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Populaire Trigonométrie >

cos(x)<= sin^2(x)<= (sqrt(3))/2 sin(x)

Solution

cos (x) \leq sin^{2} (x) \leq \frac{3}{2} sin (x)

Solution

arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

La notation des intervalles

[arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn, \frac{π}{3} + 2 πn] \cup [\frac{2 π}{3} + 2 πn, π + 2 πn]

Décimale

0.90455 \dots + 2 πn \leq x \leq 1.04719 \dots + 2 πn or 2.09439 \dots + 2 πn \leq x \leq 3.14159 \dots + 2 πn

étapes des solutions

cos (x) \leq sin^{2} (x) \leq \frac{3}{2} sin (x)

a \leq u \leq b

alors

a \leq u and u \leq b

cos (x) \leq sin^{2} (x) and sin^{2} (x) \leq \frac{3}{2} sin (x)

cos (x) \leq sin^{2} (x) : arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

cos (x) \leq sin^{2} (x)

Déplacer

sin^{2} (x)

vers la gauche

cos (x) \leq sin^{2} (x)

Soustraire

sin^{2} (x)

des deux côtés

cos (x) - sin^{2} (x) \leq sin^{2} (x) - sin^{2} (x)

cos (x) - sin^{2} (x) \leq 0

cos (x) - sin^{2} (x) \leq 0

Utiliser les identités suivantes:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Par conséquent

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

cos (x) - (1 - cos^{2} (x)) \leq 0

Simplifier

cos (x) - 1 + cos^{2} (x) \leq 0

Soit :

u = cos (x)

u - 1 + u^{2} \leq 0

u - 1 + u^{2} \leq 0 : \frac{- 5 - 1}{2} \leq u \leq \frac{5 - 1}{2}

u - 1 + u^{2} \leq 0

Compléter la carré

u - 1 + u^{2} : (u + \frac{1}{2})^{2} - \frac{5}{4}

u - 1 + u^{2}

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c

u^{2} + u - 1

Ecrire

u^{2} + u - 1

sous la forme :

x^{2} + 2 a x + a^{2}

2 a = 1 : a = \frac{1}{2}

2 a = 1

Diviser les deux côtés par

2

2 a = 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 a}{2} = \frac{1}{2}

Simplifier

a = \frac{1}{2}

a = \frac{1}{2}

Additionner et soustraire

(\frac{1}{2})^{2}

u^{2} + u - 1 + (\frac{1}{2})^{2} - (\frac{1}{2})^{2}

x^{2} + 2 a x + a^{2} = (x + a)^{2}

u^{2} + 1 u + (\frac{1}{2})^{2} = (u + \frac{1}{2})^{2}

(u + \frac{1}{2})^{2} - 1 - (\frac{1}{2})^{2}

Simplifier

(u + \frac{1}{2})^{2} - \frac{5}{4}

(u + \frac{1}{2})^{2} - \frac{5}{4} \leq 0

Déplacer

\frac{5}{4}

vers la droite

(u + \frac{1}{2})^{2} - \frac{5}{4} \leq 0

Ajouter

\frac{5}{4}

aux deux côtés

(u + \frac{1}{2})^{2} - \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \leq 0 + \frac{5}{4}

Simplifier

(u + \frac{1}{2})^{2} \leq \frac{5}{4}

(u + \frac{1}{2})^{2} \leq \frac{5}{4}

Pour

u^{n} \leq a

, si

n

est pair alors

- n a \leq u \leq n a

- \frac{5}{4} \leq u + \frac{1}{2} \leq \frac{5}{4}

a \leq u \leq b

alors

a \leq u and u \leq b

- \frac{5}{4} \leq u + \frac{1}{2} and u + \frac{1}{2} \leq \frac{5}{4}

- \frac{5}{4} \leq u + \frac{1}{2} : u \geq \frac{- 5 - 1}{2}

- \frac{5}{4} \leq u + \frac{1}{2}

Transposer les termes des côtés

u + \frac{1}{2} \geq - \frac{5}{4}

Simplifier

\frac{5}{4} : \frac{5}{2}

\frac{5}{4}

Appliquer la règle des radicaux :

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

en supposant

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{5}{4}

4 = 2

4

Factoriser le nombre :

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{5}{2}

u + \frac{1}{2} \geq - \frac{5}{2}

Déplacer

\frac{1}{2}

vers la droite

u + \frac{1}{2} \geq - \frac{5}{2}

Soustraire

\frac{1}{2}

des deux côtés

u + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \geq - \frac{5}{2} - \frac{1}{2}

Simplifier

u + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \geq - \frac{5}{2} - \frac{1}{2}

Simplifier

u + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} : u

u + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}

Additionner les éléments similaires :

