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4sin^2(θ)-8cos(θ)+1=0

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Lösung

4sin2(θ)−8cos(θ)+1=0

Lösung

θ=3π​+2πn,θ=35π​+2πn
+1
Grad
θ=60∘+360∘n,θ=300∘+360∘n
Schritte zur Lösung
4sin2(θ)−8cos(θ)+1=0
Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten
1+4sin2(θ)−8cos(θ)
Verwende die Pythagoreische Identität: cos2(x)+sin2(x)=1sin2(x)=1−cos2(x)=1+4(1−cos2(θ))−8cos(θ)
Vereinfache 1+4(1−cos2(θ))−8cos(θ):−4cos2(θ)−8cos(θ)+5
1+4(1−cos2(θ))−8cos(θ)
Multipliziere aus 4(1−cos2(θ)):4−4cos2(θ)
4(1−cos2(θ))
Wende das Distributivgesetz an: a(b−c)=ab−aca=4,b=1,c=cos2(θ)=4⋅1−4cos2(θ)
Multipliziere die Zahlen: 4⋅1=4=4−4cos2(θ)
=1+4−4cos2(θ)−8cos(θ)
Addiere die Zahlen: 1+4=5=−4cos2(θ)−8cos(θ)+5
=−4cos2(θ)−8cos(θ)+5
5−4cos2(θ)−8cos(θ)=0
Löse mit Substitution
5−4cos2(θ)−8cos(θ)=0
Angenommen: cos(θ)=u5−4u2−8u=0
5−4u2−8u=0:u=−25​,u=21​
5−4u2−8u=0
Schreibe in der Standard Form ax2+bx+c=0−4u2−8u+5=0
Löse mit der quadratischen Formel
−4u2−8u+5=0
Quadratische Formel für Gliechungen:
Für a=−4,b=−8,c=5u1,2​=2(−4)−(−8)±(−8)2−4(−4)⋅5​​
u1,2​=2(−4)−(−8)±(−8)2−4(−4)⋅5​​
(−8)2−4(−4)⋅5​=12
(−8)2−4(−4)⋅5​
Wende Regel an −(−a)=a=(−8)2+4⋅4⋅5​
Wende Exponentenregel an: (−a)n=an,wenn n gerade ist(−8)2=82=82+4⋅4⋅5​
Multipliziere die Zahlen: 4⋅4⋅5=80=82+80​
82=64=64+80​
Addiere die Zahlen: 64+80=144=144​
Faktorisiere die Zahl: 144=122=122​
Wende Radikal Regel an: nan​=a122​=12=12
u1,2​=2(−4)−(−8)±12​
Trenne die Lösungenu1​=2(−4)−(−8)+12​,u2​=2(−4)−(−8)−12​
u=2(−4)−(−8)+12​:−25​
2(−4)−(−8)+12​
Entferne die Klammern: (−a)=−a,−(−a)=a=−2⋅48+12​
Addiere die Zahlen: 8+12=20=−2⋅420​
Multipliziere die Zahlen: 2⋅4=8=−820​
Wende Bruchregel an: −ba​=−ba​=−820​
Streiche die gemeinsamen Faktoren: 4=−25​
u=2(−4)−(−8)−12​:21​
2(−4)−(−8)−12​
Entferne die Klammern: (−a)=−a,−(−a)=a=−2⋅48−12​
Subtrahiere die Zahlen: 8−12=−4=−2⋅4−4​
Multipliziere die Zahlen: 2⋅4=8=−8−4​
Wende Bruchregel an: −b−a​=ba​=84​
Streiche die gemeinsamen Faktoren: 4=21​
Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind: u=−25​,u=21​
Setze in u=cos(θ)eincos(θ)=−25​,cos(θ)=21​
cos(θ)=−25​,cos(θ)=21​
cos(θ)=−25​:Keine Lösung
cos(θ)=−25​
−1≤cos(x)≤1KeineLo¨sung
cos(θ)=21​:θ=3π​+2πn,θ=35π​+2πn
cos(θ)=21​
Allgemeine Lösung für cos(θ)=21​
cos(x) Periodizitätstabelle mit 2πn Zyklus:
x06π​4π​3π​2π​32π​43π​65π​​cos(x)123​​22​​21​0−21​−22​​−23​​​xπ67π​45π​34π​23π​35π​47π​611π​​cos(x)−1−23​​−22​​−21​021​22​​23​​​​
θ=3π​+2πn,θ=35π​+2πn
θ=3π​+2πn,θ=35π​+2πn
Kombiniere alle Lösungenθ=3π​+2πn,θ=35π​+2πn

Graph

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Beliebte Beispiele

sin(x)cos(pi/7)-sin(pi/7)cos(x)=(sqrt(2))/2sin(x)cos(7π​)−sin(7π​)cos(x)=22​​20sin(t)cos(t)=-16cos(t)20sin(t)cos(t)=−16cos(t)cos(x+25)sec(65-x)=1cos(x+25∘)sec(65∘−x)=1tan^2(x)-5tan(x)-9=0tan2(x)−5tan(x)−9=0arctan(t)= pi/4arctan(t)=4π​
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