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arcsin(x)+arcsin(1-x)=arccos(x)

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Soluzione

arcsin(x)+arcsin(1−x)=arccos(x)

Soluzione

x=0,x=21​
Fasi della soluzione
arcsin(x)+arcsin(1−x)=arccos(x)
a=b⇒cos(a)=cos(b)cos(arcsin(x)+arcsin(1−x))=cos(arccos(x))
Usare l'identità seguente: cos(s+t)=cos(s)cos(t)−sin(s)sin(t)cos(arcsin(x))cos(arcsin(1−x))−sin(arcsin(x))sin(arcsin(1−x))=cos(arccos(x))
Usare l'identità seguente: cos(arcsin(x))=1−x2​
Usare l'identità seguente: cos(arcsin(x))=1−x2​
Usare l'identità seguente: sin(arcsin(x))=x
Usare l'identità seguente: sin(arcsin(x))=x
1−x2​1−(1−x)2​−x(1−x)=x
Risolvi 1−x2​1−(1−x)2​−x(1−x)=x:x=0,x=21​
1−x2​1−(1−x)2​−x(1−x)=x
Espandere 1−x2​1−(1−x)2​−x(1−x):1−x2​−x2+2x​−x+x2
1−x2​1−(1−x)2​−x(1−x)
Espandi −x(1−x):−x+x2
−x(1−x)
Applicare la legge della distribuzione: a(b−c)=ab−aca=−x,b=1,c=x=−x⋅1−(−x)x
Applicare le regole di sottrazione-addizione−(−a)=a=−1⋅x+xx
Semplifica −1⋅x+xx:−x+x2
−1⋅x+xx
1⋅x=x
1⋅x
Moltiplicare: 1⋅x=x=x
xx=x2
xx
Applica la regola degli esponenti: ab⋅ac=ab+cxx=x1+1=x1+1
Aggiungi i numeri: 1+1=2=x2
=−x+x2
=−x+x2
=1−x2​1−(1−x)2​−x+x2
Espandere 1−x2​1−(1−x)2​−x+x2:1−x2​−x2+2x​−x+x2
1−x2​1−(1−x)2​−x+x2
1−(1−x)2​=−x2+2x​
1−(1−x)2​
Espandi 1−(1−x)2:−x2+2x
1−(1−x)2
(1−x)2:1−2x+x2
Applicare la formula del quadrato perfetto: (a−b)2=a2−2ab+b2a=1,b=x
=12−2⋅1⋅x+x2
Semplifica 12−2⋅1⋅x+x2:1−2x+x2
12−2⋅1⋅x+x2
Applicare la regola 1a=112=1=1−2⋅1⋅x+x2
Moltiplica i numeri: 2⋅1=2=1−2x+x2
=1−2x+x2
=1−(1−2x+x2)
−(1−2x+x2):−1+2x−x2
−(1−2x+x2)
Distribuire le parentesi=−(1)−(−2x)−(x2)
Applicare le regole di sottrazione-addizione−(−a)=a,−(a)=−a=−1+2x−x2
=1−1+2x−x2
1−1=0=−x2+2x
=−x2+2x​
=−x2+1​−x2+2x​−x+x2
=1−x2​−x2+2x​−x+x2
1−x2​−x2+2x​−x+x2=x
Rimuovi radici quadrate
1−x2​−x2+2x​−x+x2=x
Sottrarre −x+x2 da entrambi i lati1−x2​−x2+2x​−x+x2−(−x+x2)=x−(−x+x2)
Semplificare1−x2​−x2+2x​=2x−x2
Eleva entrambi i lati al quadrato:−x2+2x+x4−2x3=4x2−4x3+x4
1−x2​−x2+2x​−x+x2=x
(1−x2​−x2+2x​)2=(2x−x2)2
Espandere (1−x2​−x2+2x​)2:−x2+2x+x4−2x3
(1−x2​−x2+2x​)2
Applica la regola degli esponenti: (a⋅b)n=anbn=(1−x2​)2(−x2+2x​)2
(1−x2​)2:1−x2
Applicare la regola della radice: a​=a21​=((1−x2)21​)2
Applica la regola degli esponenti: (ab)c=abc=(1−x2)21​⋅2
21​⋅2=1
21​⋅2
Moltiplica le frazioni: a⋅cb​=ca⋅b​=21⋅2​
Cancella il fattore comune: 2=1
=1−x2
=(1−x2)(−x2+2x​)2
(−x2+2x​)2:−x2+2x
Applicare la regola della radice: a​=a21​=((−x2+2x)21​)2
Applica la regola degli esponenti: (ab)c=abc=(−x2+2x)21​⋅2
21​⋅2=1
21​⋅2
Moltiplica le frazioni: a⋅cb​=ca⋅b​=21⋅2​
