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sin(x)+cos(2x)=0.75

Solução

sin (x) + cos (2 x) = 0.75

Solução

x = - 0.18405 \dots + 2 πn, x = π + 0.18405 \dots + 2 πn, x = 0.75187 \dots + 2 πn, x = π - 0.75187 \dots + 2 πn

Graus

x = - 10.54529 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 190.54529 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 43.07951 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 136.92048 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

sin (x) + cos (2 x) = 0.75

Subtrair

0.75

de ambos os lados

sin (x) + cos (2 x) - 0.75 = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- 0.75 + cos (2 x) + sin (x)

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= - 0.75 + 1 - 2 sin^{2} (x) + sin (x)

Simplificar

= sin (x) - 2 sin^{2} (x) + 0.25

0.25 + sin (x) - 2 sin^{2} (x) = 0

Usando o método de substituição

0.25 + sin (x) - 2 sin^{2} (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

0.25 + u - 2 u^{2} = 0

0.25 + u - 2 u^{2} = 0 : u = - \frac{- 1 + 3}{4}, u = \frac{1 + 3}{4}

0.25 + u - 2 u^{2} = 0

Multiplicar ambos os lados por

100

0.25 + u - 2 u^{2} = 0

To eliminate decimal points, multiply by 10 for every digit after the decimal pointThere are

2

digits to the right of the decimal point, therefore multiply by

100

0.25 \cdot 100 + u \cdot 100 - 2 u^{2} \cdot 100 = 0 \cdot 100

Simplificar

25 + 100 u - 200 u^{2} = 0

25 + 100 u - 200 u^{2} = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

- 200 u^{2} + 100 u + 25 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- 200 u^{2} + 100 u + 25 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 200, b = 100, c = 25

u_{1, 2} = \frac{- 100 \pm 10 0 ^{2} - 4 ( - 200 ) \cdot 25}{2 ( - 200 )}

u_{1, 2} = \frac{- 100 \pm 10 0 ^{2} - 4 ( - 200 ) \cdot 25}{2 ( - 200 )}

10 0^{2} - 4 (- 200) \cdot 25 = 1003

10 0^{2} - 4 (- 200) \cdot 25

Aplicar a regra

- (- a) = a

= 10 0^{2} + 4 \cdot 200 \cdot 25

Multiplicar os números:

4 \cdot 200 \cdot 25 = 20000

= 10 0^{2} + 20000

10 0^{2} = 10000

= 10000 + 20000

Somar:

10000 + 20000 = 30000

= 30000

Decomposição em fatores primos de

30000 : 2^{4} \cdot 3 \cdot 5^{4}

30000

30000

dividida por

230000 = 15000 \cdot 2

= 2 \cdot 15000

15000

dividida por

215000 = 7500 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 7500

7500

dividida por

27500 = 3750 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3750

3750

dividida por

23750 = 1875 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1875

1875

dividida por

31875 = 625 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 625

625

dividida por

5625 = 125 \cdot 5

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 125

125

dividida por

5125 = 25 \cdot 5

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 25

25

dividida por

525 = 5 \cdot 5

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5

2, 3, 5

são números primos, portanto, não é possível fatorá-los mais

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5

= 2^{4} \cdot 3 \cdot 5^{4}

= 2^{4} \cdot 5^{4} \cdot 3

Aplicar as propriedades dos radicais:

n ab = n a n b

= 3 2^{4} 5^{4}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 3 5^{4}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

5^{4} = 5^{\frac{4}{2}} = 5^{2}

= 2^{2} \cdot 5^{2} 3

Simplificar

= 1003

u_{1, 2} = \frac{- 100 \pm 100 3}{2 ( - 200 )}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- 100 + 100 3}{2 ( - 200 )}, u_{2} = \frac{- 100 - 100 3}{2 ( - 200 )}

u = \frac{- 100 + 100 3}{2 ( - 200 )} : - \frac{- 1 + 3}{4}

\frac{- 100 + 100 3}{2 ( - 200 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 100 + 100 3}{- 2 \cdot 200}

Multiplicar os números:

2 \cdot 200 = 400

= \frac{- 100 + 100 3}{- 400}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 100 + 100 3}{400}

Cancelar

\frac{- 100 + 100 3}{400} : \frac{3 - 1}{4}

\frac{- 100 + 100 3}{400}

Fatorar

- 100 + 1003 : 100 (- 1 + 3)

- 100 + 1003

Reescrever como

= - 100 \cdot 1 + 1003

Fatorar o termo comum

100

= 100 (- 1 + 3)

= \frac{100 ( - 1 + 3 )}{400}

Eliminar o fator comum:

100

= \frac{- 1 + 3}{4}

= - \frac{3 - 1}{4}

= - \frac{- 1 + 3}{4}

u = \frac{- 100 - 100 3}{2 ( - 200 )} : \frac{1 + 3}{4}

\frac{- 100 - 100 3}{2 ( - 200 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 100 - 100 3}{- 2 \cdot 200}

Multiplicar os números:

2 \cdot 200 = 400

= \frac{- 100 - 100 3}{- 400}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 100 - 1003 = - (100 + 1003)

= \frac{100 + 100 3}{400}

Fatorar

100 + 1003 : 100 (1 + 3)

100 + 1003

Reescrever como

= 100 \cdot 1 + 1003

Fatorar o termo comum

100

= 100 (1 + 3)

= \frac{100 ( 1 + 3 )}{400}

Eliminar o fator comum:

100

= \frac{1 + 3}{4}

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = - \frac{- 1 + 3}{4}, u = \frac{1 + 3}{4}

Substituir na equação

u = sin (x)

sin (x) = - \frac{- 1 + 3}{4}, sin (x) = \frac{1 + 3}{4}

sin (x) = - \frac{- 1 + 3}{4}, sin (x) = \frac{1 + 3}{4}

sin (x) = - \frac{- 1 + 3}{4} : x = arcsin (- \frac{- 1 + 3}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{- 1 + 3}{4}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{- 1 + 3}{4}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

sin (x) = - \frac{- 1 + 3}{4}

Soluções gerais para

sin (x) = - \frac{- 1 + 3}{4}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{- 1 + 3}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{- 1 + 3}{4}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{- 1 + 3}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{- 1 + 3}{4}) + 2 πn

sin (x) = \frac{1 + 3}{4} : x = arcsin (\frac{1 + 3}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{1 + 3}{4}) + 2 πn

sin (x) = \frac{1 + 3}{4}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

sin (x) = \frac{1 + 3}{4}

Soluções gerais para

sin (x) = \frac{1 + 3}{4}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{1 + 3}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{1 + 3}{4}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{1 + 3}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{1 + 3}{4}) + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = arcsin (- \frac{- 1 + 3}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{- 1 + 3}{4}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{1 + 3}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{1 + 3}{4}) + 2 πn

Mostrar soluções na forma decimal

x = - 0.18405 \dots + 2 πn, x = π + 0.18405 \dots + 2 πn, x = 0.75187 \dots + 2 πn, x = π - 0.75187 \dots + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

4cos(30x)+12=10.5

4 cos (30 x) + 12 = 10.5

3sin^2(x)+5cos(x)=1

3 sin^{2} (x) + 5 cos (x) = 1

2sin(x)+cos(x)=-2

2 sin (x) + cos (x) = - 2

sin(x)-sin(2x)=0,x<= 2pi,0

sin (x) - sin (2 x) = 0, x \leq 2 π, 0

3cos^2(x)=sin^2(x)+2

3 cos^{2} (x) = sin^{2} (x) + 2