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Beliebt Trigonometrie >

sin^2(x)-3cos(x)-1=0

Lösung

sin^{2} (x) - 3 cos (x) - 1 = 0

Lösung

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Grad

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sin^{2} (x) - 3 cos (x) - 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 + sin^{2} (x) - 3 cos (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= - 3 cos (x) - cos^{2} (x)

- cos^{2} (x) - 3 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

- cos^{2} (x) - 3 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

- u^{2} - 3 u = 0

- u^{2} - 3 u = 0 : u = - 3, u = 0

- u^{2} - 3 u = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- u^{2} - 3 u = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 1, b = - 3, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 0}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 0}{2 ( - 1 )}

(- 3)^{2} - 4 (- 1) \cdot 0 = 3

(- 3)^{2} - 4 (- 1) \cdot 0

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 3)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 0

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 3)^{2} = 3^{2}

= 3^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 0

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 3^{2} + 0

3^{2} + 0 = 3^{2}

= 3^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a,

angenommen

a \geq 0

= 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm 3}{2 ( - 1 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 3 ) + 3}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- ( - 3 ) - 3}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- ( - 3 ) + 3}{2 ( - 1 )} : - 3

\frac{- ( - 3 ) + 3}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{3 + 3}{- 2 \cdot 1}

Addiere die Zahlen:

3 + 3 = 6

= \frac{6}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{6}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{6}{2} = 3

= - 3

u = \frac{- ( - 3 ) - 3}{2 ( - 1 )} : 0

\frac{- ( - 3 ) - 3}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{3 - 3}{- 2 \cdot 1}

Subtrahiere die Zahlen:

3 - 3 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{0}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{2}

Wende Regel an

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 3, u = 0

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - 3, cos (x) = 0

cos (x) = - 3, cos (x) = 0

cos (x) = - 3 :

Keine Lösung

cos (x) = - 3

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(2x)+5sin(x)+2=0,0<= x<= 2pi

cos (2 x) + 5 sin (x) + 2 = 0, 0 \leq x \leq 2 π

2cos(4θ)-1=0

2 cos (4 θ) - 1 = 0

3cos(x)=8tan(x)

3 cos (x) = 8 tan (x)

1+4sin^2(x)-5sin(x)+cos(2x)=0

1 + 4 sin^{2} (x) - 5 sin (x) + cos (2 x) = 0

cos(x)= 9/10

cos (x) = \frac{9}{10}