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Popular >

tan(x/2)-csc(x)=0

Solución

tan (\frac{x}{2}) - csc (x) = 0

Solución

x = π + 4 πn, x = 3 π + 4 πn, x = \frac{5 π}{2} + 4 πn, x = \frac{7 π}{2} + 4 πn, x = \frac{π}{2} + 4 πn, x = \frac{3 π}{2} + 4 πn

Grados

x = 18 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n, x = 54 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n, x = 45 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n, x = 63 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n, x = 9 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n, x = 27 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n

Pasos de solución

tan (\frac{x}{2}) - csc (x) = 0

Sea:

u = \frac{x}{2}

tan (u) - csc (2 u) = 0

Expresar con seno, coseno

- csc (2 u) + tan (u)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= - \frac{1}{sin ( 2 u )} + tan (u)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= - \frac{1}{sin ( 2 u )} + \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

Simplificar

- \frac{1}{sin ( 2 u )} + \frac{sin ( u )}{cos ( u )} : \frac{- cos ( u ) + sin ( u ) sin ( 2 u )}{sin ( 2 u ) cos ( u )}

- \frac{1}{sin ( 2 u )} + \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

Mínimo común múltiplo de

sin (2 u), cos (u) : sin (2 u) cos (u)

sin (2 u), cos (u)

Mínimo común múltiplo (MCM)

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan tanto en

sin (2 u)

cos (u)

= sin (2 u) cos (u)

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{1}{sin ( 2 u )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

cos (u)

\frac{1}{sin ( 2 u )} = \frac{1 \cdot cos ( u )}{sin ( 2 u ) cos ( u )} = \frac{cos ( u )}{sin ( 2 u ) cos ( u )}

Para

\frac{sin ( u )}{cos ( u )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

sin (2 u)

\frac{sin ( u )}{cos ( u )} = \frac{sin ( u ) sin ( 2 u )}{cos ( u ) sin ( 2 u )}

= - \frac{cos ( u )}{sin ( 2 u ) cos ( u )} + \frac{sin ( u ) sin ( 2 u )}{cos ( u ) sin ( 2 u )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- cos ( u ) + sin ( u ) sin ( 2 u )}{sin ( 2 u ) cos ( u )}

= \frac{- cos ( u ) + sin ( u ) sin ( 2 u )}{sin ( 2 u ) cos ( u )}

\frac{- cos ( u ) + sin ( 2 u ) sin ( u )}{cos ( u ) sin ( 2 u )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- cos (u) + sin (2 u) sin (u) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- cos (u) + sin (2 u) sin (u)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= - cos (u) + 2 sin (u) cos (u) sin (u)

2 sin (u) cos (u) sin (u) = 2 sin^{2} (u) cos (u)

2 sin (u) cos (u) sin (u)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (u) sin (u) = sin^{1 + 1} (u)

= 2 cos (u) sin^{1 + 1} (u)

Sumar:

1 + 1 = 2

= 2 cos (u) sin^{2} (u)

= - cos (u) + 2 sin^{2} (u) cos (u)

- cos (u) + 2 cos (u) sin^{2} (u) = 0

Factorizar

- cos (u) + 2 cos (u) sin^{2} (u) : cos (u) (2 sin (u) + 1) (2 sin (u) - 1)

- cos (u) + 2 cos (u) sin^{2} (u)

Factorizar el termino común

cos (u)

= cos (u) (- 1 + 2 sin^{2} (u))

Factorizar

2 sin^{2} (u) - 1 : (2 sin (u) + 1) (2 sin (u) - 1)

2 sin^{2} (u) - 1

Reescribir

2 sin^{2} (u) - 1

como

(2 sin (u))^{2} - 1^{2}

2 sin^{2} (u) - 1

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = (a)^{2}

2 = (2)^{2}

= (2)^{2} sin^{2} (u) - 1

Reescribir

1

como

1^{2}

= (2)^{2} sin^{2} (u) - 1^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(2)^{2} sin^{2} (u) = (2 sin (u))^{2}

= (2 sin (u))^{2} - 1^{2}

= (2 sin (u))^{2} - 1^{2}

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 sin (u))^{2} - 1^{2} = (2 sin (u) + 1) (2 sin (u) - 1)

= (2 sin (u) + 1) (2 sin (u) - 1)

= cos (u) (2 sin (u) + 1) (2 sin (u) - 1)

cos (u) (2 sin (u) + 1) (2 sin (u) - 1) = 0

Resolver cada parte por separado

cos (u) = 0 or 2 sin (u) + 1 = 0 or 2 sin (u) - 1 = 0

cos (u) = 0 : u = \frac{π}{2} + 2 πn, u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (u) = 0