Cancella il fattore comune: 2=1
=−x2+2x
=(1−x2)(−x2+2x)
Espandere (1−x2)(−x2+2x):−x2+2x+x4−2x3
(1−x2)(−x2+2x)
Applicare il metodo FOIL: (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bda=1,b=−x2,c=−x2,d=2x=1⋅(−x2)+1⋅2x+(−x2)(−x2)+(−x2)⋅2x
Applicare le regole di sottrazione-addizione+(−a)=−a,(−a)(−b)=ab=−1⋅x2+1⋅2x+x2x2−2x2x
Semplifica −1⋅x2+1⋅2x+x2x2−2x2x:−x2+2x+x4−2x3
−1⋅x2+1⋅2x+x2x2−2x2x
1⋅x2=x2
1⋅x2
Moltiplicare: 1⋅x2=x2=x2
1⋅2x=2x
1⋅2x
Moltiplica i numeri: 1⋅2=2=2x
x2x2=x4
x2x2
Applica la regola degli esponenti: ab⋅ac=ab+cx2x2=x2+2=x2+2
Aggiungi i numeri: 2+2=4=x4
2x2x=2x3
2x2x
Applica la regola degli esponenti: ab⋅ac=ab+cx2x=x2+1=2x2+1
Aggiungi i numeri: 2+1=3=2x3
=−x2+2x+x4−2x3
=−x2+2x+x4−2x3
=−x2+2x+x4−2x3
Espandere (2x−x2)2:4x2−4x3+x4
(2x−x2)2
Applicare la formula del quadrato perfetto: (a−b)2=a2−2ab+b2a=2x,b=x2
=(2x)2−2⋅2xx2+(x2)2
Semplifica (2x)2−2⋅2xx2+(x2)2:4x2−4x3+x4
(2x)2−2⋅2xx2+(x2)2
(2x)2=4x2
(2x)2
Applica la regola degli esponenti: (a⋅b)n=anbn=22x2
22=4=4x2
2⋅2xx2=4x3
2⋅2xx2
Moltiplica i numeri: 2⋅2=4=4x2x
Applica la regola degli esponenti: ab⋅ac=ab+cxx2=x1+2=4x1+2
Aggiungi i numeri: 1+2=3=4x3
(x2)2=x4
(x2)2
Applica la regola degli esponenti: (ab)c=abc=x2⋅2
Moltiplica i numeri: 2⋅2=4=x4
=4x2−4x3+x4
=4x2−4x3+x4
−x2+2x+x4−2x3=4x2−4x3+x4
−x2+2x+x4−2x3=4x2−4x3+x4
−x2+2x+x4−2x3=4x2−4x3+x4
Risolvi −x2+2x+x4−2x3=4x2−4x3+x4:x=0,x=21​,x=2
−x2+2x+x4−2x3=4x2−4x3+x4
Sottrarre 4x2−4x3+x4 da entrambi i lati−x2+2x+x4−2x3−(4x2−4x3+x4)=4x2−4x3+x4−(4x2−4x3+x4)
Semplificare2x3−5x2+2x=0
Fattorizza 2x3−5x2+2x:x(2x−1)(x−2)
2x3−5x2+2x
Fattorizzare dal termine comune x:x(2x2−5x+2)
2x3−5x2+2x
Applica la regola degli esponenti: ab+c=abacx2=xx=2x2x−5xx+2x
Fattorizzare dal termine comune x=x(2x2−5x+2)
=x(2x2−5x+2)
Fattorizza 2x2−5x+2:(2x−1)(x−2)
2x2−5x+2
Suddividere l'espressione in gruppi
2x2−5x+2
Definizione
Fattori di 4:1,2,4
4
Divisori (Fattori)
Trova i fattori primi di 4:2,2
4
4diviso per 24=2⋅2=2⋅2
2 è un numero primo, quindi non è possibile ulteriore fattorizzazione=2⋅2
Aggiungi i fattori primi: 2
Aggiungi 1 al numero 4 stesso1,4
I fattori di 41,2,4
Fattori negativi di 4:−1,−2,−4
Moltiplica i fattori per −1 per ottenere i fattori negativi−1,−2,−4
Per ogni due fattori tali che u∗v=4,controllare se u+v=−5
Verifica u=1,v=4:u∗v=4,u+v=5⇒FalsoVerifica u=2,v=2:u∗v=4,u+v=4⇒Falso
u=−1,v=−4
Raggruppa in (ax2+ux)+(vx+c)(2x2−x)+(−4x+2)
=(2x2−x)+(−4x+2)
Fattorizza xda 2x2−x:x(2x−1)
2x2−x
Applica la regola degli esponenti: ab+c=abacx2=xx=2xx−x
Fattorizzare dal termine comune x=x(2x−1)
Fattorizza −2da −4x+2:−2(2x−1)
