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Popolare Trigonometria >

5sinh(2x)+3cosh(2x)=4

Soluzione

5 sinh (2 x) + 3 cosh (2 x) = 4

Soluzione

x = \frac{1}{2} ln (\frac{1 + 2}{2})

Gradi

x = 5.39228 \dots^{\circ}

Fasi della soluzione

5 sinh (2 x) + 3 cosh (2 x) = 4

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

5 sinh (2 x) + 3 cosh (2 x) = 4

Usa l'identità iperbolica:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

5 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} + 3 cosh (2 x) = 4

Usa l'identità iperbolica:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

5 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} + 3 \cdot \frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 4

5 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} + 3 \cdot \frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 4

5 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} + 3 \cdot \frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 4 : x = \frac{1}{2} ln (\frac{1 + 2}{2})

5 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} + 3 \cdot \frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 4

Applica le regole dell'esponente

5 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} + 3 \cdot \frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 4

Applica la regola degli esponenti:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{2 x} = (e^{x})^{2}, e^{- 2 x} = (e^{x})^{- 2}

5 \cdot \frac{( e ^{x} ) ^{2} - ( e ^{x} ) ^{- 2}}{2} + 3 \cdot \frac{( e ^{x} ) ^{2} + ( e ^{x} ) ^{- 2}}{2} = 4

5 \cdot \frac{( e ^{x} ) ^{2} - ( e ^{x} ) ^{- 2}}{2} + 3 \cdot \frac{( e ^{x} ) ^{2} + ( e ^{x} ) ^{- 2}}{2} = 4

Riscrivi l'equazione con

e^{x} = u

5 \cdot \frac{( u ) ^{2} - ( u ) ^{- 2}}{2} + 3 \cdot \frac{( u ) ^{2} + ( u ) ^{- 2}}{2} = 4

Risolvi

5 \cdot \frac{u ^{2} - u ^{- 2}}{2} + 3 \cdot \frac{u ^{2} + u ^{- 2}}{2} = 4 : u = \frac{1 + 2}{2}, u = - \frac{1 + 2}{2}

5 \cdot \frac{u ^{2} - u ^{- 2}}{2} + 3 \cdot \frac{u ^{2} + u ^{- 2}}{2} = 4

Affinare

\frac{5 ( u ^{4} - 1 )}{2 u ^{2}} + \frac{3 ( u ^{4} + 1 )}{2 u ^{2}} = 4

Moltiplica entrambi i lati per

2 u^{2}

\frac{5 ( u ^{4} - 1 )}{2 u ^{2}} + \frac{3 ( u ^{4} + 1 )}{2 u ^{2}} = 4

Moltiplica entrambi i lati per

2 u^{2}

\frac{5 ( u ^{4} - 1 )}{2 u ^{2}} \cdot 2 u^{2} + \frac{3 ( u ^{4} + 1 )}{2 u ^{2}} \cdot 2 u^{2} = 4 \cdot 2 u^{2}

Semplificare

\frac{5 ( u ^{4} - 1 )}{2 u ^{2}} \cdot 2 u^{2} + \frac{3 ( u ^{4} + 1 )}{2 u ^{2}} \cdot 2 u^{2} = 4 \cdot 2 u^{2}

Semplificare

\frac{5 ( u ^{4} - 1 )}{2 u ^{2}} \cdot 2 u^{2} : 5 (u^{4} - 1)

\frac{5 ( u ^{4} - 1 )}{2 u ^{2}} \cdot 2 u^{2}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{5 ( u ^{4} - 1 ) \cdot 2 u ^{2}}{2 u ^{2}}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{5 ( u ^{4} - 1 ) u ^{2}}{u ^{2}}

Cancella il fattore comune:

u^{2}

= 5 (u^{4} - 1)

Semplificare

\frac{3 ( u ^{4} + 1 )}{2 u ^{2}} \cdot 2 u^{2} : 3 (u^{4} + 1)

\frac{3 ( u ^{4} + 1 )}{2 u ^{2}} \cdot 2 u^{2}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 ( u ^{4} + 1 ) \cdot 2 u ^{2}}{2 u ^{2}}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{3 ( u ^{4} + 1 ) u ^{2}}{u ^{2}}

Cancella il fattore comune:

u^{2}

= 3 (u^{4} + 1)

Semplificare

4 \cdot 2 u^{2} : 8 u^{2}

4 \cdot 2 u^{2}

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 2 = 8

= 8 u^{2}

5 (u^{4} - 1) + 3 (u^{4} + 1) = 8 u^{2}

5 (u^{4} - 1) + 3 (u^{4} + 1) = 8 u^{2}

5 (u^{4} - 1) + 3 (u^{4} + 1) = 8 u^{2}

Risolvi

5 (u^{4} - 1) + 3 (u^{4} + 1) = 8 u^{2} : u = \frac{1 + 2}{2}, u = - \frac{1 + 2}{2}