Soluciones generales para

cos (u) = 0

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

u = \frac{π}{2} + 2 πn, u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

u = \frac{π}{2} + 2 πn, u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

2 sin (u) + 1 = 0 : u = \frac{5 π}{4} + 2 πn, u = \frac{7 π}{4} + 2 πn

2 sin (u) + 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

2 sin (u) + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

2 sin (u) + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

2 sin (u) = - 1

2 sin (u) = - 1

Dividir ambos lados entre

2

2 sin (u) = - 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 sin ( u )}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplificar

\frac{2 sin ( u )}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplificar

\frac{2 sin ( u )}{2} : sin (u)

\frac{2 sin ( u )}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= sin (u)

Simplificar

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Racionalizar

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multiplicar por el conjugado

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Aplicar las leyes de los exponentes:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

sin (u) = - \frac{2}{2}

sin (u) = - \frac{2}{2}

sin (u) = - \frac{2}{2}

Soluciones generales para

sin (u) = - \frac{2}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

u = \frac{5 π}{4} + 2 πn, u = \frac{7 π}{4} + 2 πn

u = \frac{5 π}{4} + 2 πn, u = \frac{7 π}{4} + 2 πn

2 sin (u) - 1 = 0 : u = \frac{π}{4} + 2 πn, u = \frac{3 π}{4} + 2 πn

2 sin (u) - 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

2 sin (u) - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

2 sin (u) - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

2 sin (u) = 1

2 sin (u) = 1

Dividir ambos lados entre

2

2 sin (u) = 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 sin ( u )}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

\frac{2 sin ( u )}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

\frac{2 sin ( u )}{2} : sin (u)

\frac{2 sin ( u )}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= sin (u)

Simplificar

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Multiplicar por el conjugado

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Aplicar las leyes de los exponentes:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

sin (u) = \frac{2}{2}

sin (u) = \frac{2}{2}

sin (u) = \frac{2}{2}

Soluciones generales para

sin (u) = \frac{2}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

u = \frac{π}{4} + 2 πn, u = \frac{3 π}{4} + 2 πn

u = \frac{π}{4} + 2 πn, u = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

u = \frac{π}{2} + 2 πn, u = \frac{3 π}{2} + 2 πn, u = \frac{5 π}{4} + 2 πn, u = \frac{7 π}{4} + 2 πn, u = \frac{π}{4} + 2 πn, u = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Sustituir en la ecuación

u = \frac{x}{2}

\frac{x}{2} = \frac{π}{2} + 2 πn : x = π + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{π}{2} + 2 πn

Multiplicar ambos lados por

2

\frac{x}{2} = \frac{π}{2} + 2 πn

Multiplicar ambos lados por

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn

Simplificar

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn

Simplificar

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplificar

2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn : π + 4 πn

2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn

2 \cdot \frac{π}{2} = π

2 \cdot \frac{π}{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{π 2}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= π

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= 4 πn

= π + 4 πn

x = π + 4 πn

x = π + 4 πn

x = π + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2} + 2 πn : x = 3 π + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Multiplicar ambos lados por

2

\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Multiplicar ambos lados por

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{3 π}{2} + 2 \cdot 2 πn

Simplificar

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{3 π}{2} + 2 \cdot 2 πn

Simplificar

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplificar

2 \cdot \frac{3 π}{2} + 2 \cdot 2 πn : 3 π + 4 πn

2 \cdot \frac{3 π}{2} + 2 \cdot 2 πn

2 \cdot \frac{3 π}{2} = 3 π

2 \cdot \frac{3 π}{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 π 2}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= 3 π

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= 4 πn

= 3 π + 4 πn

x = 3 π + 4 πn

x = 3 π + 4 πn

x = 3 π + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{5 π}{4} + 2 πn : x = \frac{5 π}{2} + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{5 π}{4} + 2 πn

Multiplicar ambos lados por

2

\frac{x}{2} = \frac{5 π}{4} + 2 πn

Multiplicar ambos lados por

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{5 π}{4} + 2 \cdot 2 πn

Simplificar

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{5 π}{4} + 2 \cdot 2 πn

Simplificar

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplificar

2 \cdot \frac{5 π}{4} + 2 \cdot 2 πn : \frac{5 π}{2} + 4 πn

2 \cdot \frac{5 π}{4} + 2 \cdot 2 πn

2 \cdot \frac{5 π}{4} = \frac{5 π}{2}

2 \cdot \frac{5 π}{4}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{5 π 2}{4}