−4x+2
Riscrivi 4 come 2⋅2=−2⋅2x+2
Fattorizzare dal termine comune −2=−2(2x−1)
=x(2x−1)−2(2x−1)
Fattorizzare dal termine comune 2x−1=(2x−1)(x−2)
=x(2x−1)(x−2)
x(2x−1)(x−2)=0
Usando il Principio del Fattore Zero: If ab=0allora a=0o b=0x=0or2x−1=0orx−2=0
Risolvi 2x−1=0:x=21​
2x−1=0
Spostare 1a destra dell'equazione
2x−1=0
Aggiungi 1 ad entrambi i lati2x−1+1=0+1
Semplificare2x=1
2x=1
Dividere entrambi i lati per 2
2x=1
Dividere entrambi i lati per 222x​=21​
Semplificarex=21​
x=21​
Risolvi x−2=0:x=2
x−2=0
Spostare 2a destra dell'equazione
x−2=0
Aggiungi 2 ad entrambi i latix−2+2=0+2
Semplificarex=2
x=2
Le soluzioni sonox=0,x=21​,x=2
x=0,x=21​,x=2
Verificare le soluzioni:x=0Vero,x=21​Vero,x=2Falso
Verifica le soluzioni sostituendole in 1−x2​1−(1−x)2​−x(1−x)=x
Rimuovi quelle che non si concordano con l'equazione.
Inserire in x=0:Vero
1−02​1−(1−0)2​−0⋅(1−0)=0
1−02​1−(1−0)2​−0⋅(1−0)=0
1−02​1−(1−0)2​−0⋅(1−0)
Applicare la regola 0a=002=0=1−0​−(1−0)2+1​−0⋅(1−0)
1−0​1−(1−0)2​=0
1−0​1−(1−0)2​
1−0​=1
1−0​
Sottrai i numeri: 1−0=1=1​
Applicare la regola 1​=1=1
=1⋅−(1−0)2+1​
1−(1−0)2​=0
1−(1−0)2​
(1−0)2=1
(1−0)2
Sottrai i numeri: 1−0=1=12
Applicare la regola 1a=1=1
=1−1​
Sottrai i numeri: 1−1=0=0​
Applicare la regola 0​=0=0
=1⋅0
Applicare la regola 0⋅a=0=0
0⋅(1−0)=0
0⋅(1−0)
Sottrai i numeri: 1−0=1=0⋅1
Applicare la regola 0⋅a=0=0
=0−0
Sottrai i numeri: 0−0=0=0
0=0
Vero
Inserire in x=21​:Vero
1−(21​)2​1−(1−(21​))2​−(21​)(1−(21​))=21​
1−(21​)2​1−(1−(21​))2​−(21​)(1−(21​))=21​
1−(21​)2​1−(1−(21​))2​−(21​)(1−(21​))
Rimuovi le parentesi: (a)=a=1−(21​)2​1−(1−21​)2​−21​(1−21​)
1−(21​)2​1−(1−21​)2​=43​
1−(21​)2​1−(1−21​)2​
1−(21​)2​=23​​
1−(21​)2​
(21​)2=41​
(21​)2
Applica la regola degli esponenti: (ba​)c=bcac​=2212​
Applicare la regola 1a=112=1=221​
22=4=41​
=1−41​​
Unisci 1−41​:43​
1−41​
Converti l'elemento in frazione: 1=41⋅4​=41⋅4​−41​
Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni: ca​±cb​=ca±b​=41⋅4−1​
1⋅4−1=3
1⋅4−1
Moltiplica i numeri: 1⋅4=4=4−1
Sottrai i numeri: 4−1=3=3
=43​
=43​​
Applicare la regola della radice: nba​​=nb​na​​, assumendo a≥0,b≥0=4​3​​
4​=2
4​
Fattorizzare il numero: 4=22=22​
Applicare la regola della radice: nan​=a22​=2=2
=23​​
=23​​−(−21​+1)2+1​
1−(1−21​)2​=23​​
1−(1−21​)2​
(1−21​)2=41​
(1−21​)2
Unisci 1−21​:21​
1−21​
Converti l'elemento in frazione: 1=21⋅2​=21⋅2​−21​
Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni: ca​±cb​=ca±b​=21⋅2−1​
1⋅2−1=1
1⋅2−1
Moltiplica i numeri: 1⋅2=2=2−1
Sottrai i numeri: 2−1=1=1
=21​
=(21​)2
Applica la regola degli esponenti: (ba​)c=bcac​=2212​
