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5sinh(2x)+3cosh(2x)=4

Solución

5 sinh (2 x) + 3 cosh (2 x) = 4

Solución

x = \frac{1}{2} ln (\frac{1 + 2}{2})

Grados

x = 5.39228 \dots^{\circ}

Pasos de solución

5 sinh (2 x) + 3 cosh (2 x) = 4

Re-escribir usando identidades trigonométricas

5 sinh (2 x) + 3 cosh (2 x) = 4

Utilizar la identidad hiperbólica:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

5 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} + 3 cosh (2 x) = 4

Utilizar la identidad hiperbólica:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

5 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} + 3 \cdot \frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 4

5 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} + 3 \cdot \frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 4

5 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} + 3 \cdot \frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 4 : x = \frac{1}{2} ln (\frac{1 + 2}{2})

5 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} + 3 \cdot \frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 4

Aplicar las leyes de los exponentes

5 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} + 3 \cdot \frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 4

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{2 x} = (e^{x})^{2}, e^{- 2 x} = (e^{x})^{- 2}

5 \cdot \frac{( e ^{x} ) ^{2} - ( e ^{x} ) ^{- 2}}{2} + 3 \cdot \frac{( e ^{x} ) ^{2} + ( e ^{x} ) ^{- 2}}{2} = 4

5 \cdot \frac{( e ^{x} ) ^{2} - ( e ^{x} ) ^{- 2}}{2} + 3 \cdot \frac{( e ^{x} ) ^{2} + ( e ^{x} ) ^{- 2}}{2} = 4

Re escribir la ecuación con

e^{x} = u

5 \cdot \frac{( u ) ^{2} - ( u ) ^{- 2}}{2} + 3 \cdot \frac{( u ) ^{2} + ( u ) ^{- 2}}{2} = 4

Resolver

5 \cdot \frac{u ^{2} - u ^{- 2}}{2} + 3 \cdot \frac{u ^{2} + u ^{- 2}}{2} = 4 : u = \frac{1 + 2}{2}, u = - \frac{1 + 2}{2}

5 \cdot \frac{u ^{2} - u ^{- 2}}{2} + 3 \cdot \frac{u ^{2} + u ^{- 2}}{2} = 4

Simplificar

\frac{5 ( u ^{4} - 1 )}{2 u ^{2}} + \frac{3 ( u ^{4} + 1 )}{2 u ^{2}} = 4

Multiplicar ambos lados por

2 u^{2}

\frac{5 ( u ^{4} - 1 )}{2 u ^{2}} + \frac{3 ( u ^{4} + 1 )}{2 u ^{2}} = 4

Multiplicar ambos lados por

2 u^{2}

\frac{5 ( u ^{4} - 1 )}{2 u ^{2}} \cdot 2 u^{2} + \frac{3 ( u ^{4} + 1 )}{2 u ^{2}} \cdot 2 u^{2} = 4 \cdot 2 u^{2}

Simplificar

\frac{5 ( u ^{4} - 1 )}{2 u ^{2}} \cdot 2 u^{2} + \frac{3 ( u ^{4} + 1 )}{2 u ^{2}} \cdot 2 u^{2} = 4 \cdot 2 u^{2}

Simplificar

\frac{5 ( u ^{4} - 1 )}{2 u ^{2}} \cdot 2 u^{2} : 5 (u^{4} - 1)

\frac{5 ( u ^{4} - 1 )}{2 u ^{2}} \cdot 2 u^{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{5 ( u ^{4} - 1 ) \cdot 2 u ^{2}}{2 u ^{2}}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{5 ( u ^{4} - 1 ) u ^{2}}{u ^{2}}

Eliminar los terminos comunes:

u^{2}

= 5 (u^{4} - 1)

Simplificar

\frac{3 ( u ^{4} + 1 )}{2 u ^{2}} \cdot 2 u^{2} : 3 (u^{4} + 1)

\frac{3 ( u ^{4} + 1 )}{2 u ^{2}} \cdot 2 u^{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 ( u ^{4} + 1 ) \cdot 2 u ^{2}}{2 u ^{2}}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{3 ( u ^{4} + 1 ) u ^{2}}{u ^{2}}

Eliminar los terminos comunes:

u^{2}

= 3 (u^{4} + 1)