5 (u^{4} - 1) + 3 (u^{4} + 1) = 8 u^{2}

Espandere

5 (u^{4} - 1) + 3 (u^{4} + 1) : 8 u^{4} - 2

5 (u^{4} - 1) + 3 (u^{4} + 1)

Espandi

5 (u^{4} - 1) : 5 u^{4} - 5

5 (u^{4} - 1)

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = 5, b = u^{4}, c = 1

= 5 u^{4} - 5 \cdot 1

Moltiplica i numeri:

5 \cdot 1 = 5

= 5 u^{4} - 5

= 5 u^{4} - 5 + 3 (u^{4} + 1)

Espandi

3 (u^{4} + 1) : 3 u^{4} + 3

3 (u^{4} + 1)

Applicare la legge della distribuzione:

a (b + c) = ab + a c

a = 3, b = u^{4}, c = 1

= 3 u^{4} + 3 \cdot 1

Moltiplica i numeri:

3 \cdot 1 = 3

= 3 u^{4} + 3

= 5 u^{4} - 5 + 3 u^{4} + 3

Semplifica

5 u^{4} - 5 + 3 u^{4} + 3 : 8 u^{4} - 2

5 u^{4} - 5 + 3 u^{4} + 3

Raggruppa termini simili

= 5 u^{4} + 3 u^{4} - 5 + 3

Aggiungi elementi simili:

5 u^{4} + 3 u^{4} = 8 u^{4}

= 8 u^{4} - 5 + 3

Aggiungi/Sottrai i numeri:

- 5 + 3 = - 2

= 8 u^{4} - 2

= 8 u^{4} - 2

8 u^{4} - 2 = 8 u^{2}

Spostare

8 u^{2}

a sinistra dell'equazione

8 u^{4} - 2 = 8 u^{2}

Sottrarre

8 u^{2}

da entrambi i lati

8 u^{4} - 2 - 8 u^{2} = 8 u^{2} - 8 u^{2}

Semplificare

8 u^{4} - 2 - 8 u^{2} = 0

8 u^{4} - 2 - 8 u^{2} = 0

Scrivi in forma standard

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

8 u^{4} - 8 u^{2} - 2 = 0

Riscrivi l'equazione con

v = u^{2}

v^{2} = u^{4}

8 v^{2} - 8 v - 2 = 0

Risolvi

8 v^{2} - 8 v - 2 = 0 : v = \frac{1 + 2}{2}, v = \frac{1 - 2}{2}

8 v^{2} - 8 v - 2 = 0

Risolvi con la formula quadratica

8 v^{2} - 8 v - 2 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = 8, b = - 8, c = - 2

v_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 \cdot 8 ( - 2 )}{2 \cdot 8}

v_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 \cdot 8 ( - 2 )}{2 \cdot 8}

(- 8)^{2} - 4 \cdot 8 (- 2) = 82

(- 8)^{2} - 4 \cdot 8 (- 2)

Applicare la regola

- (- a) = a

= (- 8)^{2} + 4 \cdot 8 \cdot 2

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 8)^{2} = 8^{2}

= 8^{2} + 4 \cdot 8 \cdot 2

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 8 \cdot 2 = 64

= 8^{2} + 64

8^{2} = 64

= 64 + 64

Aggiungi i numeri:

64 + 64 = 128

= 128

Fattorizzazione prima di

128 : 2^{7}

128

128

diviso per

2128 = 64 \cdot 2

= 2 \cdot 64

64

diviso per

264 = 32 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 32

32

diviso per

232 = 16 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 16

16

diviso per

216 = 8 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 8

8

diviso per

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4

4

diviso per

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

2

è un numero primo, quindi non è possibile ulteriore fattorizzazione

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{7}

= 2^{7}

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{6} \cdot 2

Applicare la regola della radice:

n ab = n a n b

= 2 2^{6}

Applicare la regola della radice:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{6} = 2^{\frac{6}{2}} = 2^{3}

= 2^{3} 2

Affinare

= 82

v_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm 8 2}{2 \cdot 8}

Separare le soluzioni

v_{1} = \frac{- ( - 8 ) + 8 2}{2 \cdot 8}, v_{2} = \frac{- ( - 8 ) - 8 2}{2 \cdot 8}

v = \frac{- ( - 8 ) + 8 2}{2 \cdot 8} : \frac{1 + 2}{2}

\frac{- ( - 8 ) + 8 2}{2 \cdot 8}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{8 + 8 2}{2 \cdot 8}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{8 + 8 2}{16}