Applicare la regola 1a=112=1=221​
22=4=41​
=1−41​​
Unisci 1−41​:43​
1−41​
Converti l'elemento in frazione: 1=41⋅4​=41⋅4​−41​
Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni: ca​±cb​=ca±b​=41⋅4−1​
1⋅4−1=3
1⋅4−1
Moltiplica i numeri: 1⋅4=4=4−1
Sottrai i numeri: 4−1=3=3
=43​
=43​​
Applicare la regola della radice: nba​​=nb​na​​, assumendo a≥0,b≥0=4​3​​
4​=2
4​
Fattorizzare il numero: 4=22=22​
Applicare la regola della radice: nan​=a22​=2=2
=23​​
=23​​⋅23​​
Moltiplica le frazioni: ba​⋅dc​=b⋅da⋅c​=2⋅23​3​​
3​3​=3
3​3​
Applicare la regola della radice: a​a​=a3​3​=3=3
=2⋅23​
Moltiplica i numeri: 2⋅2=4=43​
21​(1−21​)=41​
21​(1−21​)
Unisci 1−21​:21​
1−21​
Converti l'elemento in frazione: 1=21⋅2​=21⋅2​−21​
Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni: ca​±cb​=ca±b​=21⋅2−1​
1⋅2−1=1
1⋅2−1
Moltiplica i numeri: 1⋅2=2=2−1
Sottrai i numeri: 2−1=1=1
=21​
=21​⋅21​
Moltiplica le frazioni: ba​⋅dc​=b⋅da⋅c​=2⋅21⋅1​
Moltiplica i numeri: 1⋅1=1=2⋅21​
Moltiplica i numeri: 2⋅2=4=41​
=43​−41​
Applicare la regola ca​±cb​=ca±b​=43−1​
Sottrai i numeri: 3−1=2=42​
Cancella il fattore comune: 2=21​
21​=21​
Vero
Inserire in x=2:Falso
1−22​1−(1−2)2​−2(1−2)=2
Semplifica 1−22​1−(1−2)2​−2(1−2):“Nondefinito“
1−22​1−(1−2)2​−2(1−2)
1−22​1−(1−2)2​=“Nondefinito“
1−22​1−(1−2)2​
1−22​=−3​
1−22​
22=4=1−4​
Sottrai i numeri: 1−4=−3=−3​
=−3​−(1−2)2+1​
1−(1−2)2​=0
1−(1−2)2​
(1−2)2=1
(1−2)2
Sottrai i numeri: 1−2=−1=(−1)2
Applica la regola degli esponenti: (−a)n=an,se n è pari(−1)2=12=12
Applicare la regola 1a=1=1
=1−1​
Sottrai i numeri: 1−1=0=0​
Applicare la regola 0​=0=0
=0⋅−3​
a​,a<0è indefinito=“Nondefinito“
=“Nondefinito“
“Nondefinito“=2
Falso
Le soluzioni sonox=0,x=21​
x=0,x=21​
Verifica le soluzioni inserendole nell' equazione originale
Verifica le soluzioni sostituendole in arcsin(x)+arcsin(1−x)=arccos(x)
Rimuovi quelle che non si concordano con l'equazione.
Verificare la soluzione 0:Vero
0
Inserire in n=10
Per arcsin(x)+arcsin(1−x)=arccos(x)inserisci lax=0arcsin(0)+arcsin(1−0)=arccos(0)
Affinare1.57079…=1.57079…
⇒Vero
Verificare la soluzione 21​:Vero
21​
Inserire in n=121​
Per arcsin(x)+arcsin(1−x)=arccos(x)inserisci lax=21​arcsin(21​)+arcsin(1−21​)=arccos(21​)
Affinare1.04719…=1.04719…
⇒Vero
x=0,x=21​

Grafico

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Grafico interattivo

Esempi popolari

3cos^2(x)+1=4sin(x)3cos2(x)+1=4sin(x)[2sin(4x)-1]*[1+tan(x)]=0[2sin(4x)−1]⋅[1+tan(x)]=0cos^2(x)=2cos(x)cos2(x)=2cos(x)sin(4θ)=(sqrt(3))/2sin(4θ)=23​​2sin(θ)=-0.6842sin(θ)=−0.684
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