Simplificar

4 \cdot 2 u^{2} : 8 u^{2}

4 \cdot 2 u^{2}

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 2 = 8

= 8 u^{2}

5 (u^{4} - 1) + 3 (u^{4} + 1) = 8 u^{2}

5 (u^{4} - 1) + 3 (u^{4} + 1) = 8 u^{2}

5 (u^{4} - 1) + 3 (u^{4} + 1) = 8 u^{2}

Resolver

5 (u^{4} - 1) + 3 (u^{4} + 1) = 8 u^{2} : u = \frac{1 + 2}{2}, u = - \frac{1 + 2}{2}

5 (u^{4} - 1) + 3 (u^{4} + 1) = 8 u^{2}

Desarrollar

5 (u^{4} - 1) + 3 (u^{4} + 1) : 8 u^{4} - 2

5 (u^{4} - 1) + 3 (u^{4} + 1)

Expandir

5 (u^{4} - 1) : 5 u^{4} - 5

5 (u^{4} - 1)

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 5, b = u^{4}, c = 1

= 5 u^{4} - 5 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

5 \cdot 1 = 5

= 5 u^{4} - 5

= 5 u^{4} - 5 + 3 (u^{4} + 1)

Expandir

3 (u^{4} + 1) : 3 u^{4} + 3

3 (u^{4} + 1)

Poner los parentesis utilizando:

a (b + c) = ab + a c

a = 3, b = u^{4}, c = 1

= 3 u^{4} + 3 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 1 = 3

= 3 u^{4} + 3

= 5 u^{4} - 5 + 3 u^{4} + 3

Simplificar

5 u^{4} - 5 + 3 u^{4} + 3 : 8 u^{4} - 2

5 u^{4} - 5 + 3 u^{4} + 3

Agrupar términos semejantes

= 5 u^{4} + 3 u^{4} - 5 + 3

Sumar elementos similares:

5 u^{4} + 3 u^{4} = 8 u^{4}

= 8 u^{4} - 5 + 3

Sumar/restar lo siguiente:

- 5 + 3 = - 2

= 8 u^{4} - 2

= 8 u^{4} - 2

8 u^{4} - 2 = 8 u^{2}

Mover

8 u^{2}

al lado izquierdo

8 u^{4} - 2 = 8 u^{2}

Restar

8 u^{2}

de ambos lados

8 u^{4} - 2 - 8 u^{2} = 8 u^{2} - 8 u^{2}

Simplificar

8 u^{4} - 2 - 8 u^{2} = 0

8 u^{4} - 2 - 8 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

8 u^{4} - 8 u^{2} - 2 = 0

Re-escribir la ecuación con

v = u^{2}

v^{2} = u^{4}

8 v^{2} - 8 v - 2 = 0

Resolver

8 v^{2} - 8 v - 2 = 0 : v = \frac{1 + 2}{2}, v = \frac{1 - 2}{2}

8 v^{2} - 8 v - 2 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

8 v^{2} - 8 v - 2 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 8, b = - 8, c = - 2

v_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 \cdot 8 ( - 2 )}{2 \cdot 8}

v_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 \cdot 8 ( - 2 )}{2 \cdot 8}

(- 8)^{2} - 4 \cdot 8 (- 2) = 82

(- 8)^{2} - 4 \cdot 8 (- 2)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 8)^{2} + 4 \cdot 8 \cdot 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 8)^{2} = 8^{2}

= 8^{2} + 4 \cdot 8 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 8 \cdot 2 = 64

= 8^{2} + 64

8^{2} = 64

= 64 + 64

Sumar:

64 + 64 = 128

= 128

Descomposición en factores primos de

128 : 2^{7}

128

128

divida por

2128 = 64 \cdot 2

= 2 \cdot 64

64

divida por

264 = 32 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 32

32

divida por

232 = 16 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 16

16

divida por

216 = 8 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 8

8

divida por

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{7}

= 2^{7}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{6} \cdot 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 2 2^{6}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{6} = 2^{\frac{6}{2}} = 2^{3}

= 2^{3} 2

Simplificar

= 82

v_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm 8 2}{2 \cdot 8}

Separar las soluciones

v_{1} = \frac{- ( - 8 ) + 8 2}{2 \cdot 8}, v_{2} = \frac{- ( - 8 ) - 8 2}{2 \cdot 8}

v = \frac{- ( - 8 ) + 8 2}{2 \cdot 8} : \frac{1 + 2}{2}

\frac{- ( - 8 ) + 8 2}{2 \cdot 8}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{8 + 8 2}{2 \cdot 8}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{8 + 8 2}{16}

