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Popular >

(1+cos(x))(1+cos(2x))= 1/4

Solución

(1 + cos (x)) (1 + cos (2 x)) = \frac{1}{4}

Solución

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = 1.25663 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.25663 \dots + 2 πn, x = 2.51327 \dots + 2 πn, x = - 2.51327 \dots + 2 πn

Grados

x = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 7 2^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 28 8^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 14 4^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 14 4^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

(1 + cos (x)) (1 + cos (2 x)) = \frac{1}{4}

Restar

\frac{1}{4}

de ambos lados

cos (2 x) + cos (x) + cos (x) cos (2 x) + \frac{3}{4} = 0

Simplificar

cos (2 x) + cos (x) + cos (x) cos (2 x) + \frac{3}{4} : \frac{4 cos ( 2 x ) + 4 cos ( x ) + 4 cos ( x ) cos ( 2 x ) + 3}{4}

cos (2 x) + cos (x) + cos (x) cos (2 x) + \frac{3}{4}

Convertir a fracción:

cos (2 x) = \frac{cos ( 2 x ) 4}{4}, cos (x) = \frac{cos ( x ) 4}{4}, cos (x) cos (2 x) = \frac{cos ( x ) cos ( 2 x ) 4}{4}

= \frac{cos ( 2 x ) \cdot 4}{4} + \frac{cos ( x ) \cdot 4}{4} + \frac{cos ( x ) cos ( 2 x ) \cdot 4}{4} + \frac{3}{4}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( 2 x ) \cdot 4 + cos ( x ) \cdot 4 + cos ( x ) cos ( 2 x ) \cdot 4 + 3}{4}

\frac{4 cos ( 2 x ) + 4 cos ( x ) + 4 cos ( x ) cos ( 2 x ) + 3}{4} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

4 cos (2 x) + 4 cos (x) + 4 cos (x) cos (2 x) + 3 = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

3 + 4 cos (2 x) + 4 cos (x) + 4 cos (2 x) cos (x)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 3 + 4 (2 cos^{2} (x) - 1) + 4 cos (x) + 4 (2 cos^{2} (x) - 1) cos (x)

Simplificar

3 + 4 (2 cos^{2} (x) - 1) + 4 cos (x) + 4 (2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) : 8 cos^{3} (x) + 8 cos^{2} (x) - 1

3 + 4 (2 cos^{2} (x) - 1) + 4 cos (x) + 4 (2 cos^{2} (x) - 1) cos (x)

= 3 + 4 (2 cos^{2} (x) - 1) + 4 cos (x) + 4 cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1)

Expandir

4 (2 cos^{2} (x) - 1) : 8 cos^{2} (x) - 4

4 (2 cos^{2} (x) - 1)

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 2 cos^{2} (x), c = 1

= 4 \cdot 2 cos^{2} (x) - 4 \cdot 1

Simplificar

4 \cdot 2 cos^{2} (x) - 4 \cdot 1 : 8 cos^{2} (x) - 4

4 \cdot 2 cos^{2} (x) - 4 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 2 = 8

= 8 cos^{2} (x) - 4 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 = 4

= 8 cos^{2} (x) - 4

= 8 cos^{2} (x) - 4

= 3 + 8 cos^{2} (x) - 4 + 4 cos (x) + 4 (2 cos^{2} (x) - 1) cos (x)

Expandir

4 cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1) : 8 cos^{3} (x) - 4 cos (x)

4 cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1)

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 4 cos (x), b = 2 cos^{2} (x), c = 1

= 4 cos (x) \cdot 2 cos^{2} (x) - 4 cos (x) \cdot 1

= 4 \cdot 2 cos^{2} (x) cos (x) - 4 \cdot 1 \cdot cos (x)

Simplificar

4 \cdot 2 cos^{2} (x) cos (x) - 4 \cdot 1 \cdot cos (x) : 8 cos^{3} (x) - 4 cos (x)

4 \cdot 2 cos^{2} (x) cos (x) - 4 \cdot 1 \cdot cos (x)

4 \cdot 2 cos^{2} (x) cos (x) = 8 cos^{3} (x)

4 \cdot 2 cos^{2} (x) cos (x)

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 2 = 8

= 8 cos^{2} (x) cos (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos^{2} (x) cos (x) = cos^{2 + 1} (x)

= 8 cos^{2 + 1} (x)

Sumar:

2 + 1 = 3

= 8 cos^{3} (x)

4 \cdot 1 \cdot cos (x) = 4 cos (x)

4 \cdot 1 \cdot cos (x)

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 = 4

= 4 cos (x)

= 8 cos^{3} (x) - 4 cos (x)

= 8 cos^{3} (x) - 4 cos (x)

= 3 + 8 cos^{2} (x) - 4 + 4 cos (x) + 8 cos^{3} (x) - 4 cos (x)

Simplificar

3 + 8 cos^{2} (x) - 4 + 4 cos (x) + 8 cos^{3} (x) - 4 cos (x) : 8 cos^{3} (x) + 8 cos^{2} (x) - 1

3 + 8 cos^{2} (x) - 4 + 4 cos (x) + 8 cos^{3} (x) - 4 cos (x)

Agrupar términos semejantes

= 8 cos^{2} (x) + 4 cos (x) + 8 cos^{3} (x) - 4 cos (x) + 3 - 4

Sumar elementos similares:

4 cos (x) - 4 cos (x) = 0

= 8 cos^{2} (x) + 8 cos^{3} (x) + 3 - 4

Sumar/restar lo siguiente:

3 - 4 = - 1

= 8 cos^{3} (x) + 8 cos^{2} (x) - 1

= 8 cos^{3} (x) + 8 cos^{2} (x) - 1

= 8 cos^{3} (x) + 8 cos^{2} (x) - 1

- 1 + 8 cos^{2} (x) + 8 cos^{3} (x) = 0

Usando el método de sustitución

- 1 + 8 cos^{2} (x) + 8 cos^{3} (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

- 1 + 8 u^{2} + 8 u^{3} = 0

- 1 + 8 u^{2} + 8 u^{3} = 0 : u = - \frac{1}{2}, u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

- 1 + 8 u^{2} + 8 u^{3} = 0

Escribir en la forma binómica

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

8 u^{3} + 8 u^{2} - 1 = 0

Factorizar

8 u^{3} + 8 u^{2} - 1 : (2 u + 1) (4 u^{2} + 2 u - 1)

8 u^{3} + 8 u^{2} - 1

Utilizar el teorema de la raíz racional

a_{0} = 1, a_{n} = 8

Los divisores de

a_{0} : 1,

Los divisores de

a_{n} : 1, 2, 4, 8

Por lo tanto, verificar los siguientes numeros racionales:

\pm \frac{1}{1 , 2 , 4 , 8}

- \frac{1}{2}

es la raíz de la expresión, por lo tanto, factorizar

2 u + 1

= (2 u + 1) \frac{8 u ^{3} + 8 u ^{2} - 1}{2 u + 1}

\frac{8 u ^{3} + 8 u ^{2} - 1}{2 u + 1} = 4 u^{2} + 2 u - 1

\frac{8 u ^{3} + 8 u ^{2} - 1}{2 u + 1}

Dividir

\frac{8 u ^{3} + 8 u ^{2} - 1}{2 u + 1} : \frac{8 u ^{3} + 8 u ^{2} - 1}{2 u + 1} = 4 u^{2} + \frac{4 u ^{2} - 1}{2 u + 1}

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

8 u^{3} + 8 u^{2} - 1

y el divisor

2 u + 1 : \frac{8 u ^{3}}{2 u} = 4 u^{2}

Cociente = 4 u^{2}

Multiplicar

2 u + 1

por

4 u^{2} : 8 u^{3} + 4 u^{2}

Substraer

8 u^{3} + 4 u^{2}

8 u^{3} + 8 u^{2} - 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = 4 u^{2} - 1

Por lo tanto

\frac{8 u ^{3} + 8 u ^{2} - 1}{2 u + 1} = 4 u^{2} + \frac{4 u ^{2} - 1}{2 u + 1}

= 4 u^{2} + \frac{4 u ^{2} - 1}{2 u + 1}

Dividir

\frac{4 u ^{2} - 1}{2 u + 1} : \frac{4 u ^{2} - 1}{2 u + 1} = 2 u + \frac{- 2 u - 1}{2 u + 1}