\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \geq 0

= u

Simplifier

- \frac{5}{2} - \frac{1}{2} : \frac{- 5 - 1}{2}

- \frac{5}{2} - \frac{1}{2}

Appliquer la règle

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 5 - 1}{2}

u \geq \frac{- 5 - 1}{2}

u \geq \frac{- 5 - 1}{2}

u \geq \frac{- 5 - 1}{2}

u + \frac{1}{2} \leq \frac{5}{4} : u \leq \frac{5 - 1}{2}

u + \frac{1}{2} \leq \frac{5}{4}

Appliquer la règle des radicaux :

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

en supposant

a \geq 0, b \geq 0

u + \frac{1}{2} \leq \frac{5}{4}

4 = 2

4

Factoriser le nombre :

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

u + \frac{1}{2} \leq \frac{5}{2}

Déplacer

\frac{1}{2}

vers la droite

u + \frac{1}{2} \leq \frac{5}{2}

Soustraire

\frac{1}{2}

des deux côtés

u + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \leq \frac{5}{2} - \frac{1}{2}

Simplifier

u + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \leq \frac{5}{2} - \frac{1}{2}

Simplifier

u + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} : u

u + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}

Additionner les éléments similaires :

\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \leq 0

= u

Simplifier

\frac{5}{2} - \frac{1}{2} : \frac{5 - 1}{2}

\frac{5}{2} - \frac{1}{2}

Appliquer la règle

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{5 - 1}{2}

u \leq \frac{5 - 1}{2}

u \leq \frac{5 - 1}{2}

u \leq \frac{5 - 1}{2}

Réunir les intervalles

u \geq \frac{- 5 - 1}{2} and u \leq \frac{5 - 1}{2}

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

u \geq \frac{- 5 - 1}{2} and u \leq \frac{5 - 1}{2}

L'intersection de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans les deux intervalles

u \geq \frac{- 5 - 1}{2}

u \leq \frac{5 - 1}{2}

\frac{- 5 - 1}{2} \leq u \leq \frac{5 - 1}{2}

\frac{- 5 - 1}{2} \leq u \leq \frac{5 - 1}{2}

\frac{- 5 - 1}{2} \leq u \leq \frac{5 - 1}{2}

Remplacer

u = cos (x)

\frac{- 5 - 1}{2} \leq cos (x) \leq \frac{5 - 1}{2}

a \leq u \leq b

alors

a \leq u and u \leq b

\frac{- 5 - 1}{2} \leq cos (x) and cos (x) \leq \frac{5 - 1}{2}

\frac{- 5 - 1}{2} \leq cos (x) :

Vrai pour toute

x \in R

\frac{- 5 - 1}{2} \leq cos (x)

Transposer les termes des côtés

cos (x) \geq \frac{- 5 - 1}{2}

Plage de

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Définition de la plage de fonction

La plage de la base de la fonction

cos

est

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) \geq \frac{- 5 - 1}{2} and - 1 \leq cos (x) \leq 1 : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Soit

y = cos (x)

Réunir les intervalles

y \geq \frac{- 5 - 1}{2} and - 1 \leq y \leq 1

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

y \geq \frac{- 5 - 1}{2} and - 1 \leq y \leq 1

L'intersection de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans les deux intervalles

y \geq \frac{- 5 - 1}{2}

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Vrai pour toute x

Vrai pour toute x \in R

cos (x) \leq \frac{5 - 1}{2} : arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

cos (x) \leq \frac{5 - 1}{2}

Pour

cos (x) \leq a

, si

- 1 < a < 1

alors

arccos (a) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

Réunir les intervalles

Vrai pour toute x \in R and arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

sin^{2} (x) \leq \frac{3}{2} sin (x) : 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

sin^{2} (x) \leq \frac{3}{2} sin (x)

Soit :

u = sin (x)

u^{2} \leq \frac{3}{2} u

u^{2} \leq \frac{3}{2} u : 0 \leq u \leq \frac{3}{2}

u^{2} \leq \frac{3}{2} u

Récrire sous la forme standard

u^{2} \leq \frac{3}{2} u

Soustraire

\frac{3}{2} u

des deux côtés

u^{2} - \frac{3}{2} u \leq \frac{3}{2} u - \frac{3}{2} u

Simplifier

u^{2} - \frac{3}{2} u \leq 0

Multiplier les deux côtés par

2

u^{2} \cdot 2 - \frac{3}{2} u \cdot 2 \leq 0 \cdot 2

2 u^{2} - 3 u \leq 0

2 u^{2} - 3 u \leq 0

Factoriser

2 u^{2} - 3 u : u (2 u - 3)

2 u^{2} - 3 u

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - 3 u

Factoriser le terme commun

u

= u (2 u - 1 \cdot 2 3)

Multiplier les nombres :