Factorizar

8 + 82 : 8 (1 + 2)

8 + 82

Reescribir como

= 8 \cdot 1 + 82

Factorizar el termino común

8

= 8 (1 + 2)

= \frac{8 ( 1 + 2 )}{16}

Eliminar los terminos comunes:

8

= \frac{1 + 2}{2}

v = \frac{- ( - 8 ) - 8 2}{2 \cdot 8} : \frac{1 - 2}{2}

\frac{- ( - 8 ) - 8 2}{2 \cdot 8}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{8 - 8 2}{2 \cdot 8}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{8 - 8 2}{16}

Factorizar

8 - 82 : 8 (1 - 2)

8 - 82

Reescribir como

= 8 \cdot 1 - 82

Factorizar el termino común

8

= 8 (1 - 2)

= \frac{8 ( 1 - 2 )}{16}

Eliminar los terminos comunes:

8

= \frac{1 - 2}{2}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

v = \frac{1 + 2}{2}, v = \frac{1 - 2}{2}

v = \frac{1 + 2}{2}, v = \frac{1 - 2}{2}

Sustituir hacia atrás la

v = u^{2},

resolver para

u

Resolver

u^{2} = \frac{1 + 2}{2} : u = \frac{1 + 2}{2}, u = - \frac{1 + 2}{2}

u^{2} = \frac{1 + 2}{2}

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1 + 2}{2}, u = - \frac{1 + 2}{2}

Resolver

u^{2} = \frac{1 - 2}{2} :

Sin solución para

u \in R

u^{2} = \frac{1 - 2}{2}

x^{2}

no puede ser negativo para

x \in R

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para u \in R

Las soluciones son

u = \frac{1 + 2}{2}, u = - \frac{1 + 2}{2}

u = \frac{1 + 2}{2}, u = - \frac{1 + 2}{2}

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

u = 0

Tomar el(los) denominador(es) de

5 \frac{u ^{2} - u ^{- 2}}{2} + 3 \frac{u ^{2} + u ^{- 2}}{2}

y comparar con cero

Resolver

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Aplicar la regla

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

Los siguientes puntos no están definidos

u = 0

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

u = \frac{1 + 2}{2}, u = - \frac{1 + 2}{2}

u = \frac{1 + 2}{2}, u = - \frac{1 + 2}{2}

Sustituir hacia atrás la

u = e^{x},

resolver para

x

Resolver

e^{x} = \frac{1 + 2}{2} : x = \frac{1}{2} ln (\frac{1 + 2}{2})

e^{x} = \frac{1 + 2}{2}

Aplicar las leyes de los exponentes

e^{x} = \frac{1 + 2}{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = a^{\frac{1}{2}}

\frac{1 + 2}{2} = (\frac{1 + 2}{2})^{\frac{1}{2}}

e^{x} = (\frac{1 + 2}{2})^{\frac{1}{2}}

f (x) = g (x)

, entonces

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (\frac{1 + 2}{2})^{\frac{1}{2}}

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (\frac{1 + 2}{2})^{\frac{1}{2}}

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

ln (x^{a}) = a \cdot ln (x)

ln (\frac{1 + 2}{2})^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} ln (\frac{1 + 2}{2})

x = \frac{1}{2} ln (\frac{1 + 2}{2})

x = \frac{1}{2} ln (\frac{1 + 2}{2})

Resolver

e^{x} = - \frac{1 + 2}{2} :

Sin solución para

x \in R

e^{x} = - \frac{1 + 2}{2}

a^{f (x)}

no puede ser cero o negativo para

x \in R

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para x \in R

x = \frac{1}{2} ln (\frac{1 + 2}{2})

x = \frac{1}{2} ln (\frac{1 + 2}{2})

Ejemplos populares

sin(x)=9

sin (x) = 9

2cos(2θ)=0

2 cos (2 θ) = 0

2sin^2(x)=2+cos^2(x)

2 sin^{2} (x) = 2 + cos^{2} (x)

cos^2(x)=((2k-8))/9

cos^{2} (x) = \frac{( 2 k - 8 )}{9}

(tan(x)+cos(x))/(1+sin(x))=sec(x)

\frac{tan ( x ) + cos ( x )}{1 + sin ( x )} = sec (x)