Multiplicar los numeros:

5 \cdot 2 = 10

= \frac{10 π}{4}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{5 π}{2}

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= 4 πn

= \frac{5 π}{2} + 4 πn

x = \frac{5 π}{2} + 4 πn

x = \frac{5 π}{2} + 4 πn

x = \frac{5 π}{2} + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{7 π}{4} + 2 πn : x = \frac{7 π}{2} + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Multiplicar ambos lados por

2

\frac{x}{2} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Multiplicar ambos lados por

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{7 π}{4} + 2 \cdot 2 πn

Simplificar

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{7 π}{4} + 2 \cdot 2 πn

Simplificar

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplificar

2 \cdot \frac{7 π}{4} + 2 \cdot 2 πn : \frac{7 π}{2} + 4 πn

2 \cdot \frac{7 π}{4} + 2 \cdot 2 πn

2 \cdot \frac{7 π}{4} = \frac{7 π}{2}

2 \cdot \frac{7 π}{4}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{7 π 2}{4}

Multiplicar los numeros:

7 \cdot 2 = 14

= \frac{14 π}{4}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{7 π}{2}

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= 4 πn

= \frac{7 π}{2} + 4 πn

x = \frac{7 π}{2} + 4 πn

x = \frac{7 π}{2} + 4 πn

x = \frac{7 π}{2} + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{π}{4} + 2 πn : x = \frac{π}{2} + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{π}{4} + 2 πn

Multiplicar ambos lados por

2

\frac{x}{2} = \frac{π}{4} + 2 πn

Multiplicar ambos lados por

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{π}{4} + 2 \cdot 2 πn

Simplificar

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{π}{4} + 2 \cdot 2 πn

Simplificar

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplificar

2 \cdot \frac{π}{4} + 2 \cdot 2 πn : \frac{π}{2} + 4 πn

2 \cdot \frac{π}{4} + 2 \cdot 2 πn

2 \cdot \frac{π}{4} = \frac{π}{2}

2 \cdot \frac{π}{4}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{π 2}{4}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{π}{2}

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= 4 πn

= \frac{π}{2} + 4 πn

x = \frac{π}{2} + 4 πn

x = \frac{π}{2} + 4 πn

x = \frac{π}{2} + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{3 π}{4} + 2 πn : x = \frac{3 π}{2} + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Multiplicar ambos lados por

2

\frac{x}{2} = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Multiplicar ambos lados por

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{3 π}{4} + 2 \cdot 2 πn

Simplificar

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{3 π}{4} + 2 \cdot 2 πn

Simplificar

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplificar

2 \cdot \frac{3 π}{4} + 2 \cdot 2 πn : \frac{3 π}{2} + 4 πn

2 \cdot \frac{3 π}{4} + 2 \cdot 2 πn

2 \cdot \frac{3 π}{4} = \frac{3 π}{2}

2 \cdot \frac{3 π}{4}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 π 2}{4}

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 2 = 6

= \frac{6 π}{4}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{3 π}{2}

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= 4 πn

= \frac{3 π}{2} + 4 πn

x = \frac{3 π}{2} + 4 πn

x = \frac{3 π}{2} + 4 πn

x = \frac{3 π}{2} + 4 πn

x = π + 4 πn, x = 3 π + 4 πn, x = \frac{5 π}{2} + 4 πn, x = \frac{7 π}{2} + 4 πn, x = \frac{π}{2} + 4 πn, x = \frac{3 π}{2} + 4 πn

Siendo que la ecuación esta indefinida para:

π + 4 πn, 3 π + 4 πn

x = π + 4 πn, x = 3 π + 4 πn, x = \frac{5 π}{2} + 4 πn, x = \frac{7 π}{2} + 4 πn, x = \frac{π}{2} + 4 πn, x = \frac{3 π}{2} + 4 πn

Ejemplos populares

solvefor x,f=e^{sin(x^2)}resolver para

x, f = e^{s i n (x^{2})}

5cos(x)-10sin(x)cos(x)=0

5 cos (x) - 10 sin (x) cos (x) = 0

3cos(x)+5=7

3 cos (x) + 5 = 7

3cos^2(x)+6cos(x)=-3

3 cos^{2} (x) + 6 cos (x) = - 3

sin(2x+4)=cos(46)

sin (2 x + 4) = cos (4 6^{\circ})