Fattorizza

8 + 82 : 8 (1 + 2)

8 + 82

Riscrivi come

= 8 \cdot 1 + 82

Fattorizzare dal termine comune

8

= 8 (1 + 2)

= \frac{8 ( 1 + 2 )}{16}

Cancella il fattore comune:

8

= \frac{1 + 2}{2}

v = \frac{- ( - 8 ) - 8 2}{2 \cdot 8} : \frac{1 - 2}{2}

\frac{- ( - 8 ) - 8 2}{2 \cdot 8}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{8 - 8 2}{2 \cdot 8}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{8 - 8 2}{16}

Fattorizza

8 - 82 : 8 (1 - 2)

8 - 82

Riscrivi come

= 8 \cdot 1 - 82

Fattorizzare dal termine comune

8

= 8 (1 - 2)

= \frac{8 ( 1 - 2 )}{16}

Cancella il fattore comune:

8

= \frac{1 - 2}{2}

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

v = \frac{1 + 2}{2}, v = \frac{1 - 2}{2}

v = \frac{1 + 2}{2}, v = \frac{1 - 2}{2}

Sostituisci

v = u^{2},

risolvi per

u

Risolvi

u^{2} = \frac{1 + 2}{2} : u = \frac{1 + 2}{2}, u = - \frac{1 + 2}{2}

u^{2} = \frac{1 + 2}{2}

Per

x^{2} = f (a)

le soluzioni sono

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1 + 2}{2}, u = - \frac{1 + 2}{2}

Risolvi

u^{2} = \frac{1 - 2}{2} :

Nessuna soluzione per

u \in R

u^{2} = \frac{1 - 2}{2}

x^{2}

non può essere negativo per

x \in R

Nessuna soluzione per u \in R

Le soluzioni sono

u = \frac{1 + 2}{2}, u = - \frac{1 + 2}{2}

u = \frac{1 + 2}{2}, u = - \frac{1 + 2}{2}

Verificare le soluzioni

Trova i punti non-definiti (singolarità):

u = 0

Prendere il denominatore (i) dell'

5 \frac{u ^{2} - u ^{- 2}}{2} + 3 \frac{u ^{2} + u ^{- 2}}{2}

e confrontare con zero

Risolvi

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Applicare la regola

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

I seguenti punti sono non definiti

u = 0

Combinare punti non definiti con soluzioni:

u = \frac{1 + 2}{2}, u = - \frac{1 + 2}{2}

u = \frac{1 + 2}{2}, u = - \frac{1 + 2}{2}

Sostituisci

u = e^{x},

risolvi per

x

Risolvi

e^{x} = \frac{1 + 2}{2} : x = \frac{1}{2} ln (\frac{1 + 2}{2})

e^{x} = \frac{1 + 2}{2}

Applica le regole dell'esponente

e^{x} = \frac{1 + 2}{2}

Applica la regola degli esponenti:

a = a^{\frac{1}{2}}

\frac{1 + 2}{2} = (\frac{1 + 2}{2})^{\frac{1}{2}}

e^{x} = (\frac{1 + 2}{2})^{\frac{1}{2}}

f (x) = g (x)

, allora

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (\frac{1 + 2}{2})^{\frac{1}{2}}

Applica la regola del logaritmo:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (\frac{1 + 2}{2})^{\frac{1}{2}}

Applica la regola del logaritmo:

ln (x^{a}) = a \cdot ln (x)

ln (\frac{1 + 2}{2})^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} ln (\frac{1 + 2}{2})

x = \frac{1}{2} ln (\frac{1 + 2}{2})

x = \frac{1}{2} ln (\frac{1 + 2}{2})

Risolvi

e^{x} = - \frac{1 + 2}{2} :

Nessuna soluzione per

x \in R

e^{x} = - \frac{1 + 2}{2}

a^{f(x)} non può essere zero o negativo per x\in\mathbb{R}

Nessuna soluzione per x \in R

x = \frac{1}{2} ln (\frac{1 + 2}{2})

x = \frac{1}{2} ln (\frac{1 + 2}{2})

Grafico

Esempi popolari

sin(x)=9

sin (x) = 9

csc(θ)=3

csc (θ) = 3

4sec(θ)=-5-tan^2(θ)

4 sec (θ) = - 5 - tan^{2} (θ)

cos(2x)=1-3sin(x)

cos (2 x) = 1 - 3 sin (x)

3sin(2t)+4=1,-pi/2 <= t<= pi/2

3 sin (2 t) + 4 = 1, - \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}