1 \cdot 2 = 2

= u (2 u - 3)

u (2 u - 3) \leq 0

Identifier les intervalles

Trouver les signes des facteurs de

u (2 u - 3)

Trouver les signes de

u

u = 0

u < 0

u > 0

Trouver les signes de

2 u - 3

2 u - 3 = 0 : u = \frac{3}{2}

2 u - 3 = 0

Déplacer

3

vers la droite

2 u - 3 = 0

Ajouter

3

aux deux côtés

2 u - 3 + 3 = 0 + 3

Simplifier

2 u = 3

2 u = 3

Diviser les deux côtés par

2

2 u = 3

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}

Simplifier

u = \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

2 u - 3 < 0 : u < \frac{3}{2}

2 u - 3 < 0

Déplacer

3

vers la droite

2 u - 3 < 0

Ajouter

3

aux deux côtés

2 u - 3 + 3 < 0 + 3

Simplifier

2 u < 3

2 u < 3

Diviser les deux côtés par

2

2 u < 3

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} < \frac{3}{2}

Simplifier

u < \frac{3}{2}

u < \frac{3}{2}

2 u - 3 > 0 : u > \frac{3}{2}

2 u - 3 > 0

Déplacer

3

vers la droite

2 u - 3 > 0

Ajouter

3

aux deux côtés

2 u - 3 + 3 > 0 + 3

Simplifier

2 u > 3

2 u > 3

Diviser les deux côtés par

2

2 u > 3

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} > \frac{3}{2}

Simplifier

u > \frac{3}{2}

u > \frac{3}{2}

Récapituler dans un tableau:

u 2 u - 3 u (2 u - 3) u < 0 - - + u = 0 0 - 0 0 < u < \frac{3}{2} + - - u = \frac{3}{2} + 00 u > \frac{3}{2} + + +

Identifier les intervalles qui répondent à la conditions requise :

\leq 0

u = 0 or 0 < u < \frac{3}{2} or u = \frac{3}{2}

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

0 \leq u < \frac{3}{2} or u = \frac{3}{2}

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

u = 0

0 < u < \frac{3}{2}

0 \leq u < \frac{3}{2}

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

0 \leq u < \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

0 \leq u \leq \frac{3}{2}

0 \leq u \leq \frac{3}{2}

0 \leq u \leq \frac{3}{2}

0 \leq u \leq \frac{3}{2}

Remplacer

u = sin (x)

0 \leq sin (x) \leq \frac{3}{2}

a \leq u \leq b

alors

a \leq u and u \leq b

0 \leq sin (x) and sin (x) \leq \frac{3}{2}

0 \leq sin (x) : 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

0 \leq sin (x)

Transposer les termes des côtés

sin (x) \geq 0

Pour

sin (x) \geq a

, si

- 1 < a < 1

alors

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (0) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (0) + 2 πn

Simplifier

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

Simplifier

π - arcsin (0) : π

π - arcsin (0)

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - 0

π - 0 = π

= π

0 + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

Simplifier

2 πn \leq x \leq π + 2 πn

sin (x) \leq \frac{3}{2} : - \frac{4 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

sin (x) \leq \frac{3}{2}

Pour

sin (x) \leq a

, si

- 1 < a < 1

alors

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{3}{2}) + 2 πn \leq x \leq arcsin (\frac{3}{2}) + 2 πn

Simplifier

- π - arcsin (\frac{3}{2}) : - \frac{4 π}{3}

- π - arcsin (\frac{3}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (\frac{3}{2}) = \frac{π}{3}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - \frac{π}{3}

Simplifier

- π - \frac{π}{3}

Convertir un élément en fraction:

π = \frac{π 3}{3}

= - \frac{π 3}{3} - \frac{π}{3}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 3 - π}{3}

Additionner les éléments similaires :

- 3 π - π = - 4 π

= \frac{- 4 π}{3}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4 π}{3}

= - \frac{4 π}{3}

Simplifier

arcsin (\frac{3}{2}) : \frac{π}{3}

arcsin (\frac{3}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (\frac{3}{2}) = \frac{π}{3}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

- \frac{4 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

Réunir les intervalles

2 πn \leq x \leq π + 2 πn and - \frac{4 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

Réunir les intervalles

arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn and (2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn)

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

Exemples populaires

sin(x)= 1/(sqrt(5))\land cos(x)<0

sin (x) = \frac{1}{5} and cos (x) < 0

cot(θ)<0\land sec(θ)>0

cot (θ) < 0 and sec (θ) > 0

6sin(x)0<= x<= (3pi)/2

6 sin (x) 0 \leq x \leq \frac{3 π}{2}

-1<=-cos(2x)<= 1

- 1 \leq - cos (2 x) \leq 1

0<= 2sin(3x)+1<2pi

0 \leq 2 sin (3 x) + 1 < 2 π