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

4 u^{2} - 1

y el divisor

2 u + 1 : \frac{4 u ^{2}}{2 u} = 2 u

Cociente = 2 u

Multiplicar

2 u + 1

por

2 u : 4 u^{2} + 2 u

Substraer

4 u^{2} + 2 u

4 u^{2} - 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = - 2 u - 1

Por lo tanto

\frac{4 u ^{2} - 1}{2 u + 1} = 2 u + \frac{- 2 u - 1}{2 u + 1}

= 4 u^{2} + 2 u + \frac{- 2 u - 1}{2 u + 1}

Dividir

\frac{- 2 u - 1}{2 u + 1} : \frac{- 2 u - 1}{2 u + 1} = - 1

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

- 2 u - 1

y el divisor

2 u + 1 : \frac{- 2 u}{2 u} = - 1

Cociente = - 1

Multiplicar

2 u + 1

por

- 1 : - 2 u - 1

Substraer

- 2 u - 1

- 2 u - 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = 0

Por lo tanto

\frac{- 2 u - 1}{2 u + 1} = - 1

= 4 u^{2} + 2 u - 1

= (2 u + 1) (4 u^{2} + 2 u - 1)

(2 u + 1) (4 u^{2} + 2 u - 1) = 0

Utilizando el teorema de factor cero: si

ab = 0

entonces

a = 0

b = 0

2 u + 1 = 0 or 4 u^{2} + 2 u - 1 = 0

Resolver

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

2 u + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

2 u = - 1

2 u = - 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u = - 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplificar

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

Resolver

4 u^{2} + 2 u - 1 = 0 : u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

4 u^{2} + 2 u - 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

4 u^{2} + 2 u - 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 4, b = 2, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

2^{2} - 4 \cdot 4 (- 1) = 25

2^{2} - 4 \cdot 4 (- 1)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 2^{2} + 16

2^{2} = 4

= 4 + 16

Sumar:

4 + 16 = 20

= 20

Descomposición en factores primos de

20 : 2^{2} \cdot 5

20

20

divida por

220 = 10 \cdot 2

= 2 \cdot 10

10

divida por

210 = 5 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 5

2, 5

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 5 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 25

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 5}{2 \cdot 4}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 2 + 2 5}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 5}{2 \cdot 4}

u = \frac{- 2 + 2 5}{2 \cdot 4} : \frac{- 1 + 5}{4}

\frac{- 2 + 2 5}{2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 2 + 2 5}{8}

Factorizar

- 2 + 25 : 2 (- 1 + 5)

- 2 + 25

Reescribir como

= - 2 \cdot 1 + 25

Factorizar el termino común

2

= 2 (- 1 + 5)

= \frac{2 ( - 1 + 5 )}{8}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{- 1 + 5}{4}

u = \frac{- 2 - 2 5}{2 \cdot 4} : - \frac{1 + 5}{4}

\frac{- 2 - 2 5}{2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 2 - 2 5}{8}

Factorizar

- 2 - 25 : - 2 (1 + 5)

- 2 - 25

Reescribir como

= - 2 \cdot 1 - 25

Factorizar el termino común

2

= - 2 (1 + 5)

= - \frac{2 ( 1 + 5 )}{8}

Eliminar los terminos comunes:

2

= - \frac{1 + 5}{4}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

Las soluciones son

u = - \frac{1}{2}, u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{1}{2}, cos (x) = \frac{- 1 + 5}{4}, cos (x) = - \frac{1 + 5}{4}

cos (x) = - \frac{1}{2}, cos (x) = \frac{- 1 + 5}{4}, cos (x) = - \frac{1 + 5}{4}

cos (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2}

Soluciones generales para

cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{4} : x = arccos (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{4}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{4}

Soluciones generales para

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{4}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn

x = arccos (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{1 + 5}{4} : x = arccos (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{1 + 5}{4}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = - \frac{1 + 5}{4}

Soluciones generales para

cos (x) = - \frac{1 + 5}{4}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = arccos (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = arccos (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = 1.25663 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.25663 \dots + 2 πn, x = 2.51327 \dots + 2 πn, x = - 2.51327 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

solvefor x,y+3=2sin(4x)resolver para

x, y + 3 = 2 sin (4 x)

tan^4(x)-2sec^2(x)+3=0

tan^{4} (x) - 2 sec^{2} (x) + 3 = 0

sqrt(sin(x))=2sin(x)-1

sin (x) = 2 sin (x) - 1

tan(x)=-5/3

tan (x) = - \frac{5}{3}

3sin(θ)+4cos(θ)=3

3 sin (θ) + 4 cos (θ) = 3