(x)

cos (x) \leq sin^{2} (x) \leq \frac{3}{2} sin (x)

sin(x)= 1/(sqrt(5))\land cos(x)<0

sin (x) = \frac{1}{5} and cos (x) < 0

cot(θ)<0\land sec(θ)>0

cot (θ) < 0 and sec (θ) > 0

6sin(x)0<= x<= (3pi)/2

6 sin (x) 0 \leq x \leq \frac{3 π}{2}

-1<=-cos(2x)<= 1

- 1 \leq - cos (2 x) \leq 1